《系统的数学模型》PPT课件.ppt

第二章控制系统的数学模型 系统的数学模型 描述系统输入输出关系的数学表达式 本章主要内容1 线性微分方程式的建立及微分方程线性化的方法2 拉普拉斯变换及传递函数概念3 系统方块图和信号流程图的概念 第一节控制系统的微分方程及线性化方程 工程上常用的数学模型包括微分方程 传递函数和状态方程 微分方程是基本的数学模型 是列写传递函数的基础 线性系统 如果系统的数学模型是线性的 这种系统称为线性系统 一个系统 无论是用代数方程还是用微分方程来描述 其组成项的最高指数称为方程的次数 一次微分方程叫做线性微分方程 除此以外非一次的微分方程称为非线性微分方程 微分方程中 无论是因变量或者是它的导数 都不高于一次方 并且没有一项是因变量与其导数之积 则此微分方程就是线性微分方程 用这种方程描述的系统称为线性系统 下列微分方程描述的系统为线性系统 下列微分方程描述的系统为非线性系统 若系统在输入x1 t 作用下的输出为y1 t 而在另一个输入x2 t 作用下的输出为y2 t 并记为 x1 t y1 t x2 t y2 t 则以下关系 x1 t x2 t y1 t y2 t 称为叠加性或叠加原理 叠加原理说明 两个不同的输入函数 同时作用于系统的响应 等于两个输入函数单独作用的响应之和 因此 线性系统对几个输入量的响应 可以一个一个的处理 然后对它们的响应结果进行叠加 线性系统的叠加性 非线性系统 用非线性方程表示的系统 叫做非线性系统 虽然许多物理关系常以线性方程来表示 但是在大多数情况下 实际的关系并非是真正线性的 即使对所谓的线性系统来说 也只是在一定的工作范围内或忽略去那些影响较小的非线性因素所引起的误差 工程上又允许的话 这一系统就可以作为线性系统来处理 饱和非线性 当输入信号在一定范围内变化时 具有饱和特性的环节其输入输出呈线性关系 当输入信号x的绝对值超出其线性范围后 输出信号不再随输入信号变化而保持在一常值上 图示运算放大器放大倍数为 10 由于组件本身电源为 15V 所以当输入大于 1 5V时 输出量最多也只能是 15V 呈现饱和状态 死区非线性 死区又称不敏感区 左图为输入 输出特性 当输入信号在零附近变化时 系统输出为零 右图阀控液压缸系统 在阀流口上常有顶闭量 形成系统死区的原因 一般的机械系统 电机等 都不同程度地存在死区 当死区很小时 或对系统的性能不会产生不良影响时 可将它作为线性特性处理 间隙非线性 左图为间隙环节的输入 输出特性 右图齿轮传动 为保证转动灵活不发生卡死现象 必须容许有少量间隙 在机械传动中 摩擦是必然存在的物理因素 例如执行机构由静止状态启动 必须克服机构中的静摩擦力矩y1 启动之后 又要克服机构中的动摩擦力矩y2 一般静摩擦力矩大于动摩擦力矩 如图所示 摩擦间隙非线性 非线性系统重要的特性 是不能应用叠加原理 因此 对包含有非线性系统的问题求解 其过程通常是非常复杂的 为了绕过由非线性系统而造成的数学上的难关 常需引入 等效 线性系统来代替非线性系统 如饱和非线性和死区非线性 这种等效线性系统 仅在一定的工作范围内是正确的 非本质非线性 没有间断点 折断点的非线性 可用线性化处理的数学模型 等效 线性系统 本质非线性 有间断点 折断点的非线性 只能用非线性理论去解决 定常系统和时变系统 当描述工程系统的微分方程的系数与时间无关 称为常系数微分方程 系统则为定常系统 反之 当系统微分方程的系数是时间的函数时 系统则为时变系统 建立线性微分方程式的步骤 1 首先将系统划分为若干个环节 确定每一环节的输入信号和输出信号 确定输入信号和输出信号时 应使前一环节的输出信号是后一环节的输入信号 2 写出每一环节 或元件 输出信号和输入信号相互关系的运动方程式 找出联系输出量与输入量的内部关系 并确定反映这种内在联系的物理规律 而这些物理定律的数学表达式就是环节 或元件 的原始方程式 在此同时再做一些数学上的处理 如非线性函数的线性化 忽略一些次要因素等 3 消去中间变量 列出各变量间的关系式 最后得到只包含输入量和输出量的方程式 4 化成标准形式 即输出量放在方程式的左端 而输入量放在方程式的右端 且各阶导数项其阶次依次按幂排列 建立数学模型的基础 机械运动 牛顿定理 能量守恒定理电学 欧姆定理 基尔霍夫定律热学 传热定理 热平衡定律 牛顿第二定律 一物体的加速度 与其所受的合外力 Fi 成正比 与其质量m成反比 而且加速度与合外力同方向 作用在物体上的合外力与该物体的惯性力 构成平衡关系 机械系统设备大致分两类 平移的和旋转的 它们之间的区别在于前者施加的力而产生的是位移 而后者施加的是扭矩产生的是转角 机械系统的微分方程可用牛顿第二定律推导 一 机械系统的微分方程式 机械运动系统的三要素 质量m 弹簧k 阻尼f 图示为一个具有质量m 单位kg 弹性系数为k 单位N m 的弹簧和阻尼系数为f 单位Ns m 的机械系统 施加以外力f t 单位N 研究外力f t 与位移x 单位m 的关系 1 平移运动机械系统 用牛顿第二定律 列写出如下的运动微分方程 练习题 如图所示机械系统 求其微分方程 图中xi表示输入位移 xo表示输出位移 假设输出端无负载效应 f f1 f2为阻尼系数 k1 k2为弹性系数 解 1 对图a所示系统 由牛顿定律有 即 消除中间变量x有 2 对图b所示系统 引入一中间变量x并由牛顿定律有 3 对图c所示系统 由牛顿定律有 即 转动惯量为J kgm2 的转子与弹性系数为kJ Nm rad 的弹性轴和粘性阻尼系数为fJ Nms rad 的阻尼器连接 假设外部施加转矩T Nm 则系统产生一个偏离平衡位置的角位移 rad 现研究外转矩T和角位移 的关系 2 回转运动机械系统 列出系统原始方程 在平衡位置时 外加转矩T应与惯性矩T1阻尼矩T2和弹性阻力矩T3平衡 即 式中 系统的运动微分方程式为 例2 1机械式加速度计 加速度计 用于测量某一运动物体 如车辆 的加速度 测量时 加速度计的框架固定在待测的运动体上 当运动体作加速运动时 该框架随之作同样的加速运动 x为车辆 即加速度计框架 相对于某固定参照物 例如地面 的位移 y为质量m相对于框架的位移 x和y的正方向如图所示 由于y是相对于框架度量的 所以质量m相对于地面的位移为 y x 于是对该系统可写出如下方程 上式可改写成 式中a 车辆的加速度 即加速度计的输入量 y 输出量 可以从刻度线上读出 如果输入一个恒加速度 则在稳定情况下其输出y也是常数 从而其导数就为零 得到 或 上式表明 此时加速度计的质量m的稳态输出位移y正比于输入加速度a 因此 可用读数y值来衡量其加速度的大小 例2 2齿轮传动的动力学分析 设有如图所示传动链 由电动机M输入的转矩为Tm L为输出端负载 TL为负载转矩 zi为各齿轮齿数 J1 J2 J3及 1 2 3分别为各轴及相应齿轮的转动惯量和转角 f1 f2 f3为传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数 假设各轴均为绝对刚性 即KJ 得如下动力学方程 式中f1 f2 f3 传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数 T1 齿轮z1对Tm的反扭矩 T2 齿轮z2对T1的反扭矩 T3 齿轮z3对T2的反扭矩 T4 齿轮z4对T3的反扭矩 TL 输出端负载对T4的反扭矩 即负载转矩 由齿轮传动的基本关系可知 于是可得 整理得 令 Jeq称为等效转动惯量 令 feq称为等效阻尼系数 令 TLeq称为等效输出转矩 将上式改写为 该传动装置可转化为下图所示等效齿轮传动 二 电气系统的微分方程电气系统和元件种类繁多 但根据有关电 磁及电路的基本定律 无论其结构多么复杂 总可以建立起相应的数学模型的 电气系统的微分方程主要根据基尔霍夫定律和电磁感应定律等基本物理规律列写 图2 4所示的系统中 ui t 为输入电压 uo t 为输出电压 解 根据基尔霍夫定律和欧姆定律 有 2 5 2 6 2 7 2 8 例2 3无源电路网络 将方程联立求解 消去中间变量i1 t i2 t i3 t 后 即可得到以ui t 为输入量 以uo t 为输出量的电路微分方程式 即 2 9 例2 4有源电路网络 图2 5所示的系统中 ui t 为输入电压 uo t 为输出电压 K0为运算放大器开环放大倍数 由于 即A点为虚地点 由于集成运放的同相输入端接地 根据 虚短 的原则 根据 虚断 的原则可得 流过电容C的电流等于流过电阻R的电流 2 10 2 11 输出电压与电容上电压的关系为 据此 可列出 所以 即 2 12 2 13 由于运放的电压放大倍数K0很大 一般通用型运算放大器的开环电压放大倍数都在80dB以上 而运放的输出电压是有限的 一般在10V 14V 因此运算放大器的差模输入电压不足1mV 两输入端近似等电位 相当于 短路 开环电压放大倍数越大 两输入端的电位越接近相等 补充知识 虚短 虚短 是指在分析运算放大器处于线性状态时 可把两输入端视为等电位 这一特性称为虚假短路 简称虚短 由于运放的差模输入电阻很大 一般通用型运算放大器的输入电阻都在1M 以上 因此流入运算放大器输入端的电流往往不足1uA 远小于输入端外电路的电流 故通常可把运算放大器的两输入端视为开路 且输入电阻越大 两输入端越接近开路 补充知识 虚断 虚断 是指在分析运算放大器处于线性状态时 可以把两输入端视为等效开路 这一特性称为虚假开路 简称虚断 例2 5电枢控制式直流电动机 图示系统中 ei t 为电动机电枢输入电压 o t 为电动机输出转角 Ra为电枢绕组的电阻 La为电枢绕组的电感 ia t 为流过电枢绕组的电流 em t 为电动机感应电动势 T t 为电动机转矩 J为电动机及负载折合到电动机轴上的转动惯量 f为电动机及负载折合到电动机轴上的粘性阻尼系数 根据基尔霍夫定律 有 根据磁场对载流线圈的作用定律 有 式中KT 电动机转矩常数 根据电磁感应定律 有 式中Ke 反电动势常数 2 14 2 15 2 16 根据牛顿第二定律 有 2 17 将式 2 15 代入式 2 17 得 2 18 将式 2 16 式 2 18 代入式 2 14 得 电枢电感La通常较小 若忽略不计 系统微分方程可简化为 当电枢电感La 电阻Ra均较小 都忽略时 系统微分方程可进一步简化为 三 液压系统的线性化微分方程 设有一滑阀控制液压缸的液压伺服系统 其工作原理是 当阀芯右移时 高压油进入液压缸左腔 低压油与右腔通 这时活塞推动负载右移 反之 当阀芯左移时 活塞左移 x为阀芯位移输入 y为液压缸活塞位移输出 qL为负载流量 pL为负载压差 pS为供油压力 M为负载质量 A为活塞工作面积 d为阀芯直径 由液压流体力学可知 2 19 式中Cd 阀口流量系数 A0 阀口过流面积 若为全周矩形开口 有A0 x d p 阀口压力降 油液密度 若阀口结构完全相同且对称 则q1 q2 p pS p1 p2 于是有pS p1 p2 因为pL p1 p2 所以可以导出 于是式 2 19 变为 2 20 或 上式称为滑阀的静特性方程 是一个非线性函数 设阀的额定工作点参量为pL0和x0 则 2 21 将式 2 20 在额定工作点附近展成台劳级数 有 2 22 设 式 2 22 减去式 2 21 并舍去高阶项 得线性化流量方程 不考虑泄漏时液压缸流量的连续性方程为 2 24 2 23 液压缸力平衡方程为 2 25 式 2 23 式 2 24 式 2 25 联立 消去中间变量 即得系统线性方程 若函数f x y 在点P0 x0 y0 的某邻域U P0 内有直到阶n 1的连续偏导数 则对此邻域内任一点 x0 h y0 k 存在相应的 0 1 使得 台劳级数 1 称为f在点P0的n阶台劳公式 2 为拉格朗日型余项 系统线性化的几点注意 1 线性化是相对某一额定工作点进行的 工作点不同 得到的线性化微分方程的系数也不同 2 若使线性化具有足够的精度 调节过程中变量偏离工作点的偏差信号必须足够小 3 线性化后的运动方程是相对额定工作点以增量来描述的 因此 可以认为其初始条件为零 4 线性化只能运用没有间断点 折断点和非单值关系的函数 第二节拉普拉斯变换及反变换 微分方程 代数方程 一 拉氏变换及其特性 时间函数f t 当t 0时 f t 0 t 0时 f t 的拉氏变换计为L f t 或F s 且定义为 2 26 一 拉氏变换的定义 式中s j L为拉氏变换运算符 通常称f t 为原函数 F s 为拉氏变换函数或原函数的象函数 若式 2 26 的积分收敛于一确定值 则函数f t 的拉氏变换F s 存在 这时f t 必须满足 1 在任意有限区间内 f t 分段连续 只有有限个间断点 2 当时间t f t 不超过某一指数函数 即满足下式 2 27 式中M a 实常数 在复平面上 对于Res a的所有复数s Res表示s的实部 都使方程 2 26 的积分绝对收敛 则Res a为拉氏变换的定义域 例2 6单位阶跃函数的拉氏变换 单位阶跃函数 见图2 9 a 即 a 单位阶跃函数图2 9函数曲线 解 利用 2 26 式 可得 例2 7单位脉冲函数的拉氏变换 单位脉冲函数 t 如图2 9 b 所示 定义为 并且 式中f 0 t 0时刻的f t 的函数值 且 t 有如下特性 b 单位脉冲函数图2 9函数曲线 利用 2 26 式求得的拉氏变换为 例2 8求单位斜坡函数的拉氏变换 单位斜坡函数如图2 9 c 所示 定义为 解 利用 2 26 式 可得 利用分部积分公式 令 c 单位斜坡函数图2 9函数曲线 所以 例2 9求指数函数eat的拉氏变换 解 利用 2 26 式 可得 例2 10求正弦函数sin t和求余弦函数cos t的拉氏变换 解 由欧拉公式 则 于是可以利用上面指数函数拉氏变换的结果 得出正弦函数和余弦函数的拉氏变换 表2 1常用函数的拉氏变换对照表 二 拉氏变换的主要定理 1 线性定理 设L f1 t F1 s L f2 t F2 s k1 k2为常数 则 2 28 线性定理说明某一时间内 函数为几个时间函数的代数和 其拉氏变换等于每个时间函数拉氏变换代数和 2 延迟定理 时域位移定理 设L f t F s 对任一正实数a有 2 29 式中f t a 为函数f t 延迟时间a之后的函数 如图2 10所示 当t a时f t 0 图2 10延迟函数 证明 设 t a 则 3 位移定理 复域位移定理 设L f t F s 对任一常数a 实数或复数 有 2 30 证明 此定理常常在计算有指数函数项的复合函数的拉氏变换时用到 例求的拉氏变换 解 可直接运用复域位移定理及正弦函数的拉氏变换求得 同理可求得 4 相似定理 设L f t F s 对任一常数a 则 2 31 证明 令 5 微分定理 设L f t F s 则有 2 32 式中f 0 表示当t在时间坐标轴的右端趋于零时的f t 值 相当于初始条件 证明 由 2 26 式可得 利用分部积分法 则 令 则 故 同理 可进一步推出f t 的各阶导数的拉氏变换为 2 34 式中f 0 f 1 0 f n 2 0 f n 1 0 分别为各阶导数在t时间坐标轴的右端趋于零时的f t 值 如果所有这些初值为零 则 2 33 例2 7试求下面微分方程式的拉氏变换式 已知各阶导数初值为零 解 利用线性定理和微分定理 可得 6 积分定理 2 35 式中为在t时间坐标轴的右端趋于零时的f t 的值 相当于初始条件 证明 由 2 26 式可得 设L f t F s 则有 利用分部积分法 令 则有 故 同理 对于多重积分的拉氏变换可得 式中f 1 0 f 2 0 f n 0 为式中f t 的各重积分在t 0 时的值 如果这些初值为零 则有 2 36 2 37 7 初值定理 设f t 及其一阶导数均为可拉氏变换的 则f t 的初值为 2 38 证明 由微分定理得知 由于s 时 e st 0所以 所以 应用初值定理可以确定系统或元件的初始状态 例求的初值 解 可以由直接求出初值 亦可按初值定理求出 直接法可得 初值定理 所以 由上可见 两种算法结果是一致的 8 终值定理 设f t 及其一阶导数均为可拉氏变换的 则f t 的终值为 2 39 证明 由微分定理得知 即 所以 由于s 0时 e st 1所以 注意 终值定理不适合周期函数 如正弦函数等 因为周期函数没有终值 例 已知 求f t 的终值 解 利用终值定理 9 象函数的微分性质 tf t 的拉氏变换 2 40 证明 因为 对上式两边微分得 10 象函数的积分性质 f t t的拉氏变换 2 41 证明 11 卷积定理 设F s L f t G s L g t 2 42 则 则 式中 积分 称作f t 和g t 的卷积 令t 则 因此 证明 由 2 26 式可得 为了变换积分限为0到 引入图示单位阶跃函数1 t 即有 所以 令t dt d 则 二 拉氏反变换及其计算方法 1 拉氏反变换的定义已知象函数F s 求出与之对应的原函数f t 就称为拉氏反变换 计作L 1 F s f t 定义为 2 43 式中 r为大于F s 的所有奇异点实部的实常数 所谓奇异点 即F s 在该点不解析 也就是F s 在该点及其邻域不处处可导 二 拉氏反变换及其计算方法 2 拉氏反变换的计算方法 对于比较简单的象函数 可以利用表2 1查出其原函数 但在工程中经常遇到的都是比较复杂的象函数 此时 通常先利用部分分式展开法将复杂的象函数展开成简单的象函数之和 再利用表2 1 分别查出各个原函数 其和即为所求 如某一原函数f t 的象函数为F s 可以把F s 分解成一些分量之和 即 式中的F1 s F2 s Fn 1 s Fn s 又很容易由表2 1得到所对应的原函数f1 t f2 t fn 1 t fn t 即 控制工程中 象函数F s 通常可以表示有理分式形式 即 2 44 为把 2 44 式表示成部分分式 先要把A s 写成因式形式 即 2 45 多项式A s 的根即 p1 p2 p3 pn称F s 的极点 此极点可为实数亦可为复数 2 44 式可以写成部分分式形式 2 46 由于极点 p1 p2 p3 pn可为实数或复数 所以系数A1 A2 A3 An 1 An也可为实数或复数 这些系数有的书又称留数 求留数的方法可分为下面三种情况研究 1 不同