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立体几何知识点复习 一 知识结构 二 空间的直线与平面 1 空间的角 2 空间的距离 3 平行与垂直 直线与平面所成角 直线与平面所成角 平面与平面所成角 平面与平面所成角 异面直线所成的角 异面直线所成的角 空间的角 解析 1 1 异面直线所成的角 如 在正方体AC1中 求异面直线A1B和B1C所成的角 A1B和B1C所成的角为 和A1B成角为60 的面对角线共有条 8 60 再如 两异面直线a b所成的角是50 P为空间中一定点 则过点P且与a b都成30 角的直线有条 a b P O 2 2 线面角 斜线与平面所成的角 平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 当直线与平面垂直时 直线与平面所成的角是90 当直线在平面内或与平面平行时 直线与平面所成的角是0 斜线与平面所成的角 0 90 直线与平面所成的角 0 90 异面直线所成的角 0 90 求直线与平面所成的角时 应注意的问题 1 先判断直线与平面的位置关系 2 当直线与平面斜交时 常采用以下步骤 作出或找出斜线上的点到平面的垂线 作出或找出斜线在平面上的射影 求出斜线段 射影 垂线段的长度 解此直角三角形 求出所成角的相应函数值 3 二面角 从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 以二面角的棱上任意一点为端点 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 1 垂线法 利用三垂线定理作出平面角 通过解直角三角形求角的大小 2 垂面法 通过做二面角的棱的垂面 两条交线所成的角即为平面角 3 射影法 若多边形的面积是S 它在一个平面上的射影图形面积是S 则二面角 的大小为COS S S 垂线法 垂面法 A B C D 射影法 A B C A M 如 如图 ABC的顶点A在平面M上的射影为点A ABC的面积是S A BC的面积是S 设二面角A BC A 为 则 COS S S 解析2 空间距离 两点之间的距离点到直线的距离 点到平面的距离两条平行线间的距离 两条异面直线间的距离 平面的平行直线与平面之间的距离两个平行平面之间的距离 点 点 点 线 点 面 线 线 线 面 点 面 从平面外一点引这个平面的垂线 垂足叫做点在这个平面内的射影 这个点和垂足间的距离叫做 点到平面的距离 线面垂直 点的射影 点面距离 线 面 一条直线和一个平面平行时 直线上任意一点到这个平面的距离叫做直线到平面的距离 l A A B 点到平面的距离的求法 1 直接法即直接由点作垂线 求垂线段的长 2 转移法转化成求另一点到该平面的距离 3 体积法 解析3 平行与垂直 直线在平面内 直线和平面相交 直线和平面平行 线面位置关系 有无数个公共点 有且仅有一个公共点 没有公共点 a a A A a a 线面平行的判定 1 定义 直线与平面没有公共点 2 定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 1 如果一条直线与一个平面平行 则这条直线与这个平面无公共点 2 如果一条直线与一个平面平行 则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线 3 如果一条直线与一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 则这条直线与交线平行 一 两个平面平行的判定方法 1 两个平面没有公共点 2 一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 3 都垂直于同一条直线的两个平面 两个平面平行 二 两个平面平行的性质 线面垂直的判定方法 1 定义 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直 则直线与平面垂直 2 判定定理1 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 3 判定定理2 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 则直线与平面垂直 线面垂直的性质 1 定义 如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 2 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 则这两条直线平行 三 简单几何体 1 常用的体积公式2 棱锥的有关概念与性质3 球的有关概念与性质 求多面体的体积时常用的方法 1 直接法 2 割补法 3 变换法 根据条件直接用柱体或锥体的体积公式 如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难 可将其分割成易求体积的几何体 逐块求积 然后求和 如果一个三棱锥的体积直接用体积公式计算用困难 可转换为等积的另一三棱锥 而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得 P C B D A 棱锥基本概念 棱锥的底面 棱锥的侧面 棱锥的侧棱 棱锥的顶点 棱锥的高 棱锥的斜高 棱锥基本性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么截面和底面相似 并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比 正棱锥 如果一个棱锥的底面是正多边形 并且顶点在底面的射影是底面中心这样的棱锥叫做正棱锥 1 三条侧棱相等 2 侧棱与底面所成的角相等 3 侧面与底面所成的角相等 4 顶点P到 ABC的三边距离相等 5 三条侧棱两两垂直 6 相对棱互相垂直 7 三个侧面两两垂直 外心 外心 内心 内心 垂心 垂心 垂心 正三棱锥 如果一个三棱锥的底面是正三角形 并且顶点在底面的射影是正三角形的中心 这样的三棱锥叫做正三棱锥 正四面体 球的大圆 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆 球的有关概