二次函数与相似三角形综合

第第 10 讲 二次函数中因动点产生的相似三角形问题讲 二次函数中因动点产生的相似三角形问题 二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 例题 1 已知抛物线的顶点为 A 2 1 且经过原点 O 与 x 轴的另一个交点为 B 1 求抛物线的解析式 用顶点式求得抛物线的解析式为 xx 4 1 y 2 2 连接 OA AB 如图 2 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P 使得 OBP 与 OAB 相似 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 说明理由 解 如图 2 由抛物线的对称性可知 AO AB AOB ABO 若 BOP 与 AOB 相似 必须有 POB BOA BPO 设 OP 交抛物线的对称轴于 A 点 显然 A 2 1 直线 OP 的解析式为 x 2 1 y 由 xx 4 1 x 2 1 2 得 6x 0 x 21 P 6 3 过 P 作 PE x 轴 在 Rt BEP 中 BE 2 PE 3 PB 13 4 PB OB BOP BPO PBO 与 BAO 不相似 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P 点 所以在该抛物线上不存在点 P 使得 BOP 与 AOB 相似 例题 2 如图所示 已知抛物线 2 1yx 与x轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 例 1 题图 图 1 O A B y x O A B y x 图 2 E A O A B P y x 图 2 求相似三角形的第三个顶点时 先要分析已知三角形的边和角的特点 进而得出已知三 角形是否为特殊三角形 根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论 或利用已知三角形中对应角 在未知三角形中利用勾股定理 三角比 对称 旋转等知 识来推导边的大小 若两个三角形的各边均未给出 则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的 长度 之后利用相似来列方程求解 1 求 A B C 三点的坐标 2 过点 A 作 AP CB 交抛物线于点 P 求四边形 ACBP 的面积 3 在x轴上方的抛物线上是否存在一点 M 过 M 作 MG x轴于点 G 使以 A M G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似 若存在 请求出 M 点的坐标 否则 请说 明理由 解 1 令 0y 得 2 10 x 解得 1x 令 0 x 得 1y A 1 0 B 1 0 C 0 1 2 OA OB OC 1 BAC ACO BCO 45 AP CB PAB 45 过点 P 作 PE x轴于 E 则 APE 为等腰直角三角形 令 OE a 则 PE 1a P 1 a a 点 P 在抛物线 2 1yx 上 2 11aa 解得 1 2a 2 1a 不合题意 舍去 PE 3 四边形 ACBP 的面积S 1 2AB OC 1 2AB PE 11 2 12 34 22 3 假设存在 PAB BAC 45 PA AC MG x轴于点 G MGA PAC 90 在 Rt AOC 中 OA OC 1 AC 2 在 Rt PAE 中 AE PE 3 AP 3 2 设 M 点的横坐标为m 则 M 2 1 m m 点 M 在 y 轴左侧时 则 1m 当 AMG PCA 时 有 AG PA MG CA AG 1m MG 2 1m 即 2 11 3 22 mm o C BA x P y G M 图 3 C B y P Ao x G M 图 2 C B y P Ao x 解得 1 1m 舍去 2 2 3 m 舍去 当 MAG PCA 时有 AG CA MG PA 即 2 11 23 2 mm 解得 1m 舍去 2 2m M 2 3 点 M 在 y 轴右侧时 则 1m 当 AMG PCA 时有 AG PA MG CA AG 1m MG 2 1m 2 11 3 22 mm 解得 1 1m 舍去 2 4 3 m M 4 7 3 9 当 MAG PCA 时有 AG CA MG PA 即 2 11 23 2 mm 解得 1 1m 舍去 2 4m M 4 15 存在点 M 使以 A M G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似 M 点的坐标为 2 3 4 7 3 9 4 15 练习 如图 已知抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C D 为 OC 的中点 直线 AD 交抛物线于点 E 2 6 且 ABE 与 ABC 的面积之比为 3 2 1 求直线 AD 和抛物线的解析式 2 抛物线的对称轴与轴相交于点 F 点 Q 为直线 AD 上一点 且 x ABQ 与 ADF 相似 求出点 Q 点的坐标 OA D C E B y x F 随堂练 姓名 班级 1 已知抛物线的顶点在 y 轴上 那么 m 的值等于 mxmxy3 2 2 2 如图 已知二次函数 y 的图象与 y 轴交于点 A 与 x 轴交于 B C 两点 4 2 3 4 1 2 xx 其对称轴与 x 轴交于点 D 连接 AC 1 点 A 的坐标为 点 C 的坐标为 2 线段 AC 上是否存在点 E 使得 EDC 与 AOC 相似 若存在 求出所有符合条件的点 E 的坐标 若不存在 请说明理由 3 抛物线的图象如图所示 已知该抛物线与轴交于 两点