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问题 初中时学习的锐角 的正弦 余弦 正切是如何定义的 在Rt ABC中 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数 1 任意角的三角函数 O 构建数学 一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关 与点P x y 在终边上的位置无关 公式一揭示了三角函数值呈周期性变化 即角的终边绕原点每旋转一周 函数值重复出现 1 三角函数都是以角为自变量 在弧度制中 三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值 可将求任意角的三角函数值 转化为求0 或0 360 范围内的三角函数值 终边相同的角的同名三角函数值相等 三角函数的定义域是y sin Ry cos R y tan k k Z 例1已知角 的终边经过点P 4 3 求角 的正弦 余弦 正切值 变式 已知角 的终边经过点P 4a 3a a 0 求角 的正弦 余弦 正切值 例2 已知角 的终边上一点P y 其中y 0 且sin 求cos 和tan 解 sin 解得y2 5 y 当y 时 cos tan 当y 时 cos tan 解 1 因为当 0时 x r y 0 所以 例3 求下列各角三角函数值 1 0 2 3 sin0 0 cos0 1 tan0 0 2 因为当 时 x r y 0 所以 sin 0 cos 1 tan 0 3 因为当 时 x 0 y r 所以 sin 1 cos 0 tan不存在 例4 在直角坐标系中 终边过点 1 的所有角的集合是 解 点 1 在第一象限 且x 1 y 所以r 2 sin cos 所以满足条件的角 2k 2k k Z 2 三角函数在各象限内的符号 角 是 任意角 由三角函数定义可知 由于P x y 点的坐标x y的正负是随角 所在的象限的变化而不同 所以三角函数的符号应由角 所在的象限确定 正弦 余弦 正切函数的值在各象限的符号 1 正弦函数值的符号与y的符号相同 余弦函数的符号与x的符号相同 2 三角函数正值口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦 例1 确定下列三角函数值的符号 1 cos250 2 3 tan 672 4 解 1 250 在第三象限 所以cos250 0 2 在第四象限 所以sin 0 3 672 在第一象限 所以tan 672 0 4 在第四象限 所以tan 0 若已知角 的一个三角函数符号 则角 所在的象限有两种可能 若已知角 的两个三角函数符号 则角 所在的象限就惟一确定 例2 设sin 0 确定 是第几象限的角 解 因为sin 0 可能是第一 三象限的角 综上所述 是第三象限的角 例3 若三角形的两内角 满足sin cos 0 则此三角形必为 A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 以上三种情况都可能 B 练习 1 函数y 的值域是 A 1 1 B 1 1 3 C 1 3 D 1 3 C A是第三象限角 且 sin sin 则是 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 D 2 3 sin2 cos3 tan4的值 A 大于0
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