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第四节多元复合函数的求导法则 复习 一元复合函数的求导法则 由 复合而成的复合函数的导数 即 函数的导数等于函数对中间变量的导数 乘以中间变量对自变量的导数 一 多元复合函数的求导法则 链式法则 情形 中间变量均为一元函数 设 则函数 的导数 这种导数称为全导数 则 推广 的导数 例1 设 求全导数 解 情形 中间变量是多元函数的情形 机动目录上页下页返回结束 设 则复合函数 的偏导数 设 则 的偏导数 机动目录上页下页返回结束 推广 例2 设 解 机动目录上页下页返回结束 常采用下面记号 在多元复合函数求导中 为方便起见 解 注意 例3设 其中 具有二阶连续偏导数 求 解 例4设 其中 具有二阶连续 偏导数 求 例4设 求 情形 中间变量既有一元函数 又有多元函数 则函数 设 z 解 例5 设 求 例5 求 设 另解 题设函数可看作由 复合而成 利用情形 中的公式可得同样结果 或者先式 两边取对数 后求得 偏导数 多元复合函数求导 遵循一个如下法则 设复合函数有n个中间变量 这里变化率即为偏导数 或导数 因变量对的变化率 对自变量变化率 m个自变量 例如设 而 则 再如 注意 这里 表示固定y对x求导 表示固定v对x求导 与 不同 例6 设 机动目录上页下页返回结束 求 解 机动目录上页下页返回结束 例7 设 求 解 二 多元复合函数的全微分法则 可见无论u v是自变量还是中间变量 其全微分表达 形式都一样 这一性质叫做全微分形式不变性 1 全微分形式不变性 设u v是某些自变量的多元函数 则有 C为常数 证明 3 由全微分形式不变性 有 2 全微分运算法则 例8 设 求一阶偏导数 解 即 设 例9 解 即 求全微分 习题P75 76 3 5 6 提示 8 1 4 9 11 思考与练习 1 机动目录上页下页返回结束 求 解 2 设 f具有二阶连续偏导数 求 解 令 则 机动目录上页下页返回结束 3 已知 求 解 由 两边对x求导 得 机动目录上页下页返回结束 4 求 解 由题设 2001考研 机动目录上页下页返回结束 解 另解因为 所以 例5设 而 求全导数 解 例
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