《高数预备知识》PPT课件.ppt

北京工业大学 高等数学教程 第0章预备知识 0 1两个常用符号 全称量词 表示 任取 或 任意给定 表示 存在 至少存在一个 Any 每一个 或All 所有的 的字头A的倒写 Exist 存在 的字头E的倒写 存在量词 0 2邻域与去心邻域 记作 点称为邻域的中心 称为邻域的半径 记作 也称空心邻域 称为 设是两个实数 且 0 3一元函数 0 3 1一元函数与集合 设为D实数集R的非空子集 如果对任意的 都存在唯一的与之对应 可用表示 并称x为自变量 y为因变量 则称y是x的一元函数 而定义域就是自变量的取值范围 分别记为 因变量的取值范围 值域就是 或者简记为 如果用集合的记号 则一元函数可表示为 集合f是的子集 这个子集在平面上的表示就是 函数的图像 集合论是现代数学的基础 函数也可以从集合 设A B是两个非空集合 为A与B的直积 或笛卡尔积 称为有序对 角度进行定义 称 如果f是集合A到B的一个二元关系 的任意子集都称为集合A到集合B的 一个二元关系 并且 都存在唯一的 使得 则称f是A到B的 一个函数 设是一元函数 如果 记之为 都存在 唯一的 使得 称为的反函数 以y为自变量 在初等数学中 约定总是以x作自变量 所以才把改写为 需注意 一个函数与其反函数的自变量与因变量是互换的 函数以x为自变量 而其反函数 有界 无界 0 3 2有界函数 有 六个常见的有界函数 在自变量的不同变化范围中 对应法则用不同的式子来表示的函数 称为分段函数 0 3 3分段函数与Dirichlet函数 例2狄里克莱函数 例1 例3符号函数 例4取整函数表示不超过x的最大整数 如 当 阶梯曲线 定义域 值域 1 幂函数 0 4基本初等函数 基本初等函数可分为五大类 包括幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数 幂函数的定义域与的取值有关 特别地 2 指数函数 称为自然对数 特别地 记为 3 对数函数 定义域为 值域为 正弦函数 4 三角函数 该函数是奇函数 定义域为 值域为 余弦函数 该函数是偶函数 定义域 值域 定义域 值域 正切函数 余切函数 该函数是奇函数 该函数是奇函数 正割函数 常用三角函数公式 余割函数 定义域 值域 反正弦函数 5 反三角函数 该函数是奇函数 定义域 值域 反余弦函数 该函数非奇非偶 定义域 值域 反正切函数 反余切函数 定义域 值域 0 5初等函数 而函数 定义设函数的定义域为 则称函数为x的复合函数 x是自变量 u称为中间变量 y是因变量 注意 复合函数可由两个以上的函数复合而成 的值域为 若 1 复合函数 设 种形式多层复合得到 基本初等函数只有11种形式 复合函数的11种形式如下 简单的复合函数 也只有11种形式 更复杂的复合函数则可以由这11 其中 形如的函数称为幂指函数 也是复合函数 幂指函数 因 复合函数的分解 复合函数拆成几个简单函数 由函数的最外层运算一层层剥到最 里边 切不可漏层 剥皮法 2 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数 称为初等函数 例如 0 6函数的表示 数学中表示函数的传统方式包括显函数 解析表达式 由方程确定的隐函数 参数方程和极坐标方程 称为显函数 如果 都存在唯一的y 满足方程 则称y是由方程确定的x的隐函数 1 参数方程 通常很难或无法写出隐函数的显式表达式 例如 称为参数方程 其中t称为参数 隐函数的方程也可以用参数方程表示 例如 方程的参数方程为 解 则星形线的参数方程为 例5求星形线的参数方程 令 2 极坐标系与极坐标方程 1 极坐标系 在空间取定一点O 称为极轴 称为极点 这样就组成了极坐标系 以O为起点作射线 于是平面上的任一点P都可用一对有序数组确定 直角坐标与极坐标有如下的变换关系式 2 平面曲线的极坐标方程 某些平面曲线用极坐标方程表示更为简单 例如 表示以原点为圆心 以a为半径的圆 表示以原点为起点 与x轴正向 夹角为的一条射线 即 例6圆方程换成极坐标形式是 极坐标方程化成参数方程为 0 7关于命题 关于命题的有关问题 特别介绍命题的否定形式 读作非A 数学的讨论离不开命题 本节我们简单介绍一些 我们用A表示一个命题 命题A的否定记为 如果命题A成立时命题B一定成立题 则称由命题A可以推出命题B 记作 表示由A可推出B 称B为A的必要条件 那么A也一定不成立 此时称A为B的充分条件 如果A B并且B不成立 即非B可以推出非A 在数学中 我们通常只对某些概念本身而不对其否定进行描述 其否定命题可以按照确定的程式得到 这是