《函数的极值与最值》经典题(教师版)

精品文档 1欢迎下载 函数的极值与最值函数的极值与最值 经典题经典题 例 已知函数 求的极值 1 32 3f xxx f x 解 由题意得 2 3632fxxxx x 令 解得 0fx 1 0 x 2 2x 变化时 的变化情况如下表 x fx f x x 0 0 0 2 2 2 fx 0 0 f x极大值极小值 所以的极大值为 极小值为 f x 0 0f 2 4f 变式 已知函数 求的极值 1 32 3f xxax 0 a f x 解 由题意得 2 3632fxxaxx xa 令 解得 0fx 1 0 x 2 2xa 0 a 变化时 的变化情况如下表 x fx f x x 0 0 0 2a2a 2 a fx 0 0 f x极大值极小值 所以的极大值为 极小值为 f x 0 0f 3 2 4faa 变式 已知函数 求的极值 2 32 3f xxax f x 解 由题意得 2 3632fxxaxx xa 令 解得 0fx 1 0 x 2 2xa 若 当或时 单调递增 0a 2xa 0fx f x 当 单调递减 20ax 2xa 0 x 0fx f x 当 单调递减 20ax 0fx f x 所以极小值为 极大值为 3 2 4faa 0 0f 变式 已知函数 求在的最值 3 32 3f xxx f x 1 4 2 解 由题意得 2 3632fxxxx x 令 解得 0fx 1 0 x 2 2x 变化时 的变化情况如下表 x fx f x x 0 0 0 2 2 2 fx 0 0 f x极大值 0极小值4 又 17 28 f 4 16f 在的最小值为 最大值为 f x 1 4 2 2 4f 4 16f 变式 已知函数 若在处取得极大值 求实数4 33 3f xaxa x 0 a f x1x a 的值 解 33 3f xaxa x 2322 333 fxaxaa xa 在处取得极大值 f x1x 2 1 3 1 0faa 或0a 1a 1a 当时 1a 3 3f xxx 3 1 1 fxxx 当或时 单调递增 当时 1x 1x 0fx f x11x 0fx 单调递减 所以在处取得极小值 于是不合题意 应舍去 f x f x1x 1a 精品文档 3欢迎下载 当时 1a 3 3f xxx 2 333 1 1 fxxxx 当或时 单调递减 当时 1x 1x 0fx f x11x 0fx 单调递增 所以在处取得极大值 于是符合题意 f x f x1x 1a 综上 实数的值是 a1a 例 已知函数2 ln a f xx x 1 若 求的极值 1a f x 2 若 求在上的最大值 1a f x 2 1 2 e 3 若在上的最小值为 求的值 f x 1 e 3 2 a 4 若在上恒成立 求的取值范围 2 f xx 1 a 解 1 当时 则的定义域为 1a 1 lnf xx x f x 0 令得 22 111 x fx xxx 0fx 1x 当时 单调递减 当时 单调递增 所01x 0fx f x1x 0fx f x 以的极小值为 无极大值 f x 1 1f 2 当时 则的定义域为 1a 1 lnf xx x f x 0 22 111 x fx xxx 于是 当在上变化时 fxf x 的变化情况如下表 x 2 1 2 e x 1 2 1 1 2 1 2 1 e 2 e fx 0 f x 2ln2 极小值1 2 1 2 e 由上表可得 当时函数取得最大值 2 xe f x 2 1 2 e 3 2 xa fx x 1 xe 精品文档 4欢迎下载 若 则即在上恒成立 此时在上是增函1a 0 xa 0fx 1 e f x 1 e 数 舍去 min 3 1 2 f xfa 3 2 a 若 则即在上恒成立 此时在上是减函ae 0 xa 0fx 1 e f x 1 e 数 舍去 min 3 1 2 a f xf e e 2 e a 若 令 得1ea 0fx xa 当时 在上为增函数axe 0fx f x a e 当时 在上为减函数1xa 0fx f x 1 a min 3 ln 1 2 f xfaa ae 综上 的值是ae 又 4 2 f xx 2 ln a xx x 0 x 3 lnaxxx 令 则 3 lng xxxx 2 1 ln3h xg xxx 2 11 6 6 x h xx xx 在上是减函数 1 x 0h x h x 1 即 1 20h xh 0g x 在上也是减函数 g x 1 1 1g xg 当时 在上恒成立 1a 2 f xx 1 例 已知函数3 ln f xxaxaR 求函数的单调区间 f x 当时 求函数在上的最值 2 3 a f x 1 e 当时 求函数在上的最小值 0a f x 1 2 若函数有两个零点 求实数的取值范围 xfa 精品文档 5欢迎下载 解 函数的定义域是 f x 0 1 fxa x 当时 0a 1 fxa x 0 故函数增函数 即函数的单调增区间为 f x f x 0 当 0a 时 令 可得 1 fxa x 0 1 x a 当时 当时 1 0 x a 1 0 ax fx x 1 x a 1 0 ax fx x 故函数的单调递增区间为 单调减区间是 f x 1 0 a 1 a 当时 2 3 a 2 ln 3 f xxx 12 3 fx x 令解得 12 0 3 fx x 3 2 x 当时 当时 故在时取得极 3 1 2 x 0fx 3 2 xe 0fx f x 3 2 x 大值 也是最大值 max 33 ln1 22 f xf 故在 22 1 1 33 ff ee 5252 1 0 333 e f efe f x 时取得最小值 xe min 2 1 3 f xf ee 当 即时 函数在区间 1 2 上是减函数 1 1 a 1a f x 的最小值是 f x 2 ln22fa 当 即时 函数在区间 1 2 上是增函数 1 2 a 1 2 a f x 的最小值是 f x 1 fa 当 即时 函数在上是增函数 在是减函 1 12 a 1 1 2 a f x 1 1 a 1 2 a 数 又 当时 最小值是 2 1 ln2ffa 1 ln2 2 a 1 fa 当时 最小值为 ln21a 2 ln22fa 综上可知 当时 函数的最小值是 当时 函0ln2a f x min f xa ln2a 精品文档 6欢迎下载 数的最小值是 f x min ln2f x 由 1 知时 在单调递增 当时 0 a xf 0 0 x f x 当时 所以只有一个零点 不合题意 x f x xf 当时 在单调递增在单调递减 所以当时 0 a xf 1 0 a xf 1 aa x 1 max 1 1 lnf xfa a 当时 当时 所以要使函数0 x f x x f x 有两个零点 xf 只需 即解得 1 0 0 f a a 1 ln0 0 a a 1 0a e 所以时 有两个零点 1 0a e xf 例 已知函数 2 1 21 2ln 2 f xaxaxxa R 4 若曲线 yf x 在1x 和3x 处的切线互相平行 求a的值 求 f x的单调区间 设 2 2g xxx 若对任意 1 0 2 x 均存在 2 0 2 x 使得 12 f xg x 求a的取值范围 解 2 21 fxaxa x 0 x 1 3 ff 解得 2 3 a 1 2 axx fx x 0 x 当0a 时 0 x 10ax 在区间 0 2 上 0fx 在区间 2 上 0fx 故 f x的单调递增区间是 0 2 单调递减区间是 2 当 1 0 2 a 时 1 2 a 在区间 0 2 和 1 a 上 0fx 在区间 1 2 a 上 0fx 故 f x的单调递增区间是 0 2 和 1 a 单调递减区间是 1 2 a 精品文档 7欢迎下载 当 1 2 a 时 2 2 2 x fx x 故 f x的单调递增区间是 0 当 1 2 a 时 1 02 a 在区间 1 0 a 和 2 上 0fx 在区间 1 2 a 上 0fx 故 f x的单调递增区间是 1 0 a 和 2 单调递减区间是 1 2 a 由已知 在 0 2 上有 maxmax f xg x 由已知 max 0g x 由 可知 当 1 2 a 时 f x在 0 2 上单调递增 故 max 2 22 21 2ln2222ln2f xfaaa 所以 222ln20a 解得ln2 1a 故 1 ln2 1 2 a 当 1 2 a 时 f x在 1 0 a 上单调递增 在 1 2 a 上单调递减 故 max 11 22ln 2 f xfa aa 由 1 2 a 可知 11 lnlnln1 2e a 2ln2a 2ln2a 所以 22ln0a max 0f x 综上所述 ln2 1a 例 已知函数 5 32 f xxaxb a b R 1 求函数的单调递增区间 f x 2 若对任意 函数在上都有三个零点 求实数的取值范围 3 4a f xRb 解 1 因为 所以 32 f xxaxb 2 2 323 3 a fxxaxx x 当时 函数没有单调递增区间 0a 0fx f x 当时 令 得 故的单调递增区间为 0a 0fx 2 0 3 a x f x 2 0 3 a 当时 令 得 故的单调递增区间为 0a 0fx 2 0 3 a x f x 2 0 3 a 2 由 1 知 时 的单调递增区间为 单调递减区间 3 4a f x 2 0 3 a 为和 所以函数在处取得极小值 0 2 3 a f x0 x 0fb 函数在处取得极大值 f x 2 3 a x 3 24 327 aa fb 精品文档 8欢迎下载 由于对任意 函数在上都有三个零点 3 4a f xR 所以即解得 00 2 0 3 f a f 3 0 4 0 27 b a b 3 4 0 27 a b 因为对任意 恒成立 所以 3 4a 3 4 27 a b 33 max 44 3 4 2727 a b 所以实数的取值范围是 b 4 0 例 2009 陕西卷文 已知函数 3 31 0f xxaxa 6 求 f x的单调区间 若 f x在1x 处取得极值 直线与 yf x 的图象有三个不同的交点 求ym 的取值范围 m 解 1 22 333 fxxaxa 当0a 时 对xR 有 0 fx 当0a 时 f x的单调增区间为 当0a 时 由 0fx 解得xa 或xa 由 0fx 解得axa 当0a 时 f x的单调增区间为 aa f x的单调减区间为 aa 2 因为 f x在1x 处取得极大值 所以 2 1 3 1 30 1 faa 所以 3 2 31 33 f xxx