求轨迹方程方法总结

精品文档 1 1欢迎下载 高考数学中求轨迹方程的常见方法 一 直接法一 直接法 u c o m 当所求动点的要满足的条件简单明确时 直接按 建系设点 列出条件 代入坐标 整理化简 限制说明 五个基本步骤求轨迹方程 称之直接法 例 1 已知点 动点满足 则点的轨迹为 0 2 A 0 3 B yxP 2 xPBPA P A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解 3 2 yxPByxPA 2 3 2 yxxPBPA 由条件 整理得 此即点的轨迹 22 6yxx 222 6xyxx 6 2 xyP 方程 所以的轨迹为抛物线 选 D P 例例 1 1 已知直角坐标平面上点Q 2 0 和圆C 1 22 yx 动点M到圆C的切线长与 MQ的比等于常数 0 如图 求动点M的轨迹方程 说明它表示什么曲线 解析解析 设M x y 直线MN切圆C于N 则有 MQ MN 即 MQ ONMO 22 22 22 2 1 yx yx 整理得0 41 4 1 1 222222 xyx 这就是动点 M的轨迹方程 若1 方程化为 4 5 x 它表示过点 0 4 5 和x轴垂直的一条直线 若 1 方程化为 22 2 22 2 2 1 31 1 2 yx 它表示以 0 1 2 2 2 为圆心 1 31 2 2 为半径的圆 二 定义法二 定义法 定义法是指先分析 说明动点的轨迹满足某种特殊曲线 如圆 椭圆 双曲线 抛物 线等 的定义或特征 再求出该曲线的相关参量 从而得到轨迹方程 例 2 已知中 的对边分别为 若依次构成ABC A B C abcbca 等差数列 且 求顶点的轨迹方程 bca 2 ABC 解 如右图 以直线为轴 线段的中点为原ABxAB C B y x O A 精品文档 2 2欢迎下载 点建立直角坐标系 由题意 构成等差数列 bca bac 2 即 又 的轨迹为椭圆的左半部分 在此椭圆4 2 ABCBCACACB C 中 故的轨迹方程为 1 2 ca3 b C 2 0 1 34 22 xx yx 例例 3 3 若动圆与圆4 2 22 yx外切且与直线x 2 相切 则动圆圆心的轨迹方程是 A 01212 2 xy B 01212 2 xy C 08 2 xy D 08 2 xy 解析解析 如图 设动圆圆心为M 由题意 动点M到定圆圆心 2 0 的距离等于它 到定直线x 4 的距离 故所求轨迹是以 2 0 为焦点 直线x 4 为准线的抛物线 并 且p 6 顶点是 1 0 开口向左 所以方程是 1 12 2 xy 选 B 例例 4 4 一动圆与两圆1 22 yx和0128 22 xyx都外切 则动圆圆心轨迹为 A 抛物线 B 圆 C 双曲线的一支 D 椭圆 解析 如图 设动圆圆心为M 半径为r 则有 1 2 1 MOMC rMC rMO 动点M到两定点的距 离之差为 1 由双曲线定义知 其轨迹是以O C为焦点的双曲线的左支 选 C 三 点差法三 点差法 将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差 得到一个与弦的中点和斜 率有关的式子 可以大大减少运算量 我们称这种代点作差的方法为 点差法 例 3 抛物线焦点弦的中点轨迹方程是 2 4yx 设弦端点 中点为 则 1122 A x yB xyAB M x y 2 11 2 22 4 4 yx yx 因为所以 12 12 12 4 yy yy xx 12 12 12 2 1 yyy yyy xxx 2 2 1 yx 四 几何法四 几何法 几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质 发现动点的运动规律和要满 足的条件 从而得到动点的轨迹方程 精品文档 3 3欢迎下载 例 4 已知点 过 作两条互相垂直的直线和 求和 2 3 A 4 1 BAB 1 l 2 l 1 l 的交点的轨迹方程 2 lM 解 由平面几何知识可知 当为直角三角形时 点的轨迹是以为直径ABM MAB 的圆 此圆的圆心即为的中点 半径为 方程为AB 1 1 2 52 2 1 AB 故的轨迹方程为 13 1 1 22 yxM13 1 1 22 yx 五 参数法五 参数法 参数法是指先引入一个中间变量 参数 使所求动点的横 纵坐标间建立起联系 yx 然后再从所求式子中消去参数 得到间的直接关系式 即得到所求轨迹方程 yx 例 5 过抛物线 的顶点作两条互相垂直的弦 求弦pxy2 2 0 pOOAOB 的中点的轨迹方程 ABM 解 设 直线的斜率为 则直线的斜率为 直线 OA 的 yxMOA 0 kkOB k 1 方程为 由解得 即 同理可得 kxy pxy kxy 2 2 k p y k p x 2 2 2 2 2 2 k p k p A 2 2 2 pkpkB 由中点坐标公式 得 消去 得 此即点的轨迹方 pk k p y pk k p x 2 2 k 2 2 pxpy M 程 例例 5 5 设椭圆中心为原点O 一个焦点为F 0 1 长轴和短轴的长度之比为t 1 求椭 圆的方程 2 设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q 点P在 该直线上 且1 2 tt OQ OP 当t变化时 求点P的轨迹方程 并说明轨迹是什么图 形 解析解析 1 设所求椭圆方程为 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 由题意得 1 22 t b a ba 解得 1 1 1 2 2 2 2 2 t b t t a 所以椭圆方程为 222222 1 1 tytxtt 精品文档 4 4欢迎下载 2 设点 11 yxQyxP解方程组 1 1 11 22 1 22 1 22 txy tytxtt 得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 t t y t x 由1 2 tt OQ OP 和 1 x x OQ OP 得 2 2 2 2 22 t y t x t y t x 或 其中t 1 消去t 得点P轨迹方程为 2 2 2 2 2 xyx和 2 2 2 2 2 xyx 其轨迹为抛物线yx 2 2 2 在直线 2 2 x右侧的部分和抛物线yx 2 2 2 在直线 2 2 x在侧的部分 六 交轨法六 交轨法 求两曲线的交点轨迹时 可由方程直接消去参数 或者先引入参数来建立这些动曲线 的联系 然后消去参数来得到轨迹方程 称之交轨法 例 6 如右图 垂直于轴的直线交双曲线于x1 2 2 2 2 b y a x 两点 为双曲线的左 右顶点 求直线与MN 21 A AMA1 的交点的轨迹方程 并指出轨迹的形状 NA2P 解 设及 又 可得 yxP 1111 yxNyxM 0 0 21 aAaA 直线的方程为 直线的方程为 MA1 1 1 ax ax y y NA2 1 1 ax ax y y 得 又 代入 22 22 1 2 12 ax ax y y 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 2 1 2 2 2 2 1 xa a b y 得 化简得 此即点的轨迹方程 当时 点 22 2 2 2 ax a b y 1 2 2 2 2 b y a x Pba 的轨迹是以原点为圆心 为半径的圆 当时 点的轨迹是椭圆 Paba P 例例 6 6 已知两点 2 0 2 2 QP 以及一条直线 y x 设长为2的线段AB在直线 上移 动 求直线PA和QB交点M的轨迹方程 xA1A2O y N M P 精品文档 5 5欢迎下载 解析解析 PA和QB的交点M x y 随A B的移动而变化 故可设 1 1 ttBttA 则PA 2 2 2 2 2 tx t t yQB 1 1 1 2 tx t t y消去t 得 0 822 22 yxyx当t 2 或t 1 时 PA与QB的交点坐标也满足上式 所以 点M的轨迹方程是 0 8222 22 yxxyx 七 代入法七 代入法 当题目中有多个动点时 将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示 再代入Pyx 到其他动点要满足的条件或轨迹方程中 整理即得到动点的轨迹方程 称之代入法 也P 称相关点法 转移法 例 7 如图 从双曲线上一点引直线1 22 yxCQ 的垂线 垂足为 求线段的中点的轨迹方程 2 yxlNQNP 解 设 则 因为在直线 上 11 yx QyxP 2 2 11 yyxxN Nl 又得即 2 22 11 yyxxlPN 1 1 1 xx yy 0 11 xyyx 联解 得 又点在双曲线上 2 23 2 23 1 1 xy y yx x QC 化简整理得 此即动1 2 23 2 23 22 xyyx 012222 22 yxyx 点的轨迹方程 P 例例 2 2 已知抛物线1 2 xy 定点A 3 1 B为抛物线上任意一点 点P在线段AB上 且有BP PA 1 2 当点B在抛物线上变动时 求点P的轨迹方程 并指出这个轨迹为哪种 曲线 解析解析 设 11 yxByxP 由题设 P分线段AB的比2 PB AP 21 21 21 23 11 y y x x解得 2 1 2