《状态空间分析法》PPT课件.ppt

第7章状态空间分析法 目录7 1状态变量与状态空间7 2连续系统的状态方程及其输出方程7 2 1由系统微分方程列写状态方程及其输出方程7 2 2由系统状态变量图列写状态方程及其输出方程7 2 3由系统方框图直接列写状态方程及其输出方程7 2 4非线性系统的状态方程及其输出方程7 2 5时变线性系统的状态方程及其输出方程7 3离散系统的状态方程及其输出方程7 3 1作用函数不含未来值时线性离散系统的状态 方程与输出方程7 3 2作用函数含未来值时线性离散系统的状态方程与输出方程7 4控制系统状态方程的解7 4 1连续系统状态方程的解7 4 2离散系统状态方程的解7 4 3连续系统状态方程的离散化7 5基于连续系统状态方程的计算机辅助分析7 5 1连续系统状态方程的数值积分程序7 5 2MATLAB与SIMULINK在连续系统分析中的应用7 6SIMULINK在离散系统分析中的应用7 6 1基于状态差分方程的时域特性分析7 6 2基于离散系统方框图的时域特性分析 7 7用MATLAB转换系统模型以传递函数为基础的控制理论 主要考虑的是系统的输入 输出和偏差信号 所采用的方法主要是频率特性法与根轨迹法 其局限性在于它只适用于单输入单输出线性系统 对于时变系统 变参数系统 非线性系统等则无能为力 不适用于例如最优控制 自适应控制 神经网络控制 鲁棒控制等的分析与设计 这是因为这些控制系统绝大多数是时变和 或 非线性系统 返回总目录 目前 控制系统的发展趋势是朝着控制任务更为复杂 控制精度要求更高的方向发展 特别是数字计算机迅速发展的今天 利用数字计算机辅助分析与设计系统 需要有一种适合应用于数字计算机分析和设计系统的理论与数学模型 这个理论即是现代控制理论 这个数学模型即是建立在状态空间上的状态方程 7 1状态变量与状态空间用状态空间法分析控制系统 比以传递函数为基础的分析设计方法更为直接和方便 为讲述用状态空间描述和分析控制系统 这里先介绍一些名词术语 1 状态控制系统的状态是描述系统的最小一组变量 只要知道在时刻的这组变量和时刻的输入函数 便完全可以确定在任何时刻上的系统行为 这个系统的行为称为状态 基于状态的概念 控制系统在时刻的行为是由时刻的行为和时刻的输入函数唯一地确定 而与时刻前的行为与输入 无关 在分析线性定常系统时 通常取初始时刻为零 2 状态变量构成控制系统状态的变量称为状态变量 在控制系统中 状态变量并非是唯一的 也并非一定是系统的输出 也不要求状态变量在物理上一定是能控和能观测的 3 状态向量若完全描述一个给定系统的动态行为需要个状态变量 记为 将这些状态变量看成向量的分量 则称向量为系统的状态向量 4 状态空间以状态向量的分量为坐标轴 构成的维空间称为状态空间 任意的状态都可以用状态空间中的一个点来描述 5 状态方程通过向量表示法 可以将阶微分方程表示成一阶矩阵微分 方程 若向量分量是选定的状态变量 则上述一阶矩阵微分方程称为系统状态方程 7 2连续系统的状态方程及其输出方程7 2 1由系统微分方程列写状态方程及其输出方程1 作用函数不含导数项时阶线性系统的状态方程及其输出方程设n阶线性定常系统的运动方程可用下述微分方程描述 即 7 1 式中分别为系统的输出及其各阶导数 为系统的作用函数 即被控对象的控制输入 为常系数 式 7 1 为作用函数不含导数项的阶常微分方程 其中作用函数 输出函数及其各阶导数项均为时间的函数 为书写的方便 将时间略去 由式 7 1 可知 对于上述线性定常系统 若已知初始条 件及时刻的作用函数 则系统在任何时刻的行为便可完全确定 因此 可以选取及为系统状态变量 即选取则式 7 1 所示的阶常微分方程可以写成个一阶常微分方程 即 7 2 7 3 或写成矩阵微分方程形式记则式 7 4 可以写成 7 5 式中 状态向量及其一阶导数 均为维 7 4 阶常系数矩阵 阶常系数矩阵 称式 7 3 或式 7 5 为线性定常系统式 7 1 的状态方程 根据系统输出变量的选取 其输出方程可写成或写成矩阵方程形式为式中 称为输出向量 式 7 5 及式 7 7 所示的状态方程及其输出方程是应用状态空间法分析与设计线性系统时 描述系统动态特性的标准状态空间表达式 应该指出 阶线性定常系统 它的状态变量只有个 7 6 7 7 例7 1设某控制系统的动态特性可用下述微分方程描述试列写其状态方程及其输出方程 解根据式 7 2 选取为系统的状态变量 则通过状态变量的选取及根据系统微分方程 系统的状态方程可写成写成矩阵微分方程形式为根据上述状态变量的选取 其输出方程为 例7 2设某控制系统 可用下述方框图描述 试列写该系统的状态方程及其输出方程 解对于用方框图描述的系统 根据微分方程列写状态方程时 首先应根据方框图写出系统的传递闭环函数 通过拉普拉斯反变换 写成微分方程的形式 再根据系统微分方程列写系统状态方程 为此由方框图可得 系统闭环传递函数为根据闭环传递函数可求得系统运动微分方程为由于该系统为三阶系统 因此可选择状态变量为 图7 1系统方框图 则可写出系统的状态方程为写成矩阵微分方程的形式为式中 其输出方程为 2 作用函数含导数项时阶线性系统的状态方程及其输出方程设阶线性系统由下列微分方程描述如果按上述作用函数不含导数项阶线性系统选取状态变量的方法直接选取状态变量 将式 7 8 改写成一阶微分方程组 即分析上式可知 上述一阶微分方程组中 包含有作用函数及其各阶导数项 假如作用函数是一个阶跃函数 则其一阶导数项便是一个脉冲函数 而其一阶以上导数项便是高阶脉冲函数 则由上述方程组表示的状态轨迹将产生无穷 7 8 大的跳跃 因此 即使在已知作用函数的作用下 系统状态也不可能由上述状态向量唯一地确定 即在此时可能得不到唯一的解 所以在线性微分方程中 作用函数含有导数项时 不能直接将系统的输出函数及其各阶导数项作为系统的状态变量 因为这组变量不具备在已知系统输入和初始状态的条件下 完全确定系统的未来运动状态的特性 选取系统状态变量的原则应该是 在包含状态变量的状态方程中 任何一个微分方程均不包含作用函数的导数项 根据这个原则 一种可能选取系统状态变量的方法是其中 7 9 于是可得系统的状态方程为写成矩阵形式为 7 11 式中 7 10 其输出方程为 7 12 式中 例7 3设控制系统的运动微分方程为试列写该系统状态方程及其输出方程 解由系统运动微分方程可知 其根据式 7 9 选取状态变量为 式中 即 又于是根据式 7 10 可得该系统的状态方程为或其输出方程为当线性系统运动方程含有作用函数的导数项时 还可以采用 另一种方法求取系统的状态方程和输出方程 设阶线性系统由下列微分方程描述通过拉普拉斯变换 可作出如图7 2所示的系统方框图 经等效变换可得如图7 3所示的方框图 引进中间变量之后 经拉普拉斯反变换 可得下述两个微分方程 即对于式 7 13 可以根据作用函数不含导数项系统的状态变量 图7 2n阶线性系统方框图 7 13 选取方法选取系统的状态变量 即其相应的系统状态方程为 7 14 图7 3等效变换后n阶线性系统方框图 相应的输出方程为若 则上述输出方程为应当指出 对含有作用函数导数项的运动方程可分别应用上述两种方法列写系统状态方程及输出方程 它们在形式上虽有所不同 但当在同一作用函数的作用下 所得的系统输出函数都是完全相同的 下面利用这种方法列写系统状态方程及其输出方程 7 15 7 16 例7 4设控制系统的运动微分方程为试列写系统状态方程及其输出方程 解将系统微分方程进行拉普拉斯变换 可得系统传递函数为引进中间变量 即得其微分方程为 选取状态变量为则系统状态方程为其输出方程为3 多输入多输出线性系统的状态方程及其输出方程下面以具体实例介绍多输入多输出线性系统的状态方程与输出方程的列写方法 例7 5设多输入多输出控制系统可用下列方框图 图7 4 表示 其中被控对象输出信号 偏差信号视为该系统的输出函数 控制输入信号与干扰信号视为该系统的作用函数 试列写该系统的状态方程与输出方程 解由系统方框图可求得系统的输出函数为 图7 4多输入多输出系统方框图 记则有对于引进中间变量并作等效变换可得 选择状态变量为 于是可得系统的状态方程为 系统输出方程为7 2 2由系统状态变量图列写状态方程及其输出方程线性系统的状态变量还可以通过状态变量图来确定 系统的状态变量图可以根据系统的运动微分方程或系统传递函数作出 状态变量图是由积分器 放大器和加法器等构成 在状态变量图中 每个积分器的输出定为一个状态变量 状态变量图直观地描 述变量与变量之间的相互关系 并说明状态变量的物理含义 由状态变量图列写系统状态方程及其输出方程主要有下述三种方法 即直接程序法 并接程序法和串接程序法 下面通过具体实例分别加以说明 1 直接程序法直接程序法是直接根据系统微分方程 作出系统的状态变量图 再根据状态变量图列写系统状态方程及其输出方程 例7 6设系统运动微分方程为式中 时间常数 系统增益 试按直接程序法作系统状态变量图 并根据状态变量图列写系统状态方程及其输出方程 解改写系统运动微分方程为根据逐项积分的办法 可作出系统状态变量图如图7 5所示 图7 5直接程序法系统状态变量图 图中分别为系统状态变量 根据系统状态变量图可直接写出系统状态方程如下其输出方程为 2 并接程序法应用并接程序法作线性系统状态变量图时 先根据系统传递函数写成一阶和 或 二阶传递函数和的形式 分别作出状态变量图 再根据线性系统叠加原理作出整个系统的状态变量图 由状态变量图可直接写出系统状态方程及其输出方程 例7 7设系统运动微分方程为试按并接程序法作系统状态变量图 并根据状态变量图列写系统状态方程及其输出方程 解根据系统运动微分方程 可写出该系统的传递函数为将该传递函数按其极点分解成最简分式和的形式 即 式中 为待定系数 计算方法为即有于是可作出系统状态变量图如图7 6所示 图中各积分器的输出为选定的系统状态变量 图7 6并接程序法系统状态变量图 由系统状态变量图可得系统状态方程为或写成其输出方程为 3 串接程序法串接程序法是将传递函数按其极点的数目与形式写成最简分式乘积的形式 作出系统的状态变量图 再由系统状态变量图列写系统状态方程及其输出方程 例7 8设系统传递函数为试按串接程序法作系统状态变量图 并根据状态变量图列写系统状态方程及其输出方程 解将系统传递函数按其极点写成典型环节乘积的形式 即式中 取 则可作出其串接方式的状态变量图如图7 7所示 图中为选定的系统状态变量 由系统状态变量图可得系统的状态方程为 图7 7串接程序法系统状态变量表 写成矩阵的形式为输出方程为 由上可知 根据直接程序法 并接程序法 串接程序法列写系统的状态方程时 由于选择的状态变量不同 即它们的物理含义是不同的 因此 系统的状态方程及其输出方程的形式是不同的 但当系统在同一输入函数作用下 所得的输出时域特性是完全相同的 7 2 3由系统方框图直接列写状态方程及其输出方程上述两种列写系统状态方程及其输出方程的方法是以系统微分方程或以系统传递函数为基础的 而在线性控制系统中 它的数学模型常以系统方框图的形式给出的 这是由于系统方框图形象地描述系统信号流向及其各物理量之间的相互关系 当然 根据系统方框图 求出系统闭环传递函数 进而通过拉普拉斯反变换同样可求得系统微分方程 根据系统微分方程或系统闭环传递函数列写系统状态方程及其输出方程 这对于简单的控制系统来说是容易做到的 但对于复杂系统或多输入多输出系统来说 求取闭环传递函数并不是一件轻而易举的事 有的甚至很难求 得 因而需要研究直接利用系统方框图列写系统状态方程及其输出方程的方法 为了直接利用系统方框图列写系统状态方程及其输出方程 需要引进两个方程 称之为状态传递方程及状态反馈方程 引进上述两个方程之后 将使问题得以极大的简化 避免了一些不必要的错误发生 下面以具体实例加以说明 例7 9设某仪表随动系统 其方框图如图7 8所示 试直接由系统方框图列写系统状态方程及其输出方程 解对于这个较为简单的系统来说 求取其闭环传递函数并不是件难事 但为了说明问题 这里采用直接利用系统方框图列写系统状态方程及其输出方程的方法 图7 8仪表随动系统方框图 由系统方框图 直接可以得到其微分方程为取系统状态变量 则系统状态方程可列写为式中 称为状态反馈方程 代入系统状态方程中并写成矩阵状态微分方程形式得其输出方程为 例7 10某液压控制系统由下述方框图描述 试根据系统方框图直接列写系统状态方程及其输出方程 解为简化状态方程的列写 在图中引进变量 如图所示 则根据系统方框图 可得各方框的传递函数为其微分方程为选取状态变量 则系统状态方程为 图7 9液压控制系统方框图 系统状态反馈方程为系统状态传递方程为将上述系统状态反馈方程及其状态传递方程代入状态方程中并写成矩阵形式为输出方程为 例7 11复合控制系统如图7 10所示 试直接利用系统方框图列写系统状态方程及其输出方程 解由系统方框图可知 该系统由三个基本方框组成 可分别写成其微分方程选取状态变量 则系统状态 图7 10复合控制系统方框图 方程为状态反馈方程为 状态传递方程为 代入写成矩阵形式为输出方程为 例7 12某顺馈控制系统 其方框图如下试根据系统方框图直接列写系统状态方程及其输出方程 图7 11顺馈控制系统方框 解由系统方框图直接可得其微分方程分别为选取系统状态变量为则系统的状态方程为状态传递方程为 状态反馈方程为代入系统状态方程中并写成矩阵状态微分方程形式为系统输出方程为7 2 4非线性系统的状态方程及其输出方程非线性系统包括本征非线性和典型非线性系统两类 典型非 线性系统是指在系统中包括有例如饱和非线性 滞环非线性等的控制系统 这些非线性特性一般来说 给控制系统的性能带来不利的影响 但根据实际情况 有时为了改善系统性能而人为地加入一些非线性特性 例如一种带有饱和非线性特性的自适应控制系统 它是为了提高自适应控制系统的鲁棒性而加入的 而本征非线性是指控制系统运动微分方程中包含有变量的乘方 开方或以变量为分母等的系统 下面以具体实例 介绍非线性系统的状态方程及其输出方程的列写方法 1 典型非线性系统的状态方程及其输出方程 图7 12带有饱和非线性特性的控制系统方框图 例7 13设含有饱和非线性特性的控制系统 其方框图如图7 12所示 图中饱和非线性特性的数学模型为试列写该系统的状态方程及其输出方程 解由图7 12可知 该控制系统包括有线性部分与非线性部分 在列写状态方程时 可以将线性部分和非线性部分加以分别处理 对于线性部分 其传递函数为微分方程为 取状态变量为 则系统的状态方程及其输出方程分别可写成状态方程中的是饱和非线性部分的输出 它的值由系统偏差的大小来决定 即由系统状态反馈方程来决定 其状态反馈方程为由饱和非线性特性的数学模型得 例7 14设含有滞环非线性特性的控制系统方框图如图7 13a所示 其特性曲线如图7 13b所示 滞环非线性特性的数学表达式为试列写其状态方程及输出方程 图7 13含有滞环非线性特性控制系统a 解根据系统方框图可得线性部分的传递函数为其微分方程分别为取状态变量为则系统的状态方程为 图7 13含有滞环非线性特性控制系统b 其输出方程为状态方程中的由状态反馈方程给出 即为滞环非线性元件的输出 它的取值范围由状态变量及其对时间的导数决定 根据滞环特性数学表达式 可得例7 15设含有死区非线性特性的控制系统方框图如图7 14a所示 其特性曲线如图7 14b所示 死区非线性特性的数学表达式为 图7 14含有死区非线性特性控制系统a 试列写其状态方程及输出方程 解根据系统方框图 可得线性部分各传递函数为其微分方程分别可写成选择状态变量为 则系统状态方程为 图7 14含有死区非线性特性控制系统b 其状态反馈方程为状态传递方程为式中 x为死区非线性的输出 该值由的大小决定 即由状态变量的大小决定 根据死区特性的数学表达式可得 2 本征非线性控制系统的状态方程及其输出方程本征非线性系统状态方程的列写方法是根据不同的系统 选择相应的状态变量 用变量代换的方式 列写其状态方程及输出方程 下面根据具体实例加以介绍 例7 16设火箭在地球附近绕轨道运行 当向东运动 扫过一个经度角为 离地球的中心距离为时 服从下述微分方程式中 为火箭发动机在与地平线成角方向上的单位质量力 为地球半径 为地面上的重力加速度 为地球自转角速度 为火箭运动特征量 即为观测量 试列写其状态方程及输出方程 解该系统为多输出非线性系统 为列写其状态方程及输出方程 选取状态变量为 则其状态方程为其输出方程为例7 17设某空间拦截运动微分方程在三维空间中可用下述微分方程描述 式中 为目标极坐标矢径 为横向视线角速度 为纵向视线角速度 为导弹输入命令在横向坐标上的投影 为导弹输入命令在纵向坐标上的投影 试列写系统状态方程及其输出方程 解根据系统方程选择系统状态变量为状态方程可以写成如下形式其输出方程为 7 2 5时变线性系统的状态方程及其输出方程 描述阶线性时变系统微分方程的一般形式为 7 17 式 7 17 为阶线性微分方程 它的系数或部分或全部为时间的函数 若选取为系统状态变量 则由方程 7 17 可得如下状态方程或写成 7 18 式中B分别为系数矩阵 即对于线性时变系统 系数矩阵为时间的函数 输出方程为例7 18设线性时变系统的微分方程为试列写其状态方程与输出方程 解选取状态变量为 则系统状态方程由微分方程写出为 7 20 7 19 其输出方程为例7 19设线性时变系统的微分方程为试列写其状态方程及输出方程 解选取为该系统的状态变量 则系统的状态方程为根据系统状态变量的选取可得系统输出方程为7 3离散系统的状态方程及其输出方程 描述线性离散系统运动状态通常用定常差分方程 它的一般数学表达式为式中 采样周期 s 第个采样时刻上的系统输出 第个采样时刻上的作用函数 为了书写方便 式 7 21 中的采样周期通常可以省略 这时改写式 7 21 为由定常差分方程求取线性离散系统状态方程的过程 与由定常微分方程求取线性连续系统状态方程相似 下面介绍列写线性离散系统状态方程的列写方法 7 21 7 22 7 3 1作用函数不含未来值时线性离散系统的状态方程与输出方程 设描述线性离散系统的定常差分方程为选取系统状态变量为则根据线性离散系统差分方程式 7 23 可写出线性离散系统的状态方程为 7 23 写成矩阵差分方程形式为式中 线性离散系统的输出方程由选取的状态变量可得 7 25 式中 为常系数矩阵 即 7 24 例7 20设线性离散系统的运动状态由下述差分方程描述试列写该离散系统的状态方程及其输出方程 解选取线性离散系统的状态变量为则其状态方程为或写成矩阵差分方程为式中 其输出方程为 7 3 2作用函数含未来值时线性离散系统的状态方程与输出方程 设线性离散系统的运动状态由式 7 22 差分方程描述 与连续系统一样 系统的状态变量一种可能的选取方法为其中 7 26 7 27 则系统的状态方程可以写成如下形式写成矩阵形式为 7 29 输出方程为 7 30 式中 7 28 例7 21某线性离散系统由下述定常差分方程描述 即试写出系统的状态空间表达式 解因为该系统的定常差分方程中含有作用函数的未来值项 因此需按根据系统差分方程可知即 由此可得系统的状态方程为 写成矩阵差分方程的形式为输出方程为顺便提一下 当线性离散系统的运动差分方程含有未来值时 其状态方程的列写 也可以通过变换 将系统差分方程写成脉冲传递函数的形式 引进中间变量的方法列写 下面以具体实例加以简单说明 例7 22设某线性离散系统可由下述定常差分方程描述 试用变换的方法列写系统的状态方程及其输出方程 解通过变换可将系统写成 其脉冲传递函数为取中间变量 则可得取分别可写成差分方程为选取系统状态变量为 则系统的状态方程为输出方程为 7 4控制系统状态方程的解 控制系统状态方程的解 即是求控制系统的时域特性 通过系统时域特性 可以进一步完成控制系统的分析与综合 以求较佳的系统特性 7 4 1连续系统状态方程的解在这里主要讨论线性连续系统的齐次 非齐次状态方程的解 并在此基础上给出矩阵指数及状态转移矩阵的定义 说明它们的性质 1 线性定常系统状态方程的解 1 齐次状态方程的解设线性定常连续系统的状态方程为式中 7 31 齐次状态方程是线性定常系统状态方程当作用函数等于零时的特殊情况 在讨论线性定常系统状态方程的解之前 首先讨论齐次状态方程的解问题 求解齐次状态方程的解 常用的方法有矩阵指数法和拉普拉斯变换法两种 下面分别加以详细讨论 1 矩阵指数法设齐次状态方程式 7 31 的解具有如下形式 即将上式代入式 7 31 中得比较等号两边同次幂系数可得 7 32 由此可得或 7 33 式中为单位矩阵 令式 7 32 中的得 为状态向量的初值 它表征线性定常系统的初始状态 最后得线性定常系统齐次状态方程的解为注意 式 7 34 中无穷项矩阵和为阶矩阵 该阶矩阵的展开式从形式上类似指数函数的无穷级数 因此称式 7 34 中无穷项矩阵和为矩阵指数 并记为这样通过矩阵指数 可将线性定常系统齐次状态方程的解写成 7 34 7 35 7 36 由上可知 线性定常系统齐次状态方程的解表示状态向量由初始时刻的状态向任意时刻的状态转移的内在特性 该特性通过矩阵指数来描述 因此 按矩阵指数法求解齐次状态方程时 在已知初始状态的基础上 需要求解矩阵指数 这给人工计算带来不便 2 拉普拉斯变换法设线性定常系统齐次状态方程为对该方程两边取拉普拉斯变换得式中 为状态向量的拉普拉斯变换 为状态向量的初值 整理得等号两边同时左乘得 7 37 对方程 7 37 两边取拉普拉斯反变换 得线性定常系统齐次状态方程的解为 7 38 由此可知 应用拉普拉斯变换法求解线性定常系统齐次状态方程的解 只需求取阶矩阵的拉普拉斯反变换即可 因此很适合人工计算 由于因此有取拉普拉斯反变换得即有最后得 7 39 例7 23设线性连续系统齐次状态方程为式中 试应用拉普拉斯变换法求解 解求矩阵求矩阵的逆矩阵 求的拉普拉斯反变换最后得该齐次状态方程的解为 例7 24设线性连续系统的齐次状态方程为其中试应用拉普拉斯变换法求解 解为了利用拉普拉斯变换法求解该系统齐次状态方程的解 先求矩阵 即接着求的逆矩阵 即 然后求逆矩阵的拉普拉斯反变换 即 最后求得该系统齐次状态方程的解为 2 矩阵指数与状态转移矩阵当求解线性定常系统齐次状态方程时 已得到其中矩阵指数是一个无穷级数 可以证明该级数是一个收敛 级数 矩阵指数除了上述收敛性外 也可以证明它还具有如下一些性质 1 2 3 若矩阵与可交换 即 则 若矩阵与不可交换 即 则 在应用拉普拉斯变换法求线性定常系统齐次状态方程的解时 已经得到其解为其中阶矩阵和矩阵指数相同 是用以描述状态向量由时间时刻开始向任意时刻转移特性的矩阵 因此这里称为状态转移矩阵 状态转移矩阵每个元素都是时间的实函数 通常用表示 若系数矩阵具有个不同的特征值 则在状态转移矩阵中含有等相应项 如果矩阵为对角线矩阵 即 则该系统状态转移矩阵具有最简单的对角线矩阵形式 即可以证明 状态转移矩阵具有如下性质 1 2 3 4 5 利用上述状态转移矩阵的性质 可以方便地计算例如等 例7 25求状态转移矩阵的逆矩阵 解由状态转移矩阵的性质2得当然 求解状态转移矩阵的逆矩阵时 可以采用一般的方法求解 但其计算量要大为增加 3 非齐次状态方程的解设线性定常系统的非齐次状态方程为 7 40 式中 维状态向量 维输入或控制向量 阶常系数矩阵 阶常系数矩阵 求解非齐次状态方程一般有两种方法 即一般法和拉普拉斯变换法 1 一般法将非齐次状态方程改写成如下形式 7 41 式 7 41 两边同时左乘得 7 42 考虑到 式 7 42 可写成积分上式可得其中则或两边同时左乘可得 7 43 即通过系统的状态转移矩阵 非齐次状态方程的解还可以写成如下形式式 7 45 表明 非齐次状态方程的解包括两部分 即 1 与初始状态有关的状态转移分量 2 与控制向量有关的受控分量 如果初始时间不为零 而是时 则非齐次状态方程的解具有如下形式 7 44 7 45 2 拉普拉斯变换法设非齐次状态方程为将上式两边同时取拉普拉斯变换得或两边同时左乘得对上式逐项进行拉普拉斯反变换得非齐次状态方程的解为 7 46 7 48 7 47 例7 26线性定常系统的非齐次状态方程为试求当作用函数时非齐次状态方程的解 解由例7 23可知 该系统的状态转移矩阵为根据式 7 45 可得非齐次状态方程解的初态转移分量为 非齐次状态方程解的受控分量为 最后得非齐次状态方程的解为当初始状态为零 即时 该系统非齐次状态方程的解为 例7 27应用拉普拉斯变换法 重新求解例7 26的线性定常系统的非齐次状态方程的解 解由例7 26可知 该系统的非齐次状态方程解的初态转移分量为由例7 23可知 该系统的特征矩阵的逆矩阵为从系统状态方程中求得系数矩阵 根据式 7 48 得 该系统非齐次状态方程解的受控分量为最后得该系统的非齐次状态方程的解为 与例7 26所得的结果是一致的 例7 28应用拉普拉斯变换法求线性定常系统非齐次状态方程式中 当作用函数时的解解由例7 24知该系统特征矩阵的逆矩阵为 以及相应的状态转移矩阵计算矩阵 拉普拉斯反变换得最后根据式 7 48 得该系统非齐次状态方程的解为2 线性时变系统状态方程的解 设线性时变系统状态方程为 7 49 式中 均为时间的函数 1 线性时变系统齐次状态方程的解与线性定常系统一样 线性时变系统的齐次状态方程具有如下形式 7 50 如果阶矩阵是满足下列微分方程的非奇异矩阵 则 7 52 即为齐次状态方程 7 50 的解 事实上 由于 7 51 即满足齐次状态方程式 7 50 并且即 所以当矩阵满足式 7 51 时 式 7 52 即是齐次状态方程式 7 50 的解 由于式 7 52 描述初始状态的转移特性 因此称为线性时变系统的状态转移矩阵 2 线性时变系统的状态转移矩阵及其性质如前所述 线性定常系统的状态转移矩阵按矩阵指数定义可表示为或式中 为常系数矩阵 如果将线性时变系统的状态转移矩阵写成上述类似形式 则有但需附有条件 这是因为直接将 7 53 微分得 代入式 7 50 一般是不成立的 为使该等式成立 需要有即要求矩阵与矩阵为可交换的 要使矩阵与矩阵为可交换的 需满足也就是说 任意时刻 下式均须成立 7 54 式 7 54 是线性时变系统的状态转移矩阵能按矩阵指数形式 7 53 定义的充要条件 容易看出 当系数矩阵为对角线矩阵或常系数矩阵时 则条件式 7 54 恒成立 在这种 情况下 式 7 53 为计算线性时变系统状态转移矩阵提供了一种极为方便的方法 假如矩阵与矩阵不可交换 则不能按式 7 53 计算线性时变系统的状态转移矩阵 在这种情况下 可按下述方法求状态转移 当给定初始状态时 对式两边取积分得用式 7 55 所表示的代入式 7 55 等号右边的中去 逐次逼近求解该矩阵积分方程 当第一次代入后 式 7 55 变为当第二次代入后 式 7 55 变为 7 55 反复运用逐次逼近法 式 7 55 可表示为将式 7 56 中的无穷级数记为 即如果矩阵在积分区间内有界 则无穷级数式 7 57 绝对收敛 在这种情况下 假定无穷级数式 7 57 对时间可导 两 7 56 7 57 边分别对时间求导得由于无穷级数式 7 57 绝对收敛 所以式 7 58 也绝对收敛 另外 由式 7 57 还可以得到 7 59 将式 7 57 式 7 58 与式 7 51 比较 可知 式 7 56 是线性时变系统齐次状态方程 7 50 的解 式 7 57 是线性时变系统齐次状态方程的状态转移矩阵 根据式 7 57 可以求出当与不可交换时线性时变系统的状态转移矩阵 应该指出 对于线性时变系统 状态转移矩阵既与 7 58 时间有关 也与初始时刻有关 但与和之差无关 因此 在通常情况下 不能总取初始时刻 线性时变系统的状态转移矩阵具有如下性质 1 2 3 3 线性时变系统非齐次状态方程的解设线性时变系统非齐次状态方程为 7 60 为求解非齐次状态方程 先假设该方程的解为 7 61 式中状态转移矩阵满足条件 7 51 的阶非奇异矩阵 将假设的非齐次状态方程的解代入非齐次状态方程 7 60 中 求得 由于所以得或对上式两边在时间至之间积分 得其中因此 因为所以两边同时左乘得因为所以需要指出 式 7 62 所示的线性时变系统非齐次状态方程的解 除一些简单情况外 一般是很难写成封闭形式的 因此 需要通过数字计算机求解 7 62 例7 29设线性时变系统齐次状态方程为式中 试求该系统的状态转移矩阵 解在求解线性时变系统的状态转移矩阵时 需先检验系数矩阵是否满足可交换条件式 7 54 即满足可交换条件 因此该系统的状态转移矩阵可按式 7 53 计算 即 式中因此得 例7 30求线性时变系统的状态转移矩阵 并求解该系统齐次状态方程的解 解与例7 29类似 在求解线性时变系统的状态转移矩阵时 需先检验系数矩阵是否满足可交换条件式 7 54 即可知该线性时变系统的系数矩阵不满足可交换条件式 7 54 需按式 7 57 求取该系统的状态转移矩阵 即 最后得该线性时变系统的状态转移矩阵为根据式 7 52 可求得该线性时变系统齐次状态方程的解为 例7 31试求线性时变系统的非齐次状态方程的解 其中是从时刻开始的单位阶跃函数 解在例7 29中 已经求得该系统的状态转移矩阵为根据方程 7 62 得非齐次状态方程的解为 7 4 2离散系统状态方程的解1 线性定常离散系统状态方程的解设线性离散系统状态方程及其输出方程为式中 系统状态向量 维列向量 系统作用函数 维列向量 系统输出函数向量 维列向量 阶常系数矩阵 阶常系数矩阵 阶常系数矩阵 阶常系数矩阵 一般线性离散系统状态方程的解法有 递推法和变换法两种 下面分别加以介绍 1 递推法递推法通常也称为迭代法 应用递推法求解线性离散系统状态方程时 需要在状态方程 7 64 中依次令得到 7 65 7 66 7 67 将式 7 65 代入式 7 66 中 得 7 69 将式 7 69 代入式 7 67 中 得 7 70 如此迭代下去 最后可得或式 7 72 即是线性离散系统状态方程 7 64 的通解 由式 7 72 可知线性离散系统状态方程的解分为两部分 即初态转移部分和受控部分 若将式 7 72 中记为 7 73 则即是矩阵差分方程 7 68 7 71 7 72 的唯一解 它描述离散系统由的初始状态向任意时刻的状态转移的特性 因此称为线性离散系统的状态转移矩阵 第二项是与作用函数有关的项 称为受控项 通过状态转移矩阵 线性离散系统状态方程的解式 7 72 还可以表示为 7 74 若记 则上式还可以写成 7 75 将状态方程的解代入线性离散系统输出方程中 得系统的输出为 例7 32线性离散系统的状态方程为试应用递推法求取当时状态方程的解 解根据递推法 在状态方程中令得 7 76 或 7 77 令时 得时 得时 得 如此迭代下去 可求得任意采样周期上状态方程的解 需要指出 根据递推法求得线性离散系统状态方程的解 不能写出一般的闭合形式 但通过状态转移矩阵 按式 7 74 或式 7 75 求解 可以写成闭合形式 例7 33试求例7 32所示线性离散系统的状态转移矩阵 并求出该系统状态方程解的一般闭合形式 解由于系数矩阵 所以该系统的状态转移矩阵为在一般情况下 直接求解是很困难的 这里介绍一种根据相似对角线矩阵法 求解线性离散系统状态转移矩阵 其方法为 1 根据系数矩阵的特征根 计算模态矩阵 2 计算模态矩阵的逆矩阵 3 求系数矩阵的相似对角线矩阵 4 根据求状态转移矩阵上式即是该系统的状态转移矩阵 按式 7 75 计算可得 最后求得状态方程的解为 如在上式中 依次令 则可得与例7 32完全相同的结果 2 变换法将线性离散系统的状态方程的两边同时进行变换 得或式中 方程 7 79 两边同时左乘 得求反变换得 7 78 7 79 7 80 与式 7 72 比较得 7 81 由上式可知 应用变换法求得的线性离散系统状态方程的解与应用递推法求得的线性离散系统状态方程的解具有完全相同的结果 例7 34用变换法求取例7 32所示的线性离散系统的状态转移矩阵 并根据求该系统状态方程的解 解根据式 7 81 可求得该离散系统的状态转移矩阵 7 82 即计算 最后得该系统状态方程的解为2 线性时变离散系统状态方程的解设线性时变离散系统状态方程为式中 为线性时变离散系统状态向量的缩写 为采样周期 为作用函数向量的缩写 分别为时变系数矩阵的缩写 应用迭代法可以求得线性时变离散系统的状态向量在各个采样时刻上的离散值 即在式 7 83 中代入得 7 83 式中 分别为状态向量与作用函数向量的初值 在式 7 83 中代入并考虑到式 7 84 得在 7 83 式中代入并考虑到式 7 85 得基于上述 应用数学归纳法可求得线性时变离散系统状态方程的解为 7 84 7 85 7 86 7 87 式 7 87 中的第一项是描述状态向量由初始状态向任意时刻的状态转移特性的转移项 它是表征线性时变离散系统内在特性的齐次方程的解 其中称为线性时变离散系统的状态转移矩阵 它是下列矩阵方程 7 89 当初始条件时的解 通过状态转移矩阵式 7 88 还可以写成如下形式 上述式 7 87 或式 7 90 即是线性时变离散系统状态方程的解 7 90 7 88 例7 35线性时变离散系统状态方程为试求当时的系统状态方程的解 已知s 解在式 7 87 中 令 并依次令 求得线性时变离散系统状态方程的解为当时 当时 当时 考虑到采样周期s 得 7 4 3连续系统状态方程的离散化 为计算上的方便 可以将连续系统状态方程化为离散状态方程 即将连续的矩阵微分方程离散化成离散的矩阵差分方程 由于差分方程本身具有数值积分的性质 一旦将矩阵微分方程化成矩阵差分方程 就相当得到一个递推公式 从初始值开始 可以递推求出各离散时刻的状态变量值 因此在一定条件下 将连续系统的矩阵微分方程化为矩阵差分方程 就可以达到不必采用数值积分的方法 求取系统的状态变量值的目的 在连续系统矩阵微分方程的离散化的过程中 是假定作用函数向量仅在等间隔采样时刻上发生变化 而在其它时刻上保持某一定值 离散化的目的是找出在采样时刻上能给出与连续系统状态等值的离散状态方程 注意这里离散化的采样作用是虚构的 下面介绍线性定常系统状态方程及线性时变系统状态方程的离散化方法 1 线性定常系统状态方程的离散化设线性定常系统状态方程为 7 91 它的解为在上式中取 得式中 为虚构的采样周期 在上式中作如下变量代换 即得因为前面已经假设 作用函数仅在采样时刻 7 92 7 93 7 94 上发生变化 而在相邻的两个采样时刻之间不发生变化 即所以式 7 94 可以写成当虚构的采样周期取定时 则式 7 95 中及为常值 记为则式 7 95 可以写成 7 95 7 97 7 98 7 96 例7 36试求线性定常系统状态方程的离散化状态方程方程 解根据式 7 96 及 7 97 分别求 由式 7 98 得线性定常系统的离散化状态方程为 例7 37试求线性定常系统状态方程 的离散化状态方程 解 则该线性定常系统状态方程的离散化方程为 2 线性时变系统状态方程的离散化设线性时变系统的状态方程为 7 99 该线性时变系统状态方程的解为对于及式 7 100 分别写成用矩阵左乘式 7 101 得 7 100 7 101 7 102 7 103 式 7 102 减去式 7 103 得离散化式 7 104 令其中 得式中 考虑到则得记则线性时变系统状态方程的离散化状态方程为 7 105 7 104 由于线性时变系统状态方程的状态转移矩阵在一般情况下 很难写成解析的形式 因此也不能直接应用上述方法求得线性时变系统状态方程的离散化状态方程 为了解决这个问题 这里介绍一种近似的离散化方法 根据数学的导数定义 近似取式中 为虚构的采样周期 将式 7 107 作为等式代入线性时变系统状态方程中 并令 得 7 107 7 106 或记 7 108 7 109 则得线性时变系统状态方程式 7 99 近似离散化状态方程为 7 110 不难看出当虚构采样周期取得越小 则其近似程度就越高 例7 38设线性时变系统状态方程为试求其离散化方程 解根据式 7 108 及式 7 109 分别求取由式 7 110 可得该线性时变系统状态方程的近似离散化状态方程为当取定采样周期 考虑到该系统的初始状态及作用函数 应用递推法即可求得该系统状态方程的近似解 7 5基于连续系统状态方程的计算机辅助分析 7 5 1连续系统状态方程的数值积分程序在系统状态空间分析法中 已经介绍了各类系统状态方程的列写方法 有了系统状态方程就可以根据数值积分方法 编写数值积分计算程序 进行时域特性分析 由于四阶龙格 库塔法计算精度高 选取积分步长灵活 常被用于控制系统的时域特性分析计算中 下面简单作一介绍 1 程序数学模型一般控制系统可用图7 15所示的方框图表示 根据系统方框图可以直接列写出系统状态方程为 图7 15一般控制系统方框图 系统反馈方程为 7 112 系统输出方程为2 数值积分程序根据系统状态方程及四阶龙格 库塔法 可编写出控制系统数值计算程序 图7 16为控制系统时域特性计算程序流程图 图7 16控制系统时域特性计算程序流程图 见下页 7 111 7 113 3 控制系统时域特性计算程序 simulatnionprogrmofcontrolsystem DECLARESUBff f COMMONSHAREDf1 a eCLSINPUT yianyueri ix iy izPRINT t0g0nuvh INPUTt0 g0 n u v hINPUT inputdatafilename m OPENm FOROUTPUTAS 1DIMy0 n y1 n f1 n f n e1 5 b n a n e1 1 5e1 2 5e1 3 1e1 4 1e1 5 5 FORi 1TOnREADy0 i NEXTiFORi 0TOn 1READb i NEXTiFORi 1TOn 1READa i NEXTix 0t y0 1 e uPRINT 1 t yg1 0CLS10g 015FORi 1TOnf1 i y0 i y1 i y0 i NEXTiLOCATE10 25COLOR1 0PRINT COLOR4 0LOCATE11 25PRINT computersimulation LOCATE12 25COLOR1 0PRINT COLOR4 0LOCATE16 25PRINT g1 LOCATE18 25COLOR3 0PRINT y LOCATE20 25 COLOR5 0PRINT t e u v yFORj 1TO4CALLff f FORi 1TOnd f i hf1 i y0 i e j dy1 i y1 i e j 1 d 3NEXTiNEXTjg g 1FORi 1TOny0 i y1 i NEXTit y0 1 y 0FORi 1TOn 1 y y b 0 a n i y0 i 1 b n i y0 i 1 NEXTiy y b 0 eIFg g0THEN15FORi 1TO100LOCATE10 25COLOR2 0PRINT COLOR1 0LOCATE11 25PRINT controlsystem LOCATE12 25COLOR2 0PRINT NEXTig1 g1 1PRINT 1 t yIFt t0THEN10 PRINT 1 simulatnionprogrmofSystem PRINT 1 FileName FANG BAS ix iy izPRINT 1 t0 t0 g0 g0 n n u u h hCLOSE 1ENDDATAy0 1 y0 2 y0 n DATAb 0 b0 1 b n 1 DATAa 1 a 2 a n 1 SUBff f f 1 1f 2 f1 3 f 3 f1 4 f 4 f1 5 f n e a 1 f1 n a 2 f1 n 1 a 3 f1 n 2 a n 1 f1 2 ENDSUB程序符号说明 N 系统阶数 1 即为系统状态变量个数 1 当N 5时 控制系统为4阶系统 f i 表示状态变量的导数 f1 i 表示系统状态变量 b i 传递函数分子多项式系数 a i 传递函数分母多项式系数 t0 系统的过渡过程时间 此值根据需要确定 g0 数据文件控制值 用来控制数据文件的大小 g0越大 数据文件越小 但为了输出曲线光滑 g0不宜取的太大 应视情况决定 u 系统输入信号 本程序采用阶跃信号 也可以采用任意的信号作为输入 v 系统反馈系数 f 1 时间对时间的导数 即 y 系统输出 t 时间 h 仿真步长 4 应用举例例7 39设某控制系统 可以用下述方框图表示 解由图可知 该系统为三阶系统 程序中N为4 其中 由于系统为线性系统 初值为 系统状态方程为 图7 17某控制系统方框图 为了求该系统的时域特性 需将上述仿真程序中的子程序改写成本系统子程序 即应改写成程序中的数据语句应为DATA0 0 0 0DATA0 0 11 6DATA6 0 0完成上述的修改 即可进入时域特性的数值计算 其结果如图7 18所示 图7 18时域特性曲线图 例7 40某液压控制系统 其方框图为解由系统方框图可知 该系统为四阶系统 程序中N 5 其中 因为系统为线性系统 所以其初始条件为 系统状态方程为数值计算程序中子程序改为 图7 19某液压控制系统方框图 数据语句改为DATA0 0 0 0 0DATA0 0 0 1 875E6 1 52E6DATA54 204 2 213 8 62 5计算结果如图7 20所示 图7 20时域特性曲线图 7 5 2MATLAB与SIMULINK在连续系统分析中的应用 1 基于MATLAB上的系统分析在控制系统时域特性分析中 MATLAB提供了两种Runge Kutta函数 即 t x ode23 xfun t0 tf x0 tol trace t x ode45 xfun t0 tf x0 tol trace 其中xfun为定义的函数名 该函数必须以x为输出 以t x为函数的输入 输入变量t0 tf为积分的起始和终止时间 x0为初始状态向量 tol为控制结果精度 在一般情况下 ode45比ode23运算速度快 在利用MATLAB提供的两种Runge Kutta函数进行控制系统分析时 需要根据系统状态方程建立一个以 m为扩展名的M文件 下面仍以上述液压控制系统为例加以说明 对于上述例7 40所示的液压控制系统 根据图7 19引进中间变量并选择为系统状态变量 可以写出该系统的状态方程为 系统的输出方程为其中 系统输入 代入系统的状态方程中得 在MATLAB上创建的M文件Vdp2 m为functionyp Vdp2 t x yp x 2 x 3 x 4 20 0 002 1 875E6 x 2 1 52E6 x 1 54 x 4