一元二次方程根的分布练习及答案

精品文档 1欢迎下载 一元二次方程根的分布 一 一元二次方程根的基本分布 零分布 所谓一元二次方程根的零分布零分布 指的是方程的根相对于零的关系 比如二次方程有一 正根 有一负根 其实就是指这个二次方程一个根比零大 一个根比零小 或者说 这两 个根分布在零的两侧 设一元二次方程 的两个实根为 且 0 2 cbxax0 a 1 x 2 x 21 xx 定理 1 两个正根 0 1 x0 2 x 2 12 12 40 0 0 bac b xx a c x x a 推论 或0 1 x0 2 x 0 0 0 0 04 2 b cf a acb 0 0 0 0 04 2 b cf a acb 上述推论结合二次函数图象不难得到 例例 1 1 若一元二次方程有两个正根 求的取值0 1 2 1 2 mxmxmm 范围 分析 依题意有0 3 k 5 12 k 精品文档 2欢迎下载 定理 3 21 0 xx 0 a c 例例 3 3 在何范围内取值 一元二次方程有一个正根和一个k033 2 kkxkx 负根 分析 依题意有0 3 3k k k 定理 4 且 1 0 1 x0 2 x 0 c0 a b 且 2 0 1 x0 2 x 0 c0 a b 例例 4 4 若一元二次方程有一根为零 则另一根是正根还03 12 2 kxkkx 是负根 分析 分析 由已知 3 0 3 代入原方程得 3 5 0 另一根为负 kk 2 xx 二 一元二次方程的非零分布 分布k 设一元二次方程 的两实根为 且 为常0 2 cbxax0 a 1 x 2 x 21 xx k 数 则一元二次方程根的分布 即 相对于的位置 有以下若干定理 k 1 x 2 xk 定理 1 21 xxk k a b kaf acb 2 0 04 2 定理 2 kxx 21 k a b kaf acb 2 0 04 2 精品文档 3欢迎下载 定理 3 21 xkx 0 kaf 推论 1 21 0 xx 0 ac 推论 2 21 1xx 0 cbaa 定理 4 有且仅有 或 11 xk 2 x 2 k 0 21 kfkf 定理 5 或 221211 pxpkxk 0 0 0 0 0 2 1 2 1 pf pf kf kf a 0 0 0 0 0 2 1 2 1 pf pf kf kf a 此定理可直接由定理 4 推出 请读者自证 定理 6 或 2211 kxxk 21 2 1 2 2 0 0 0 04 k a b k kf kf a acb 21 2 1 2 2 0 0 0 04 k a b k kf kf a acb 精品文档 4欢迎下载 三 例题与练习 例例 5 5 已知方程的两实根都大于 1 求的取值范围 0211 2 mxxm 4 129 12 m 2 若一元二次方程的两个实根都大于 1 求的取值范围 03 1 2 xmmxm 6252 mm或 3 若一元二次方程的两实根都小于 2 求的取值范围 03 1 2 xmmxm 625 2 1 mm或 例例 6 6 已知方程有一根大于 2 另一根比 2 小 求的取0322 22 mmxxm 值范围 2 2 1 2 2 1 m 2 已知方程有一实根在 0 和 1 之间 求的取值范围 012 2 2 mxmxm 3 2 2 1 m 3 已知方程的较大实根在 0 和 1 之间 求实数的取值范围 012 2 2 mxmxm 变 式 改为较小实根 不可能 2 2 1 m 4 若方程的两实根均在区间 1 内 求的取值范围 0 2 2 kxkx1 k 2 1 324 k 5 若方程的两根中 一根在 0 和 1 之间 另一根在 1 和 2 之012 2 2 kxkx 间 求的取值范围 k 3 2 2 1 k 6 已知关于的方程的两根为且满足x062 1 22 mmmxxm 求的取值范围 或 10m73 m72 m 例例 7 7 已知关于x的二次方程x2 2mx 2m 1 0 1 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求m的范围 2 若方程两根均在区间 0 1 内 求m的范围 本题重点考查方程的根的分布问题 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质 所具有的意义 技巧与方法 设出二次方程对应的函数 可画出相应的示意图 然后用函数性质加以 限制 解 1 条件说明抛物线f x x2 2mx 2m 1 与x轴的交点分别在区间 1 0 和 1 2 内 画出示意图 得 精品文档 5欢迎下载 6 5 2 1 2 1 056 2 024 1 02 1 012 0 m m Rm m mf mf f mf 2 1 6 5 m 2 据抛物线与x轴交点落在区间 0 1 内 列不等式组 10 0 0 1 0 0 m f f 这里 0 m 1 是因为对称轴x m应在区间 0 1 内通过 0 1 2121 2 1 2 1 m mm m m 或 练习练习 1 若方程有两个不相同的实根 求的取值范围 4 3 20 xx mm m 提示 令 转化为关于 的一元二次方程有两个不同的正实根 答案 0 12xttm 2 若关于的方程有唯一的实根 求实数的取x 2 lg 20 lg 863 0 xxxa a 值范围 提示 原方程等价于即 2 2 200 20863 xx xxxa 2 200 12630 xx xxa 或 令 12 6 3 f x 2 xxa 1 若抛物线 与轴相切 有 144 4 6 3 0 即 y f xxaa 11 2 将 代入式 有 6 不满足式 a 11 2 xa 11 2 2 若抛物线 与轴相交 注意到其对称y f xx 轴为 6 故交点的横坐标有且仅有一个满x 足式 的充要条件是 解得 20 0 0 0 f f 1631 62 a 当时原方程有唯一解 1631 62 a 另法 原方程等价于 20 8 6 3 0 2 xxxaxx 问题转化为 求实数的取值范围 使直线a 8 6 3 与抛物线 20 0 yxay 2 xxxx 有且只有一个公共点 虽然两个函数图像都明确 但在什么条件下它们有 且只有一个公共点却不明显 可将 变形为 O x y 20 6 O x y 20 6 163 3 精品文档 6欢迎下载 12 3 6 0 再在同一坐标系中分别也作出抛物线 12 3 2 xxaxxy 2 xx 和直线 6 如图 显然当 3 6 163 即时直线 6与抛物yaa 1631 62 a ya 线有且只有一个公共点 3 已知 2 并且 是方程 0 的两根 f xxax b a b f x 则实数 的大小关系是 a b A B C D a b a b a b a 0 的两个根都大于 1 的充要条件是 f x 2 a