线性代数矩阵的初等变换.ppt

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3 1矩阵的初等变换 3 2矩阵的秩 3 3线性方程组的解 习题课 分析 用消元法解下列方程组的过程 引例 求解线性方程组 3 1矩阵的初等变换 本章先讨论矩阵的初等变换 建立矩阵的秩的概念 并提出求秩的有效方法 再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件 并介绍用初等变换解线性方程组的方法 内容丰富 有一定难度 一 消元法解线性方程组 解 用 回代 的方法求出解 于是得解 其中x3可以任意取值 或令x3 c 方程组的解可记作 1 上述解方程组的方法称为消元法 2 始终把方程组看作一个整体变形 用到如下三种变换 2 其中c为任意常数 或 归纳以上过程 3 一个方程加上另一个方程的k倍 2 以不等于0的数k乘某个方程 1 交换方程次序 由于三种变换都是可逆的 所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的 故这三种变换是同解变换 3 上述三种变换都是可逆的 因为在上述变换过程中 未知量并未参与本质性运算 仅仅只对方程组的系数和常数进行运算 只因某未知量前的系数化为0 而不显含该未知量 若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B 方程组 1 的增广矩阵 的变换 二 矩阵的初等变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 1 对调两行 对调i j两行 记作ri rj 2 以非零数k乘以某一行的所有元素 第i行乘k 记作ri k 3 把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去 第j行的k倍加到第i行上去 记作ri k rj 同理可定义矩阵的初等列变换 所用记号是把 r 换成 c 定义2 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换且变换类型相同 ri rj的逆变换为rj ri ri k的逆变换为ri 1 k 或ri k ri k rj的逆变换为ri k rj 或ri k rj 定义3 如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵B 则称矩阵A与矩阵B等价 记作A B 具有以下三条性质的关系 称为等价关系 1 自反性 A A 2 对称性 若A B 则B A 3 传递性 若A B 且B C 则A C 矩阵的等价 满足等价关系的定义 两个同解线性方程组具有等价关系性质 因此也称两个同解线性方程组为等价的 用矩阵的初等行变换解方程组 1 B6对应的方程组为 或令x3 c c为任意常数 方程组的解可记作 矩阵B5和B6都称为矩阵行阶梯形矩阵 特点 1 可划出一条阶梯线 线的下方全为零 特点 2 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数 阶梯线上的第一个元素为非零元 即非零行的阶梯线上的第一个元素为非零元 注意 行最简形矩阵是由矩阵 方程组 唯一确定的 行阶梯形矩阵的非零行的行数也是由矩阵 方程组 唯一确定的 行阶梯矩阵B6还称为行最简形矩阵 即非零行的第一个非零元为1 且这些非零元所在的列的其它元素都为零 行最简形矩阵再经过列初等列变换可化成标准形 B6 对任何矩阵Am n 总可以经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵 矩阵F称为矩阵B的标准形 特点 标准形F的左上角是一个单位矩阵 其余元素全为零 所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合 称为一个等价类 标准形F是这个等价类中最简单的矩阵 任一个矩阵Am n总可经过初等变换化为标准形 标准形由m n r三个数唯一确定 其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数 三 初等矩阵的概念 定义 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算 应用广泛 对调两行或两列 以非零数k乘某行或某列 以数k乘某行 列 加到另一行 列 上去 对调两行或两列 对调E中第i j两行 或列 得初等矩阵E i j 第i行 第j行 E i j 第i行 第j行 用m阶初等矩阵Em i j 左乘A aij m n 得 Em i j A 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换 把A的第i行与第j行对调 ri rj 第i列 第j列 用n阶初等矩阵En i j 右乘A aij m n 得 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换 把A的第i列与第j列对调 ci cj 以非零数k乘某行或某列 以数k 0乘单位矩阵的第i行 或列 得初等矩阵E i k 第i行 第i行 以Em i k 左乘矩阵A aij m n 得 相当于以数k乘A的第i行 ri k 类似地 以En i k 右乘矩阵A aij m n 其结果相当于以数k乘A的第i列 ci k 以数k 0乘某行 列 加到另一行 列 上去 第i行 第j行 以k乘E的第j行加到第i行上 或以k乘E的第i列加到第j列上得初等矩阵E ij k 以Em ij k 左乘矩阵A aij m n 相当于把A的第j行乘数k加到A的第i行上 ri krj 第i行 第j行 类似地 以En ji k 右乘矩阵A aij m n 其结果相当于把A的第j列乘数k加到A的第i列上 ci kcj 第i列 第j列 四 初等矩阵的应用 定理1 设A是一个m n矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 变换ri rj的逆变换是其本身 则 变换ri k的逆变换是ri 1 k 则 E i j 1 E i j E i k 1 E i 1 k 变换ri krj的逆变换是ri k rj 则 E ij k 1 E ij k 定理2 方阵A为可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1 P2 Pl 使A P1P2 Pl 证 充分性 由于A P1P2 Pl 且初等矩阵P1 P2 Pl为可逆的 有限个可逆矩阵的乘积仍是可逆的 故方阵A可逆 在有限个初等矩阵P1 P2 Pl使 P1P2 PsFPs 1 Pl A 必要性 设矩阵A为可逆的 且A的标准形为F 则存 由于A可逆 且P1 P2 Pl也可逆 故A的标准形F也必 可逆 设 假若r n 则 F 0 这与F可逆矛盾 故有F E 从而 A P1P2 Pl 证毕 推论2 m n矩阵A B的充分必要条件是存在m阶可逆方阵P及n阶可逆方阵Q 使PAQ B 利用初等变换求逆阵的方法 当 A 0时 则由A P1P2 Pl 得 及 推论1 方阵A可逆的充分必要条件是A E 由以上的证明可得 可逆矩阵的标准形就是E 实际上 可逆矩阵的行最简形也是E 则 即 对n 2n矩阵 A E 施行初等行变换 当把A变成E的同时 原来的E就变成了A 1 对n 2n矩阵 AE 分块为 A E 同样 对矩阵方程AX B 其中A为n阶方阵 B为n s阶矩阵 如果A可逆 则X A 1B 由定理2得 存在初等矩阵P1 P2 Pl 使得A P1P2 Pl 及 即 所以 也就是说 当一系列初等行变换将A化为E的同时也将B化为了A 1B 考虑分块矩阵 A B 可得 对于有n个未知数n个方程的线性方程组 用矩阵 向量 方程Ax b表示 行变换化为 E x 时 则系数矩阵A可逆 且x A 1b为方程Ax b的唯一解 向量 如果增广矩阵B A b 经初等 解 所以 例2 求矩阵X 使AX B 其中 解 若A可逆 则X A 1B 所以 即可求得Y CA 1 也可改为对 AT CT 作初等行变换 即可求得YT AT 1CT A 1 TCT 从而求得Y CA 1 1 初等行 列 变换 初等变换的逆变换仍为初等变换 且变换类型相同 3 矩阵等价具有的性质 自反性 对称性 传递性 三 小结 1 ri rj ci cj 2 ri k ci k 3 ri k rj ci k cj 4 利用初等变换求逆阵的步骤是 1 构造矩阵 A E 或 2 对矩阵 A E 施行初等行变换 将A化为单位矩 阵E后 右边E对应部分即为A 1 变换 将A化为单位阵E后 E对应的部分即为A 1 思考题 已知四元齐次方程组 元齐次方程组 2 的通解为 及另一四 问 方程组 1 与 2 是否有非零公共解 若有 请求出来 或表示为 思考题解答 将 2 的通解代入 1 得 故方程组 1 与 2 有非零公共解 1 与 2 的所有非零公共解为 思考题 表示成有限个初等方阵的 将矩阵A 乘积 思考题解答 A可以看成是由3阶单位矩阵E经4次初等变换 而这4次初等变换所对应的初等方阵为 而得 由初等矩阵的性质得 3 2矩阵的秩 一 矩阵秩的概念 由上节讨论知 任何矩阵Am n 总可以经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数 也就是标准形矩阵中的数字r是唯一确定的 它是矩阵理论中非常重要的数量关系之一 矩阵的秩 定义 在m n矩阵A中任取k行k列 k m k n 位于这k行k列交叉处的k2个元素 不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式 被称为矩阵A的k阶子式 m n矩阵A的k阶子式共有 定义 若在矩阵A中有一个r阶子式D非零 且所有的r 1阶子式 如果存在的话 都为零 则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式 称数r为矩阵A的秩 记作R A 规定零矩阵的秩为零 m n矩阵A的秩R A 是A中不等于零的子式的最高阶数 对于AT 显然有 R AT R A 解 在矩阵A中 又由于矩阵A的3阶子 式只有 A 且 A 0 所以 R A 2 例2 求矩阵B 解 由于B是一个行阶梯形矩阵 其非零行有3行 所以B的所有4阶子式都为零 而 所以 R B 3 例3 求矩阵A 的秩 解 因为 计算A的3阶子式 的秩 所以 R A 2 另解 用初等变换将A化为行阶梯形矩阵 显然 非零行的行数为2 所以 R A 2 此方法简单 但理论依据如何 二 矩阵秩的求法 因为任何矩阵Am n 总可以经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵 问题 经过变换矩阵的秩改变吗 定理1 若A B 则R A R B 证 先证明 若A经过一次初等行变换变为B 则R A R B 设R A r 且A的某个r阶子式Dr 0 则在B中总能找到与Dr相对应的子式D r 由于D r Dr 或D r Dr 或D r kDr 因此D r 0 从而R B r 分三种情况讨论 1 Dr中不含第i行 2 Dr中同时含第i行和第j行 3 Dr中含第i行但不含第j行 对 1 2 两种情形 显然B中与Dr对应的子式D r有 D r Dr 0 从而 R B r 对情形 3 若D r 0 由D r中不含第i行知 因此 R B r A中有不含第i行的r阶非零子式 若D r 0 则D r Dr 0 从而 R B r 因此 A经过一次初等行变换变为B 则R B R A 又由于B也可以经过一次初等行变换变为A 因此有 R A R B 从而 A经过一次初等行变换变为B 则R A R B 经一次初等行变换矩阵的秩不变 即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变 设A经过初等列变换变为B 则AT经过初等行变换变为BT 故 R AT R BT 因而有 R A R AT R BT R B 综上所述 若A经过有限次初等变换变为B 即A B 则R A R B 证毕 初等变换求矩阵秩的方法 用初等行变换把矩阵变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 例4 求矩阵A 的秩 并求A的 一个最高阶非零子式 解 用初等行变换将A化为行阶梯矩阵 A 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R A 3 考察A的行阶梯形矩阵 将矩阵A按列分块 A a1a2a3a4a5 B a1a2a4 的行阶梯形矩阵为 则矩阵 故B中必有3阶非零子式 且共有4个 计算B的前三行构成的子式 则这个子式便是A的一个最高阶非零子式 以下求A的一个最高阶非零子式 由于R A 3 矩阵A的3阶子式共有 所以 A的最高阶非零子式为 A 设A为n阶可逆方阵 因为 A 0 则R A n 故 可逆方阵A的标准形为单位阵E 即A E 即可逆矩阵的秩等于阶数 故又称可逆 非奇异 矩阵为满秩矩阵 奇异矩阵又称为降秩矩阵 例5 设 求矩阵A和矩阵B A b 的秩 分析 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B A b 则A 就是A的行阶梯形矩阵 因此可以从B A b 中同时考察出R A 及R B 解 所以 R A 2 R B 3 此例的矩阵A和向量b 矩阵B为线性方程组Ax b的增广矩阵 B1 B1为与Ax b等价的线性方程组A1x b1的 由此可知 方程组A1x b1无解 故方程组Ax b也无解 A1x b1的第三个方程为0 1 即矛盾方程 增广矩阵 解 A 由R A 2 得 即 二 矩阵秩的性质 性质1 0 R Am n min m n 性质2 R AT R A 性质3 若A B 则R A R B 性质4 若P Q可逆 则R PAQ R A 性质5 max R A R B R A B R A R B 特别当B b时 R A R A b R A 1 证明 由于A的最高阶非零子式当然是 A B 的非零子式 故R A R A B 同样R B R A B 故max R A R B R A B 设R A r R B t 对A和B分别做列变换 化为列阶梯形矩阵A1和B1 则A1和B1中分别含有r个和t个非零列 A A1 a1 a2 ar 0 0 B B1 b1 b2 bt 0 0 设为 从而 A B A1 B1 但是 A1 B1 中仅有r t个非零列 因此 R A B R A1 B1 r t R A R B 性质6 R A B R A R B 证明 设A B为m n矩阵 对矩阵 A B B 作列变换 ci cn i i 1 2 n 得 A B B A O B 于是 R A B R A B B R A O B R A R B 性质7 R AB min R A R B 性质8 若Am nBn l O 则R A R B n 这两条性质将在后面给出证明 例7 设A为n阶方阵 证明R A E R A E n 证明 因为 A E E A 2E 由性质6知 R A E R E A R 2E n 而R E A R A E R A E R A E n 所以 1 矩阵秩的概念2 求矩阵秩的方法 1 利用定义寻找矩阵中非零子式的最高阶数 2 初等变换法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 三 小结 3 矩阵秩的性质 思考题 思考题解答 设A为任一实矩阵 R ATA 与R A 是否相等 相等 由此可知 Ax O与ATAx O同解 因为 对任一实列矩阵x O 当Ax O时 必有ATAx O 即 ATA x O 反之当 ATA x O时 有xT ATA x 0 即 Ax T Ax 0 则Ax O 故 R ATA R A 注 设线性方程组 若记 则上述方程组可写成向量方程 Ax b 当b 0时 称为齐次线性方程组 否则称为非齐次线性方程组 3 3线性方程组的解 若x1 11 x2 21 xn n1为方程组Ax b的解 则 也称为方程组Ax b的解向量 一 线性方程组有解的判定条件 利用线性方程组Ax b的系数矩阵A和增广矩阵B A b 的秩 可以方便地讨论线性方程组Ax b是否有解以及有解时解是否唯一等问题 定理1 n元线性方程组Am nx b 1 无解的充分必要条件是R A R B 2 有唯一解的充分必要条件是R A R B n 3 有无穷多解的充分必要条件是R A R B n 证明 必要性可以由本定理相应的另外两个结论的充分性 其逆否命题 结论给出 因此我们只需证明三个结论的充分性 设R A r 由于R A R B R A 1 可设增广矩阵B A b 的行最简形为 1 若R A R B 则B1中的dr 1 1 行对应矛盾方程0 1 故方程组Ax b无解 于是B1的第r 1 2 若R A R B r n 则B1中的dr 1 0 或第r 1行不出现 由于B或B1只有n 1列 故B1中的bij均不出现 于是B1对应的等价方程组为 故方程组Ax b有唯一解 3 若R A R B r n 则B1中的dr 1 0 或第r 1行不出现 此时B1对应的等价方程组为 称xr 1 xn为上述方程组的自由未知量 令xr 1 c1 xn cn r 用列矩阵 列向量 的形式表示为 可得方程组Ax b的含有n r个参数的解 由于参数c1 cn r可任意取值 故方程组Ax b有无穷多解 证毕 当R A R B r n时 含有n r个参数的解可以表示线性方程组Ax b的任意解 此结论待后面证明 称此解为线性方程组Ax b的通解 求解线性方程组Ax b的步骤过程归纳如下 1 对非齐次方程组Ax b 将其增广矩阵B A b 化为行阶梯形后 可以看出R A R B 是否成立 若不成立 则方程组无解 2 若R A R B 成立 则方程组有解 进一步将B化为行最简形 对齐次方程组Ax 0 则直接将其系数矩阵A化为行最简形 3 设R A R B r 把行最简形中r个非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知量 其余n r个未知量取作自由未知量 并令自由未知量分别取c1 c2 cn r 由B 或A 的行最简形即可写出含有n r个参数的通解 二 解线性方程组 例1 求解齐次线性方程组 解 对系数矩阵A做初等行变换 求得与原方程组同解的方程组 由此即得 x3 x4可任意取值 令x3 c1 x4 c2 c1 c2可任意取值 把它写成参数形式 或 即 例2 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B进行初等行变换 显然 R A 2 R B 3 故方程组无解 例3 求解非齐次方程组的通解 解 对增广矩阵B进行初等行变换 显然 R A R B 2 故方程组有解 且有 行最简形 所以方程组的通解为 其中x2 x4为任意数 例4 证明右边方程组有解的充要条件是a1 a2 a3 a4 a5 0 在有解的情况下 求出它的通解 证 对增广矩阵B进行初等行变换 方程组的增广矩阵B为 所以 方程组有解 R A R B 在有解的情况下 原方程组的等价方程组为 故通解 其中x5为任意实数 例5 设线性方程组 问 取何值时 有解 有无穷多个解 解 对增广矩阵B A b 作初等行变换 1 当 1时 则R A R B 1 故方程组有无穷多解 且其通解为 其中x2 x3为任意实数 这时又分两种情形 2 当 1时 1 当 2时 则R A R B 3 故方程组有唯一解 2 当 2时 则R A R B 故方程组无唯 三 几个重要结论 由定理1可直接推出如下结论 推论1 线性方程组Ax b有解的充分必要条件是R A R A b 推论2 n元齐次线性方程组Ax 0有非零解的充分必要条件是R A n 将推论1再推广到矩阵方程情形得 推论3 矩阵方程组AX B有解的充分必要条件是R A R A B 证明 设A B分别为m n m l矩阵 则X为n l矩阵 并把X和B按列分块 记为 X x1 x2 xl B b1 b2 bl 则矩阵方程组AX B等价于l个向量方程 Axi bi i 1 2 l 充分性 若R A R A B 必要性 设矩阵方程组AX B有解 R A R A bi R A B 即l个向量方程Axi bi i 1 2 l 都有解 故R A R A bi 从而 矩阵方程组AX B有解 则由于 则l个向量方程Axi bi i 1 2 l 都有解 不妨设为 i 1 2 l 若记A a1 a2 an 则有 1ia1 2ia2 nian bi i 1 2 l 对矩阵 A B a1 a2 an b1 b2 bl 作初等列变换 cn i 1ic1 2ic2 nicn i 1 2 l 将把 A B 的后l列 即B所在的列都变成0列 故 A B A O R A R A O R A B 因此 由定理1和推论3可得如下结论 推论4 矩阵方程组AX O只有零矩阵解的充分必要条件是R A n 下面证明上节留下的性质7 性质7 R AB min R A R B 证明 设AB C 则矩阵方程AX C有解X B 论3得 R A R A C 而R C R A C 故R C R A 由推 另一方面 由BTAT CT可证R C R B 因此有 R AB min R A R B 三 小结 对n元线性方程组 R A n Ax 0只有零解 R A n Ax 0有非零解 R A R A b n Ax b有唯一解 R A R A b n Ax b有无穷多解 R A R A b Ax b无解 对矩阵方程AX B R A n AX O只有零矩阵解 R A n AX O有非零矩阵解 R A R A B n AX B有唯一矩阵解 R A R A B n AX B有无穷多矩阵解 R A R A B AX B无解 思考题 讨论线性方程组 当p q取何值时 方程组无解 有唯一解 有无穷多解 在方程组有无穷多解的情况下 求出一般解 思考题解答 1 当p 2时 R A R B 4 方程组有唯一解 2 当p 2时 有 1 当q 1时 R A 3 R B 4 方程组无解 2 当q 1时 R A R B 3 方程组无穷多解 且 故原方程组的通解为 与原方程组同解的方程组为 或 习题课 一 初等变换 三种初等变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换 二 矩阵的等价 如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵B 则称矩阵A与矩阵B等价 记作A B 三 初等矩阵 定义 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 对调两行或两列 对调E中第i j两行 即ri rj 得初等方阵 用m阶初等矩阵Em i j 左乘A aij m n 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换 把A的第i行与第j行对调 ri rj 用n阶初等矩阵En i j 右乘A aij m n 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换 把A的第i列与第j列对调 ci cj 以非零数k乘某行或某列 以数k 0乘单位矩阵的第i行得初等矩阵E i k 以数k 0乘某行 列 加到另一行 列 上去 以k乘E的第j行加到第i行上 ri krj 或以k乘E的第i列加到第j列上 cj kci 以Em i k 左乘矩阵A aij m n 相当于以数k乘A的第i行 ri k 以En i k 右乘矩阵A aij m n 相当于以数k乘A的第i列 ci k 以Em ij k 左乘矩阵A aij m n 相当于把A的第j行乘数k加到A的第i行上 ri krj 以En ij k 右乘矩阵A aij m n 相当于把A的第i列乘数k加到A的第j列上 cj kci 四 初等矩阵与初等变换的关系 设A是一个m n矩阵 对A施行一次初等行 列 变换 相当于A左 右 乘相应的m n 阶初等矩阵 定理 设A为可逆方阵 则存在有限个初等方阵P1 P2 Pl 使A P1 P2 Pl 推论 m n矩阵A B的充分必要条件是存在m阶可逆方阵P及n阶可逆方阵Q 使PAQ B 利用初等变换求逆阵的方法 当 A 0时 则由A P1 P2 Pl 得 及 所以 即对n 2n矩阵 A E 施行初等行变换 当把A变成E时 原来的E就变成了A 1 五 行阶梯形矩阵 经过初等行变换 可把矩阵化为行阶梯形矩阵 其特点是 可画出一条阶梯线 线的下方全为0 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数 阶梯线的竖线 每段竖线的长度为一行 后面的第一个元素为非零元 也就是非零行的第一个非零元 六 行最简形矩阵 经过初等行变换 行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵 其特点是 非零行的非零首元为1 且这些非零元所在列的其它元素都为0 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换 可得到矩阵的标准形 其特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素都为0 七 矩阵的标准形 所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合 称为一个等价类 标准形F是这个等价类中最简单的矩阵 任一个矩阵Am n总可经过初等变换化为标准形 标准形由m n r三个数唯一确定 其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数 八 矩阵的秩 若在矩阵A中有一个r阶子式D非零 且所有的r 1阶子式 如果存在的话 都为零 则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式 称数r为矩阵A的秩 记作R A 矩阵秩的定理及性质 定理 若A B 则R A R B 如果A中有一个r阶子式非零 则R A r 如果A的所有的r 1阶子式都为零 则R A r 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数 若A为n阶可逆矩阵 则 1 A的最高阶非零子式为 A 2 R A n 3 A的标准形为单位矩阵E 4 A E 性质1 0 R Am n min m n 性质2 R AT R A 性质3 若A B 则R A R B 性质4 若P Q可逆 则R PAQ R A 性质5 max R A R B R A B R A R B 特别当B b