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第十二章期权定价的数值方法 2 引言 在很多情形中 我们无法得到期权价值的解析解 这时人们经常采用数值方法 NumericalProcedures 为期权定价 主要包括二叉树方法 BinomialTrees 蒙特卡罗模拟 MonteCarloSimulation 和有限差分方法 FiniteDifferenceMethods 在这一章里 我们将介绍如何借助上述三种数值方法来为期权定价 3 4 二叉树模型的思想实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动 相同期限下步长越小 精确度越高 5 无套利定价法 构造投资组合包括份股票多头和1份看涨期权空头当时 股票价格的变动对组合无影响则组合为无风险组合 此时 因为是无风险组合 可用无风险利率贴现 得 将代入上式就可得到 其中 6 得到每个结点的资产价格之后 就可以在二叉树模型中采用倒推定价法 从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推 为期权定价 如果是欧式期权 可通过将时刻的期权价值的预期值在时间长度内以无风险利率贴现求出每一结点上的期权价值 倒推定价法 7 二叉树一般定价过程假设把该期权有效期划分成N个长度为的小区间 同时用表示结点处的证券价格可得 其中若期权不被提前执行 后 则 所以实际上表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值若有提前执行的可能性 则这样推至即为当前期权的价格 8 MonteCarlo BasedOnProbability Chance 基本思路 大部分期权价值可以归结为期权到期回报 payoff 的期望值的贴现 尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径 计算每种路径结果下的期权回报均值 之后贴现就可以得到期权价值 9 随机路径 在风险中性世界中 为了模拟路径 我们把期权的有效期分为N个长度为时间段 则上式的近似方程为 或 重复以上的模拟至足够大的次数 计算回报值的平均值 折现后就得到了期权的期望值 10 11 主要优点 1 在大多数情况下 人们可以很直接地应用蒙特卡罗模拟方法 而无需对期权定价模型有深刻的理解2 蒙特卡罗模拟的适用情形相当广泛 主要缺点 1 只能为欧式期权定价 难以处理提前执行的情形 2 为了达到一定的
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