《梁弯曲变形的计算》PPT课件.ppt

1 第7章弯曲变形的计算 2 7 1概述 7 2挠曲线的近似微分方程 7 3用积分法求弯曲变形 7 4用叠加法求弯曲变形 7 6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 7 5简单超静定梁 本章主要内容 3 7 1概述 4 5 6 7 2挠曲线的近似微分方程 1 基本概念 挠曲线方程 由于小变形 截面形心在x方向的位移忽略不计 挠度转角关系为 挠度w 截面形心在y方向的位移 向上为正 转角 截面绕中性轴转过的角度 逆钟向为正 7 2 挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时 得到 忽略剪力对变形的影响 8 由数学知识可知 略去高阶小量 得 所以 9 由弯矩的正负号规定可得 弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致 所以挠曲线的近似微分方程为 由上式进行积分 就可以求出梁横截面的转角和挠度 10 挠曲线的近似微分方程为 积分一次得转角方程为 再积分一次得挠度方程为 11 积分常数C D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定 位移边界条件 光滑连续条件 弹簧变形 12 例1求梁的转角方程和挠度方程 并求最大转角和最大挠度 梁的EI已知 解 1 由梁的整体平衡分析可得 2 写出x截面的弯矩方程 3 列挠曲线近似微分方程并积分 积分一次 再积分一次 7 3用积分法求弯曲变形 13 4 由位移边界条件确定积分常数 代入求解 5 确定转角方程和挠度方程 6 确定最大转角和最大挠度 14 例2求梁的转角方程和挠度方程 并求最大转角和最大挠度 梁的EI已知 l a b a b 解 1 由梁整体平衡分析得 2 弯矩方程 AC段 CB段 15 3 列挠曲线近似微分方程并积分 AC段 CB段 16 4 由边界条件确定积分常数 代入求解 得 位移边界条件 光滑连续条件 17 5 确定转角方程和挠度方程 AC段 CB段 18 6 确定最大转角和最大挠度 令得 令得 19 7 4用叠加法求弯曲变形 设梁上有n个载荷同时作用 任意截面上的弯矩为M x 转角为 挠度为w 则有 若梁上只有第i个载荷单独作用 截面上弯矩为 转角为 挠度为 则有 由弯矩的叠加原理知 所以 20 故 由于梁的边界条件不变 因此 重要结论 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和 这就是计算弯曲变形的叠加原理 21 例3已知简支梁受力如图示 q l EI均为已知 求C截面的挠度wC B截面的转角 B 1 将梁上的载荷分解 2 查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角 解 22 3 应用叠加法 将简单载荷作用时的结果求和 23 例4已知 悬臂梁受力如图示 q l EI均为已知 求C截面的挠度wC和转角 C 1 首先 将梁上的载荷变成有表可查的情形 为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果 先将均布载荷延长至梁的全长 为了不改变原来载荷作用的效果 在AB段还需再加上集度相同 方向相反的均布载荷 解 24 3 将结果叠加 2 再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形 计算各自C截面的挠度和转角 25 7 5简单超静定梁 1 基本概念 超静定梁 支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束 从维持平衡角度而言 多余的约束 超静定次数 多余约束或多余支反力的数目 2 求解方法 解除多余约束 建立相当系统 比较变形 列变形协调条件 由物理关系建立补充方程 利用静力平衡条件求其他约束反力 相当系统 用多余约束力代替多余约束的静定系统 26 27 例5 试分析细长轴车削过程中顶尖的作用 已知 工件的抗弯刚度为EIZ 切削力为F 且作用在零件的中间位置 零件长度为l 解 分析 此题属于1次超静定问题 用变形比较法列出变形比较条件 其中 解得 28 F FB FA MA 用叠加法解得C处的挠度为 FB B a A C 其中 B A 29 F FB FA MA FB B a A C 如果没用顶尖的作用 在刀尖作用点处挠度为 求得有无顶尖作用时 在刀尖处变形比为 结论 可见用顶尖可有效地减小工件的变形 因而 在细长轴加工中要设置顶尖 甚至使用跟刀架 B A 30 解 例6求梁的支反力 梁的抗弯刚度为EI 1 判定超静定次数 2 解除多余约束 建立相当系统 3 进行变形比较 列出变形协调条件 31 4 由物理关系 列出补充方程 所以 5 由整体平衡条件求其他约束反力 32 例7梁AB和BC在B处铰接 A C两端固定 梁的抗弯刚度均为EI F 40kN q 20kN m 画梁的剪力图和弯矩图 从B处拆开 使超静定结构变成两个悬臂梁 变形协调方程为 物理关系 解 33 代入得补充方程 确定A端约束力 34 确定C端约束力 35 A C端约束力已求出 最后作梁的剪力图和弯矩图 36 例8 结构如图所示 设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同 拉杆BC的拉压刚度EA为已知 求拉杆BC的轴力 解 将杆BC移除 则AB CD均为静定结构 杆BC的未知轴力FN作用在AB CD梁上 如图 b c 所示 为1次超静定 对于AB梁 对于CD梁 BC杆的伸长 37 补充方程 38 7 6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 39 1 刚度条件 建筑钢梁的许可挠度 机械传动轴的许可转角 精密机床的许可转角 40 根据要求 圆轴必须具有足够的刚度 以保证轴承B处转角不超过许用数值 B 1 由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为 解 例8已知钢制圆轴左端受力为F 20kN a lm l 2m E 206GPa 轴承B处的许可转角 0 5 根据刚度要求确定轴的直径d 41 例7已知钢制圆轴左端受力为F 20kN a lm l 2m E 206GPa 轴承B处的许可转角 0 5 根据刚度要求确定轴的直径d B 2 由刚度条件确定轴的直径 42 2 提高梁刚度的措施 1 选择合理的截面形状 43 2 改善结构形式 减少弯矩数值 改变支座形式 44 2 改善结构形式 减少弯矩数值 改变载