中考复习练习之——胡不归问题---教师版.doc

中考复习之胡不归问题ADBC沙 砾 地 带 从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路.由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径AB（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”.这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”.例1.（2012崇安模拟），如图，在平面直角坐标系中，AB=AC，A(0，），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为ADC，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D的坐标应为-（ ）A. B. C. D. 【解答】解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，设D坐标为（0，y），则AD2y，CD，设t+，等式变形为：t+y，则t的最小值时考虑y的取值即可，t2+（y）t+（y）2y2+1，y2+（t）yt2+t+10，（t）24（t2+t+1）0，t的最小值为，y，点D的坐标为（0，），故选D解法二：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t+（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因为ABAC3，过点B作BHAC交AC于点H，交OA于D，易证ADHACO，所以3，所以DH，因为ABC是等腰三角形，所以BDCD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了因为AOCBOD，所以，即，所以OD，所以点D的坐标应为（0，）例2. （2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；连接MA，MB，若AMB不小于60，求t的取值范围【解答】解：（1）由题意解得，抛物线解析式为yx2x，yx2x（x）2，顶点坐标（，）（2）如图1中，连接AB，作DHAB于H，交OB于P，此时PB+PD最小理由：OA1，OB，tanABO，ABO30，PHPB，PB+PDPH+PDDH，此时PB+PD最短（垂线段最短）在RtADH中，AHD90，AD，HAD60，sin60，DH，PB+PD的最小值为故答案为（3）以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5如图，RtAOB中，tanABO，ABO30，作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则AEB120，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G则AFBAGB60，从而线段FG上的点满足题意，EB，OEOBEB，F（，t），EF2EB2，（）2+（t+）2（）2，解得t或，故F（，），G（，），t的取值范围t练习巩固：1.（2015无锡二模）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,ABC=150,则PA+PB+PD的最小值为 .【解答】解：将ADC逆时针旋转60，得到ADC，连接BD交AC于P，交AC于E，连接PD，BAD30，DAD60，BAD90，又ABADAD，BD6，ABP45，又BAP15，APEPAE60，EAP为等边三角形，PAPE，又APDAED，PDED，根据两点之间线段最短，AP+BP+PD的最小值PB+PE+ED6，故答案为：62.（2015内江）如图，在ACE中，CACE，CAE30，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上（1）试说明CE是O的切线；（2）若ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求O的直径AB的长【解答】解：（1）连接OC，如图1，CACE，CAE30，ECAE30，COE2A60，OCE90，CE是O的切线；（2）过点C作CHAB于H，连接OC，如图2，由题可得CHh在RtOHC中，CHOCsinCOH，hOCsin60OC，OCh，AB2OCh；（3）作OF平分AOC，交O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则AOFCOFAOC（18060）60OAOFOC，AOF、COF是等边三角形，AFAOOCFC，四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DFDO过点D作DHOC于H，OAOC，OCAOAC30，DHDCsinDCHDCsin30DC，CD+ODDH+FD根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FHOFsinFOHOF6，则OF4，AB2OF8当CD+OD的最小值为6时，O的直径AB的长为83.（2015日照）如图，抛物线与直线交于A、B两点，交x轴于D、C两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）.（1）抛物线的函数关系式为 ，tanBAC= .（2）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出所有符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由.（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到点A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【解答】解：（）把A（0，3），C（3，0）代入yx2+mx+n，得，解得：抛物线的解析式为yx2x+3联立，解得：或，点B的坐标为（4，1）如图1C（3，0），B（4，1），A（0，3），AB220，BC22，AC218，BC2+AC2AB2，ABC是直角三角形，ACB90，tanBAC；（）方法一：（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似过点P作PGy轴于G，则PGA90设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x0，则PGxPQPA，ACB90，APQACB90若点G在点A的下方，如图2，当PAQCAB时，则PAQCABPGAACB90，PAQCAB，PGABCA，AG3PG3x则P（x，33x）把P（x，33x）代入yx2x+3，得x2x+333x，整理得：x2+x0解得：x10（舍去），x21（舍去）如图2，当PAQCBA时，则PAQCBA同理可得：AGPGx，则P（x，3x），把P（x，3x）代入yx2x+3，得x2x+33x，整理得：x2x0解得：x10（舍去），x2，P（，）；若点G在点A的上方，当PAQCAB时，则PAQCAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）当PAQCBA时，则PAQCBA同理可得：点P的坐标为P（，）综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；方法二：作APQ的“外接矩形”AQGH，易证AHPQGP，以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似，或，设P（2t，2t25t+3），A（0，3），H（2t，3），|，2t1，2t2，|32t111，2t21，（舍），满足题意的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）方法一：过点E作ENy轴于N，如图3在RtANE中，ENAEsin45AE，即AEEN，点M在整个运动中所用的时间为+DE+EN作点D关于AC的对称点D，连接DE，则有DEDE，DCDC，DCADCA45，DCD90，DE+ENDE+EN根据两点之间线段最短可得：当D、E、N三点共线时，DE+ENDE+EN最小此时，DCDDNONOC90，四边形OCDN是矩形，NDOC3，ONDCDC对于yx2x+3，当y0时，有x2x+30，解得：x12，x23D（2，0），OD2，ONDCOCOD321，NEANAOON312，点E的坐标为（2，1）方法二：作点D关于AC的对称点D，DD交AC于点M，显然DEDE，作DNy轴，垂足为N，交直线AC于点E，如图4，在RtANE中，ENAEsin45AE，即AEEN，当D、E、N三点共线时，DE+ENDE+EN最小，A（0，3），C（3，0），lAC：yx+3，M（m，m+3），D（2，0），DMAC，KDMKAC1，1，m，M（，），M为DD的中点，D（3，1），EYDY1，E（2，1）方法三：如图，5，过A作射线AFx轴，过D作射线DFy轴，DF与AC交于点EA（0，3），C（3，0），lAC：yx+3OAOC，AOC90，ACO45，AFOC，FAE45EFAEsin45当且仅当AFDF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t+DE+EF，抛物线的解析式为yx2x+3，且C（3，0），可求得D点坐标为（2，0）则E点横坐标为2，将x2代入lAC：yx+3，得y1所以E（2，1）4.（2014成都）如图，已知抛物线与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一个交点为D.（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数关系式.（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为多少时，点M在整个运动过程中用时最少？（3）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与ABC相似，求k的值.【解答】解：（1）抛物线y（x+2）（x4），令y0，解得x2或x4，A（2，0），B（4，0）直线yx+b经过点B（4，0），4+b0，解得b，直线BD解析式为：yx+当x5时，y3，D（5，3）点D（5，3）在抛物线y（x+2）（x4）上，（5+2）（54）3，k抛物线的函数表达式为：y（x+2）（x4）即yx2x（2）由抛物线解析式，令x0，得yk，C（0，k），OCk因为点P在第一象限内的抛物线上，所以ABP为钝角因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCPAB若ABCAPB，则有BACPAB，如答图21所示设P（x，y），过点P作PNx轴于点N，则ONx，PNytanBACtanPAB，即：，yx+kP（x，x+k），代入抛物线解析式y（x+2）（x4），得（x+2）（x4）x+k，整理得：x26x160，解得：x8或x2（与点A重合，舍去），P（8，5k）ABCAPB，即，解得：k若ABCPAB，则有ABCPAB，如答图22所示设P（x，y），过点P作PNx轴于点N，则ONx，PNytanABCtanPAB，即：，yx+P（x，x+），代入抛物线解析式y（x+2）（x4），得（x+2）（x4）x+，整理得：x24x120，解得：x6或x2（与点A重合，舍去），P（6，2k）ABCPAB，解得k，k0，k，综上所述，k或k（3）方法一：如答图3，由（1）知：D（5，3），如答图22，过点D作DNx轴于点N，则DN3，ON5，BN4+59，tanDBA，DBA30过点D作DKx轴，则KDFDBA30过点F作FGDK于点G，则FGDF由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：tAF+DF，tAF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段过点A作AHDK于点H，则t最小AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点A点横坐标为2，直线BD解析式为：yx+，y（2）+2，F（2，2）综上所述，当点F坐标为（2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少方法二：作DKAB，AHDK，AH交直线BD于点F，DBA30，BDH30，FHDFsin30，当且仅当AHDK时，AF+FH最小，点M在整个运动中用时为：t，lBD：yx+，FXAX2，F（2，）5.（2017徐州二模）二次函数图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，-3）.（1） ， ；（2）如图，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求的最小值.（3）如图，点M在抛物线上，若，求点M的坐标.【解答】解：（1）把C（3，0），B（0，3）代入yax22x+c得到，解得故答案为1，3（2）如图1中，作PHBC于HOBOC3，BOC90，PCH45，在RtPCH中，PHPCDP+PC（PD+PC）（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH，在RtDHB中，BD4，DBH45，DHBD2，DP+PC的最小值为24（3）如图2中，取点E（1，0），作EGBC于G，易知EGSEBCBCEG33，过点E作BC的平行线交抛物线于M1，M2，则3，3，直线BC的解析式为yx3，直线M1M2的解析式为yx1，由解得或，M1（，），M2（，），根据对称性可知，直线M1M2关于直线BC的对称的直线与抛物线的交点M3、M4也满足条件，易知直线M3M4的解析式为yx5，由解得或，M3（14），M4（2，3），综上所述，满足条件的点M的坐标为M1（，），M2（，），M3（14），M4（2，3）6.（2016随州）已知抛物线，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D.（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为 .（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B