三垂线定理及其逆定理ppt课件.ppt

一 直线和平面 三垂线定理 第九章 天马行空官方博客 已知PA PO分别是平面 的垂线 斜线 AO是PO在平面 上的射影 a a AO 求证 a PO 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么 它就和这条斜线垂直 三垂线定理 证明 a PO PA a AO a a 平面PAO PO 平面PAO PA a 三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理 相交直线 异面直线 注意 这两条直线可以是 例1已知P是平面ABC外一点 PA 平面ABC AC BC 求证 PC BC 证明 PA 平面ABC PC是平面ABC的斜线 AC是PC在平面ABC上的射影 BC 平面ABC且AC BC 由三垂线定理得PC BC 例2直接利用三垂线定理证明下列各题 1 PA 正方形ABCD所在平面 O为对角线BD的中点求证 PO BD PC BD 3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求证 A1C B1D1 A1C BC1 2 已知 PA 平面PBC PB PC M是BC的中点 求证 BC AM 1 我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件 怎么找 解题回顾 三垂线定理解题的关键 找三垂 怎么找 一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直 注意 由一垂 二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件 解题回顾 直线a一定要在平面内 如果a不在平面内 定理就不一定成立 例如 当a 时 a OA 但a不垂直于OP 注意 如果将定理中 在平面内 的条件去掉 结论仍然成立吗 解题回顾 面ABCD 面 面B1BCC1 面 直线A1C 斜线a直线AB 垂线b 一 直线和平面 三垂线定理的逆定理 第九章 三垂线定理包含几种垂直关系 线射垂直 线面垂直 线斜垂直 直线和平面垂直 平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直 平面内的直线和平面的一条斜线垂直 线射垂直 线斜垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 已知 PA PO分别是平面 的垂线和斜线 AO是PO在平面 的射影 a a PO求证 a AO 三垂线定理的逆定理 例3如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上 已知 BAC在平面 内 点P PE AB PF AC PO 垂足分别是E F O PE PF求证 BAO CAO 例4在四面体ABCD中 已知AB CD AC BD求证 AD BC DO BC 于是AD BC 证明 作AO 平面BCD于点O 连接BO CO DO 则BO CO DO分别为AB AC AD在平面BCD上的射影 AB CD CD 平面BCD BO CD 同理CO BD 于是O是 BCD的垂心 在正方体AC1中 E G分别是AA1和CC1的中点 F在AB上 且C1E EF 则EF与GD所成的角的大小为 A30 B45 C60 D90 D EB1是EC1在平面AB1内的射影 EB1 EFDG AM EB1EF DG 练习 2 已知PA PB PC两两垂直 求证 P在平面ABC内的射影是 ABC的垂心 3 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线 如果斜线和这个角两边的夹角相等 那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线 4 在ABCD A1B1C1D1中 求证 AC1 平面A1BD 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平