D3-4单调性与极值.ppt

第四节 一 函数单调性的判定法 二 极大值与极小值 函数的单调性与极值 二 最大值与最小值 一 单调性的判定 定理1 证 应用拉氏定理 得 例1 解 注意 函数的单调性是一个区间上的性质 要用导数在这一区间上的符号来判定 而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 例2讨论函数f x x sinx在 0 2 上的单调性 解因为在 0 2 内有 所以函数f x x sinx在 0 2 上是单调增加的 一般讲 在定义域内未必单调 但可用适当 在每一个区间上都是单调函数 的一些点把定义域分为若干个区间 便得 导数等于零的点和不可导点 可能是单调区间的分界点 二 单调区间求法 问题 如例1 函数在定义区间上不是单调的 但在各个部分区间上单调 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的 则该区间称为函数的单调区间 方法 例3 解 单调区间为 例4 解 单调区间为 注意 单调区间的分界点除驻点外 也可是导数不存在的点 证 注意 区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性 例如 例6 证 例7证明 时 成立不等式 证 令 从而 因此 且 令 则 从而 即 练习题 增加 三 函数极值的定义 定义 函数的极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值点统称为极值点 注意 为极大点 为极小点 不是极值点 2 对常见函数 极值可能出现在导数为0或不存在的点 1 函数的极值是函数的局部性质 例如 为极大点 是极大值 是极小值 为极小点 四 函数极值的求法 定理1 必要条件 费马 定义 注意 例如 极值点可能在驻点 定理2 第一充分条件 是极值点情形 求极值的步骤 不是极值点情形 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 例2求函数 的极值 解 1 求导数 2 令 得 令 得 3 列表讨论如下 是极大点 其极大值为 是极小点 其极小值为 极大值 极小值 二阶导数 且 则在点取极大值 则在点取极小值 证 1 存在 由第一充分条件知 2 类似可证 定理3 第二充分条件 例3 解 图形如下 注意 例如 例如 例4求函数 的极值 解 1 求导数 2 求驻点 令 得驻点 3 判别 因 故为极小值 又 故需用第一充分条件 解 例6 解 列表讨论 极值是函数的局部性概念 极大值可能小于极小值 极小值可能大于极大值 驻点和不可导点统称为临界点 函数的极值必在临界点取得 判别法 第一充分条件 第二充分条件 注意使用条件 小结 练习题 局部 五 最值的求法 驻点 端点 端点和不可导点 求函数最值的方法 1 求在内的极值可疑点 2 最大值 最小值 特别 当在内只有一个极值可疑点时 当在上单调时 最值必在端点处达到 若在此点取极大值 则也是最大值 小 对应用问题 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大值点或最小值点 小 应用举例 解 计算 比较得 例2 解 例3 解 如图 实际问题求最值应注意 1 建立目标函数 2 求最值 例4 某房地产公司有50套公寓要出租 当租金定为每月180元时 公寓会全部租出去 当租金每月增加10元时 就有一套公寓租不出去 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费 试问房租定为多少可获得最大收入 解 设房租为每月元 租出去的房子有套 每月总收入为 唯一驻点 故每月每套租金为350元时收入最高 最大收入为 例5 解 如图 解得 小结 注意最值与极值的区别 最值是整体概念而极值是局部概念 实际问题求最值的步骤 练习题 区间端点及极值点 10 6 试问 为何值时 还是极小 解 由题意应有 又 取得极大值为 备用题1 求出该极值 并指出它是极大 试求 解 2 故所求最大值为 六 曲线凹向的定义 问题 如何研究曲线的弯曲方向 曲线弧段位于任意点的切线的下方 曲线弧段位于任意点的切线的上方 上凹 上凸 凹 凸 七 曲线凹向的判定 定理4 例1 解 注意到 八 曲线拐点的判定及其求法 定理4 注 拐点的与二阶导数的关系 例2 解 凹 凸 凹 拐点 拐点 例3 解 凹 凸 拐点 例4 解 凸 凹 拐点 例5 解 故曲线 说明 1 若在某点二阶导数为0 则曲线的凹凸性不变 在其两侧二阶导数不变号 2 根据拐点的定义及上述定理 可得拐点的判别法如下 或不存在 则点 练习题 上凸与下凹的分界 无拐点 内容小结 1 曲线凹凸与拐点的判别 拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点 练习 上 则 或 的大