《数学期望》PPT课件.ppt

2020年3月26日星期四 1 概率论与数理统计 大学理学院数学系 伯努利 Bernoulli 柯尔莫哥洛夫 Kolmogorov 2020年3月26日星期四 2 第四章随机变量的数字特征 问题的提出 在实际应用中 除了需要了解随机变量的分布函数外 我们更关心能够反映随机变量某些特征的指标 考察广州市区居民的家庭收入情况 我们既要知道家庭的年平均收入 又要研究贫富之间的差异程度 例如 在评定某地区粮食产量水平时 最关心的是平均产量 在检查一批棉花的质量时 既需要注意纤维的平均长度 又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度 2020年3月26日星期四 3 第一节数学期望 一 离散型随机变量的数学期望 二 连续型随机变量的数学期望 三 数学期望的性质 2020年3月26日星期四 4 一 离散型随机变量的数学期望 定义 设X是离散型随机变量 其分布律为 若级数收敛 则称级数为X的数学期望 记为E X 即 例 设X表示掷一颗均匀的骰子的点数 求E X 解 因为X的分布律为 所以 2020年3月26日星期四 5 例 在一个人数很多的团体中普查某种疾病 N个人去验血 用两种方法来化验血 1 每个人的血分别化验 须验N次 2 把k个人的血液混在一起化验 如果是阴性的 则对这k个人只需作一次化验 如果是阳性的 则对该k个人再逐个分别化验 此时共需作k 1次化验 假定对所有人来说 化验是阳性反应的概率都是p 且这些人的反应是相互独立的 试说明按方法 2 可减少化验次数 并说明k取何值时最为适当 解 设q 1 p 则k个人的混合血呈阳性的概率为1 qk 对于方法 2 每个人的血需化验的次数X是随机变量 其分布律为 2020年3月26日星期四 6 关于最佳k的选择 例 在一个人数很多的团体中普查某种疾病 N个人去验血 用两种方法来化验血 1 每个人的血分别化验 须验N次 2 把k个人的血液混在一起化验 如果是阴性的 则对这k个人只需作一次化验 如果是阳性的 则对该k个人再逐个分别化验 此时共需作k 1次化验 假定对所有人来说 化验是阳性反应的概率都是p 且这些人的反应是相互独立的 试说明按方法 2 可减少化验次数 并说明k取何值时最为适当 2020年3月26日星期四 7 几种常见的离散型随机变量的数学期望 1 0 1分布的数学期望 E X p 2 二项分布的数学期望 E X np 2020年3月26日星期四 8 2020年3月26日星期四 9 3 泊松分布的数学期望 4 几何分布的数学期望 2020年3月26日星期四 10 一维离散型随机变量函数的数学期望 定义 设X是离散型随机变量 其分布律为 若级数绝对收敛 则有 对任一实值函数g 例 设X表示掷一颗均匀的骰子的点数 求E X2 解 2020年3月26日星期四 11 例 由自动线加工的某种零件的内径X 毫米 服从正态分布N 1 内径小于10或大于12的零件为不合格品 其余为合格品 销售每件合格品获利 销售每件不合格品亏损 设销售利润L 元 与零件的内径的关系为 问平均内径 取何值时 销售一个零件的平均利润最大 解 因为X 1 所以 从而 2020年3月26日星期四 12 由销售利润L和X的关系得 因为 2020年3月26日星期四 13 E L 取最大值 所以 即 故当时 销售一个零件的平均利润最大 2020年3月26日星期四 14 定义 设 X Y 是二维离散型随机变量 其分布律为 若级数绝对收敛 则有 二维离散型随机变量函数的数学期望 2020年3月26日星期四 15 例 设 X Y 的分布律为 求E XY 解 2020年3月26日星期四 16 二 连续型随机变量的数学期望 定义 设X是连续型随机变量 其概率密度为f x 若积分绝对收敛 则称级数为X的 数学期望 记为E X 即 例 设X的概率密度为 解 求E X 2020年3月26日星期四 17 例 设X的概率密度为 解 求E X 2020年3月26日星期四 18 例 设随机变量X的密度函数为 已知E X 2 试求a b的值 所以 a 1 4 b 1 2020年3月26日星期四 19 几种常见的连续型随机变量的数学期望 1 均匀分布的数学期望 2 指数分布的数学期望 2020年3月26日星期四 20 3 正态分布的数学期望 2020年3月26日星期四 21 一维连续型随机变量函数的数学期望 定义 设X是连续型随机变量 其概率密度为f x 则有 例 设一根长度为1的木棍被在 0 1 上服从均匀分布的点X所截 求包含点p的那段木棍的期望长度 其中0 p 1 解 X的概率密度为 若积分绝对收敛 2020年3月26日星期四 22 令L X 表示包含点p的那段木棍的长度 则有 于是 即当p 0 5时 期望长度E L X 最大 2020年3月26日星期四 23 例 设随机变量X N 0 1 求E X2 E X3 E X4 解 2020年3月26日星期四 24 例 设长途汽车起点站于每时的10分 30分 55分发车 设乘客不知发车时间 于每小时的任意时刻随机地到达车站 求乘客的平均候车时间 解 设乘客于每时X分到达车站 候车时间为Y 则 于是 10分25秒 2020年3月26日星期四 25 定义 设连续型随机变量 X Y 的概率密度为f x y 二维连续型随机变量函数的数学期望 若积分绝对收敛 则有 2020年3月26日星期四 26 解 例 设 X Y 的概率密度为 求E Y E XY 2020年3月26日星期四 27 解 例 设 X Y 的概率密度为 求E Y E 1 XY 2020年3月26日星期四 28 2020年3月26日星期四 29 例 设 X Y 的概率密度为 求E X Y E XY 解 2020年3月26日星期四 30 三 数学期望的性质 1 E C C C为常数 证明 2 E CX CE X C为常数 3 设X和Y是两个随机变量 则有 E X Y E X E Y 证明 2020年3月26日星期四 31 4 设X和Y是两个相互独立的随机变量 则有 E XY E X E Y 证明 2020年3月26日星期四 32 例 设X B n p 求E X 解 设 其中 因此 每个服从0 1分布 且有 于是 2020年3月26日星期四 33 例 设N个人将他们的帽子抛向屋子的中央 将帽子充分混合后 每人随机地从中取出一顶 求刚好拿到自己帽子的人数的数学期望 解 设X表示帽子和人刚好配对的人数 则有 其中 因此 每个服从0 1分布 且有 于是 2020年3月26日星期四 34 例 一民航送客车载有20位旅客自机场出发 旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车就不停车 以X表示停车的次数 求E X 设每位旅客在各个车站下车是等可能的 并设各旅客是否下车相互独立 解 令 从而 本题是将X分解成数个随机变量之和 然后利用随机变量和的数学期望