2010-2011年黄冈高中自主招生数学试题及答案.doc

2010年黄冈高中特招考试数学试题（满分：120分 时间120：分钟）一、选择题（每小题5分，共25分）1、已知，则的值为（ ） A3 B4 C5 D62、 关于的不等式组只有5个整数解，则的取值范围是（ ） A B C D3、 如图，用红、黄、蓝三色将图中区域A、B、C、D染色，要求有公共边界的区域不能染成相同的颜色、则区域A恰好染蓝色的概率是（ ） ABCD4、如图，P是函数图像上的一点，直线分别交轴、轴于点A、B，作PM轴于点M，交AB于点E，作PN轴于点N，交AB于点F，则AFBE的值为（ ） A2B1CD （第3题图） （第4题图） （第6题图） 5、 已知满足，则 的值为（ ） ABCD2、 填空题（每小题5分，共25分）6、 如图，在四边形ABCD中，ABCD90,BCCD,E是AD延长线上一点。若DEAB 3,CE,则AD的长是 。7、 若关于的方程有解，则实数的取值范围是 。8、 已知是方程的一个正根，为其另一根，则代数式的值 为 。9、 在RtABC中，ABC90,AB4,BC3,若点I和点O分别为ABC的内心和外心，则线段IO的长为 。10、 使，（，均为实数）成立的实数的最大值 。3、 解答题（共70分）11、 （12分）在黄冈中学“校俱杯”乒乓球比赛中，有8名选手被分到同一小组进行单循环赛（每两名选手比赛一场），分别用，表示第（1、2、3、4、5、6、7、8）名队员的胜与负的场数。 求证：。12、 （14分）如图，P为正方形ABCD内一点，PA1,PB2,PC3. （1）求APB的度数；（2）求正方形ABCD的面积。 13、 已知抛物线（0，0）的顶点为A，抛物线的顶点B在轴上，且两抛物线关于点P（1，3）成中心对称。（1） 当1时，求的值和抛物线的解析式；（2）设与轴的正半轴交于点C，当ABC为等腰三角形时，求的值。14、 （14分）如图，锐角ABC的外接圆的切线PB，PC交于点P，M是BC的中点。 求证：BANCAP。 15、 （16分）已知抛物线（0）上有两点，满足 （1）求证：抛物线（0）必与轴有两个不同的交点。 （2）记抛物线（0）与轴的两个交点为（，0）、（，0）。若，均为 正整数。 求证：，中必存在一个（1或2），使得。2010年黄冈高中特招考试数学试题参考答案1、C 2、C 3、D 4、B 5、A 6、5 7、m0或m1 8、0 9、 10、11证明：因为每名选手比赛的场次相等，都为7场，即 .又因为在整个比赛中胜与负的总场次相等，即 所以7012解：(1)将ABP绕点P顺时针旋转90，因为ABCD为正方形，故A与C重合设 点P旋转至点Q，连结PQBQ=BP=2，PBQ=90，PQ=，BQP=45有CQ=AP=1,PC=3， 且，PQC=90BQC=135APB=BOC=135(2)过B作BHAP交AP的延长线于点H则BH=PH=，AH，由勾股定理得.(也可用余弦定理计算).13解： (1)当a1时，顶点A的坐标为(m，2m1)依题意可设B(0，t)，A、B关于点P对称，故m2，t1B点坐标为(0，1)l1与l2关于点P成中心对称，两抛物线的开口大小相同，方向相反，得l2解析式为(2)AB所以当ABC为等腰三角形时，只有以下两种情况：若BC=AB=，则OC故C点的坐标为（，0）C（，0）在抛物线上，a.若AC=BC，设C点的坐标为(x，0)，作ADx轴于点D，在RtOBC中，在RtADC中，,由，解得x7C(7，0)在抛物线上，a.综上可知，使ABC为等腰三角形a的值有两个，a1,a2.14、证明：过C作CHAB于H，连结MH、PM，则PMBCM为BC的中点，BM=MH=MC，BHM=ABC又PC为ABC的外接圆的切线，PCBBACAHM=180BHM=180ABC=BAC+ACBPCB+ACBACP又COSCAHCOSPCM，,AHMACP.BAM=CAP.15、证明：(1)由，有 得或不妨设y1a ，由点A1在抛物线上知这表明一元二次方程有实数根，从而，有0故因此，抛物线（a0）必与x轴有两个不同的交点。（2）由（x1，0）、（x2，0）为抛物线与x轴的交点知即因为x1、x2、m1均为整数，则有或 即或两种情况均有同理，若，则存在m2使上式成立。故m1、 m2中必有一个mi（i1或2），使得。2011年黄冈中学自主招生考试数学试卷 命题：李明利一、填空题（分）1、方程组的解是 2、若对任意实数不等式都成立，那么、的取值范围为 3、设，则的最大值与最小值之差为 4、两个反比例函数，在第一象限内的图象点、在反比例函数上，它们的横坐标分别为、，纵坐标分别是、共个连续奇数，过、分别作轴的平行线，与的图象交点依次为、，则 5、如右图，圆锥的母线长是，底面半径是，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是 6、有一张矩形纸片，将纸片折叠使、两点重合，那么折痕长是 7、已知、这五个数据，其中、是方程的两个根，则这五个数据的标准差是 8、若抛物线中不管取何值时都通过定点，则定点坐标为 二、选择题（分）9、如图，中，、是边上的点，在边上，交、于、，则等于 ( )A、 B、 C、 D、10、若一直角三角形的斜边长为，内切圆半径是，则内切圆的面积与三角形面积之比是( )A、 B、 C、 D、11、抛物线与直线，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是 ( )A、 B、 C、 D、12、有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元；若购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各件共需 ( )A、元 B、元 C、元 D、元13、设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是 ( )A、 B、 C、 D、14、如图，正方形的边，和都是以为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是 ( )A、 B、 C、 D、15、已知锐角三角形的边长是、，那么第三边的取值范围是 ( )A、 B、 C、 D、16、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了，则第三季度的产值比第一季度增长了 （ ）A、 B、 C、 D、三、解答题17、（15分）设是不小于的实数，关于的方程有两个不相等的实数根、，（1）若，求r 值；（2）求的最大值。18、（15分）如图，开口向下的抛物线与轴交于、两点，抛物线上另有一点在第一象限，且使，（1）求的长及的值；（2）设直线与轴交于点，点是的中点时，求直线和抛物线的解析式。19、（15分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共台，且冰箱至少生产台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调彩电冰箱工 时产值（千元）问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千