西南交通大学概率教案11考研必备.ppt

4 1数学期望 一 数学期望的概念二 随机变量的函数的数学期望三 数学期望的性质 一 数学期望的概念 1 离散型随机变量的数学期望 引例1分赌本问题 产生背景 A B两人赌技相同 各出赌金100元 并约定先胜三局者为胜 取得全部200元 由于出现意外情况 在A胜2局B胜1局时 不得不终止赌博 如果要分赌金 该如何分配才算公平 A胜2局B胜1局 前三局 后二局 AA AB BA BB A胜 B胜 分析 假设继续赌两局 则结果有以下四种情况 AA AB BA BB A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 因此 A能 期望 得到的数目应为 而B能 期望 得到的数目 则为 故有 在赌技相同的情况下 A B最终获胜的 可能性大小之比为 即A应获得赌金的而B只能获得赌金的 因而A期望所得的赌金即为X的 期望 值 等于 X的可能值与其概率之积的累加 即为 若设随机变量X为 在A胜2局B胜1局的前提下 继续赌下去A最终所得的赌金 则X所取可能值为 其概率分别为 设某射击手在同样的条件下 瞄准靶子相继射击90次 命中的环数是一个随机变量 射中次数记录如下 引例2射击问题 试问 该射手每次射击平均命中靶多少环 解 平均射中环数 设射手命中的环数为随机变量Y 平均射中环数 平均射中环数 的稳定值 平均射中环数 等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加 定义1 1设离散型随机变量X的分布律为为X的数学期望 亦称为概率均值 简称均值或期望 分赌本问题 A期望所得的赌金即为X的数学期望 射击问题 平均射中环数 应为随机变量Y的数学期望 关于定义的几点说明 3 随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同 1 E X 是一个实数 而非变量 它是一种加权平均 与一般的平均值不同 它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值 故也称均值 2 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值 它不应随可能值的排列次序而改变 随机变量X的算术平均值为 假设 它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值 当随机变量X取各个可能值是等概率分布时 X的期望值与算术平均值相等 例1 1甲乙两射手打靶 击中的环数分别为X Y 其分布律为试评定他们的成绩好坏 例1 2某公共汽车站每天8 00 9 00 9 00 10 00都有一辆客车到站 可到站时间随机 且两次到站时间相互独立 其规律为 1 一旅客8 00到站 求其候车时间的数学期望 2 一旅客8 20到站 求其候车时间的数学期望 解 设旅客的候车时间为X分钟 1 X的分布律为 2 X的分布律为 故 候车时间的数学期望为 故 候车时间的数学期望为 2 连续型随机变量的数学期望 定义1 2设连续型随机变量X的概率密度为f x 若积分为X的数学期望 简称期望或均值 例1 3设连续型随机变量X的概率密度为试求E X 例1 4设连续型随机变量X的概率密度为试求E X 1 若将5个电子装置串联组成整机 求整机寿命N的期望 2 若将5个电子装置并联组成整机 求整机寿命M的期望 例1 5有5个相互独立工作的电子装置 其寿命Xk k 1 2 3 4 5 服从同一指数分布 其概率密度为 1 N min X1 X2 X5 的分布函数为 2 M max X1 X2 X5 的分布函数为 二 随机变量函数的数学期望 1 离散型随机变量的函数的期望 例1 6设X的分布律如下表 试求Y X2 1的期望 解 法一 先求Y X2 1的分布律为 2 连续型随机变量的函数的期望 例1 7设风速V在 0 上服从均匀分布 又设飞机机翼所受的正压力为W kV2 k 0常数 试求W的数学期望 例1 8游客乘电梯从底层到电视塔观光 电梯于每个整点的第5分钟 25分钟 55分钟从底层起行 假设一游客是在早上8点第X分钟到达底层电梯处 且X在 0 60 上服从均匀分布 试求该游客等候时间的数学期望 解 已知X U 0 60 其概率密度为 再设Y 游客等候电梯的时间 分钟 则有 例1 9国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量 它在 2000 4000 单位 吨 上服从均匀分布 若每售出一吨 可获利3万美元 若销售不出而积压 则每吨需保养费1万美元 问应组织多少货源 才能使平均收益最大 所以 组织3500吨货源时 平均收益最大 解 应组织a吨货源 则收益为 3 多维随机变量的函数的期望 注1 上二式中的级数与积分均要求绝对收敛 注2 对二维以上的函数的期望公式与之类似 2 设 X Y 的概率密度为f x y 则函数Z g X Y 的数学期望为 例1 10设二维随机变量 X Y 的概率密度为 例1 11设点 X Y 在正方形D x y 0 x 1 0 y 1 上随机取值 试求E X2 Y2 解 依题意 X Y 服从D上的均匀分布 D的面积为1 则其联合概率密度为 三 数学期望的性质 1 线性法则 设X为随机变量 其期望为E X 对任意常数a b 有E aX b aE X b 例1 12设X的分布函数为 特别地 当a 0时 E b b 即常数的期望为其本身 当b 0时 E aX aE X 2 加法法则 设X Y为随机变量 同为离散型或连续型 则有E X Y E X E Y 例1 13将n个球随机地放入M个盒子中 设每个球放入各个盒子是等可能的 求有球盒子数X的期望 3 乘法法则 设X Y为同类型随机变量 且相互独立 则有E XY E X E Y 推广 若X1 X2 Xn是相互独立的随机变量 则E X1X2 Xn E X1 E X2 E Xn 例1 14