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第三节向量的乘法 一 向量的数量积二 向量的向量积三 向量的混合积四 小结 思考题 实例 一 两向量的数量积 启示我们可以定义向量的一种乘法运算 两向量作这样的运算 结果是一个数量 数量积也称为 点积 内积 由此得 定义 推导数量积的坐标表达式 如右图 由余弦定理得 设 则上式可写成 于是 是任意实数 那么 交换律 数乘结合律 分配律 运算律 两向量夹角余弦满足 正交 或垂直 记作 证 定理 有一个为 结论显然成立 不妨设 定理的坐标形式为 解 例2已知点M 1 1 1 A 2 2 1 B 2 1 2 求 AMB 解 AMB可以看成向量 与 的夹角 而 2 1 2 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 2 1 1 0 1 故 1 1 1 0 0 1 1 带入公式 实例 二 两向量的向量积 定义 关于向量积的说明 向量积也称为 叉积 外积 反交换律 并规定 向量积符合下列运算规律 分配律 是任意实数 那么 结合律 例5设是两个向量 证明 证设均为非零向量 否则命题不证自明 设 向量积的分解表达式 向量积还可用行列式表示 即 两向量的向量积的几何意义 例6设平面 过空间三点A 1 0 0 B 3 1 1 C 2 1 2 求一个垂直于平面 的向量 解 故可取 解 三角形ABC的面积为 例8设刚体以等角速率 绕l轴旋转 计算刚体上一点M的线速率 解刚体旋转时 我们可用转动轴l上的向量表示角速度 它的大小 它的方向按右手法则定出 如右图 设点M到l轴的距离为a 任取l轴上一点记为O 并记 若用 表示与的夹角 则有 从物理中知道 线速率与角速率有如下关系 又符合右手法则 因此得 定义 设 三 向量的混合积 下面推导混合积的坐标表达式 因为 所以 即 显然 1 向量混合积的几何意义 关于混合积的说明 例9已知空间内四点A 1 1 1 B 3 4 4 C 3 5 5 和D 2 4 7 求四面体ABCD的体积 解 故 例10问点A 1 1 1 B 4 5 6 C 2 3 3 和D 10 15 17 四点是否在同一平面上 向量的数量积 向量的向量积 向量的混合积 结果是一个数量 结果是一
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