山西省2019届高三考前适应性测试数学(理)试题及答案

A 卷选择题答案 1 D2 C3 A4 D5 C6 B7 D8 B9 B10 A11 A12 A B 卷选择题答案 1 D2 B3 A4 D5 C6 B7 D8 C9 C10 A11 B12 A A B 卷非选择题答案 二 填空题 13 3 5 14 2 15 2姨 1 3姨 16 36 343 三 解答题 17 解 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 因为a3 b3 a4 b4 所以a2 d b2q a2 2d b2q2 又因为a2 0 b2 1 所以d q 2d q2 即有2q q2 解得q 2 所以d 2 且a1 2 b1 1 2 于是an 2 n 2 bn 2n 2 6 分 2 Sn 1 b1 2b2 3b3 n 1 bn 1 nbn 2Sn b2 2b3 n 1 bn nbn 1 得 Sn b1 b2 b3 bn nbn 1 2n 2 2 2n 1 2 所以Sn 2n 1 1 1 2 12 分 18 1 证明 连接 AC 交 DE 于点 G 连接 GF 底面 ABCD 为菱形 且 E 为 BC 中点 GC GA CE DA 1 2 1 分 F 为 AP 上一点 且满足P FF F 1 2 F FF A GF PC 2 分 又 GF奂平面 DEF PC埭平面 DEF 3 分 PC 平面 DEF 4 分 2 解 取 AB 的中点为 O 连接 DO PO 底面 ABCD 为菱形 且 DAB 60 DO AB 平面 PAB 平面 ABCD DO 平面 PAB AP PB 2姨 2 AB PO AB 6 分 秘密 启用前 2019 年山西省高考考前适应性测试 理科数学参考答案及评分标准 理科数学答案第 1 页 共 4 页 以 OP OB OD 所在的直线分别为 x y z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz 则 F 2 3 1 3 0 B 0 1 0 D 0 0 3 姨 E 0 3 2 3姨 2 7 分 D 姨姨 E 0 3 2 3姨 2 D 姨姨 F 2 3 1 3 3姨 设平面DEF的一个法向量为m x y z 则 m D 姨姨 E 0 m D 姨姨 F 0 姨 即 3 2 y 3姨 2 z 0 2 3 x 1 3 y 3姨z 0 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 取z 3姨 则m 5 1 3姨 9分 易得平面DEB的一个法向量n 1 0 0 10分 所以cos m n m n mn 5 29姨 529姨 29 11分 所以二面角F DE B的余弦值为 529姨 29 12分 19 解 1 根据题意 读出的编号依次是 512 916 超界 935 超界 805 770 951 超界 512 重复 687 858 554 876 647 547 332 将有效的编号从小到大排列 得 332 512 547 554 647 687 770 805 858 876 故中位数为 647 687 2 667 3分 2 由题易知 按照系统抽样法 抽出的编号可组成以8为首项 以90为公差的等差数列 故样本编号之和即为该 数列的前10项之和S10 10 8 10 9 2 90 4130 6分 3 记样本中8个A题目成绩分别为x1 x2 x8 2个B题目成绩分别为y1 y2 由题意可知 8 i 1 移xi 8 7 56 8 i 1 移 xi 7 2 8 4 32 2 i 1 移yi 16 2 i 1 移 yi 8 2 2 1 2 故样本平均数为 8 i 1 移xi 2 i 1 移yi 8 2 56 16 8 2 7 2 9分 样本方差为 8 i 1 移 xi 7 2 2 2 i 1 移 yi 7 2 2 8 2 8 i 1 移 xi 7 0 2 2 2 i 1 移 yi 8 0 8 2 8 2 8 i 1 移 xi 7 2 0 4 8 i 1 移 xi 7 8 0 22 2 i 1 移 yi 8 2 1 6 2 i 1 移 yi 8 2 0 82 8 2 32 0 0 32 2 0 1 28 10 35 6 10 3 56 故估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7 2 方差为3 56 12分 20 解 1 设B1 0 b B2 0 b 为短轴两端点 P x y 则x 2 a2 y 2 b2 1 理科数学答案第 2 页 共 4 页 理科数学答案第 3 页 共 4 页 由于 kPB1 kPB2 y b x y b x y2 b2 x2 b 2 a2 1 2 a2 2b2 又 Q 在 E 上 1 2a2 3 4b2 1 解 得 a2 2 b2 1 所以椭圆 E 的方程为x 2 2 y2 1 5 分 2 设直线 l x my 1 代入x 2 2 y2 1 得 m2 2 y2 2my 1 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 2m m2 2 y1y2 1 m2 2 7 分 F2 22 A F2 22 B x1 1 y1 x2 1 y2 x1 1 x2 1 y1y2 my1 2 my2 2 y1y2 m2 1 y1y2 2m y1 y2 4 把 代入 得 F2 22 A F2 22 B 7 m2 m2 2 2 解得 m 1 10 分 由对称性不妨取 m 1 则 变为 3y2 2y 1 0 解得 y1 1 3 y2 1 ABF2的面积 S 1 2 2 y2 y1 1 1 3 4 3 12 分 21 解 1 f x kx k 1 ex k即f x k x 1 ex 1 ex 1分 由已知得 x0 1 ex0 1 0 2分 令 x x 1 ex 1 则 x x 2 ex 当x 2 时 x 0 x 递减 x 2 x 1 1 x 1 ex 0 x 1 ex 1 0 因此 x 0 x 递增 又 0 0 所以 x 只有唯一零点 故x0 0 4分 2 f x 0 即k xex x 1 0 当x 0时 ex 10 x ex 1 1 0 x ex 1 1 0 6分 k xex x 1 ex可等价转化为k ex xex x 1 设g x ex xex x 1 由题意 k g x max 7分 又g x ex 2 ex x xex x 1 2 令 h x 2 ex x 则 h x ex 1 0 h x 0 h 1 0即g x 0 g x 递增 当x x0 时 h x 0即g x 0 g x 递减 10分 g x max g x0 ex0 x0ex0 x0 1 2 x0 x0 2 x0 x0 1 1 x0 2 1 x0 2 3 令t x0 2 t 2 1 则y t 1 t 3 1 2 埚埚 1 理科数学答案第 4 页 共 4 页 g x max 1 2 故整数k的最大值为1 12分 22 解 1 设P 3姨 cos兹 姨姨兹 由三角形面积公式 3姨 4 3姨 cos兹 33 2 3姨 解得 cos2兹 3 4 cos兹 3姨 2 兹 6 OPQ 为正三角形 OQ 的极角为 2 且 OP OQ 2 Q 点极坐标为 2 2 33 5 分 2 OPQ 为正三角形 计算可得其外接圆直径 OR 43姨 3 设 M 兹 为 OPQ 外接圆上任意一点 在 Rt OMR 中 cos 3 33 兹 OR M 兹 满足 43姨 3 cos 3 33 兹 故 OPQ 外接圆的方程为 43姨 3 cos 3 33 兹 8 分 直线 l x 3姨 OPQ 外接圆的直角坐标方程为 x2 y2 23姨 3 x 2y 0 即 x 3姨 3 33 2 y 1 2 4 3 圆心到直线的距离 d 23姨 3 即为半径 故直线 l 与 OPQ 外接圆相切 10 分 23 解 1 当a 0时 不等式f x 0化为 x 1 2 x 1 0 移项得 x 1 2 x 1 平方分解因式得 3x 1 x 3 0 解得 1 3 x 3 解集为 x 1 3 x 3 33 5分 2 化简得f x x 3 a x 1 3x 1 a 1 x 1 x 3 a x 1 3 3 3