《球的表面积和体积》课件(新人教版A必修2).ppt

1 3 2球的表面积和体积 1 3空间几何体的表面积与体积 问题提出 1 柱体 锥体 台体的体积公式分别是什么 圆柱 圆锥 圆台的表面积公式分别是什么 2 球是一个旋转体 它也有表面积和体积 怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容 球的表面积和体积 思考 如何求球的体积 排液法 H 知识探究 一 球的体积 思考1 从球的结构特征分析 球的大小由哪个量所确定 思考2 底面半径和高都为R的圆柱和圆锥的体积分别是什么 思考3 如图 对一个半径为R的半球 其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系 思考4 根据上述圆柱 圆锥的体积 你猜想半球的体积是什么 思考5 由上述猜想可知 半径为R的球的体积 这是一个正确的结论 你能提出一些证明思路吗 假设将圆n等分 则 A2 A1 An O A3 回顾 圆面积公式的推导 延伸阅读 割圆术 早在公元三世纪 我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了 倍边法割圆术 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数 使其面积与圆的面积之差更小 即所谓 割之弥细 所失弥小 这样重复下去 就达到了 割之又割 以至于不可再割 则与圆合体而无所失矣 这是世界上最早的 极限 思想 思考 能否也采取 分割 与 极限 思想 推导球的体积公式 把半球分割成n个薄片 当分割的层数不断增加 每一层就越接近一个圆柱体 O R 当n 时 每个薄片近似于圆柱 设球的半径为R 它的体积只与半径R有关 将半球分割成n层 每一层都近似于圆柱形状的 小圆片 这些 小圆片 的体积之和就是球的体积 选第i层 由下而上 如右图 厚度 下底面半径 体积 球的体积公式 用 祖暅原理 得到球体积公式 高等于底面半径的旋转体体积对比 知识探究 二 球的表面积 思考1 半径为r的圆面积公式是什么 它是怎样得出来的 思考2 把球面任意分割成n个 小球面片 它们的面积之和等于什么 思考3 以这些 小球面片 为底 球心为顶点的 小锥体 近似地看成棱锥 那么这些小棱锥的底面积和高近似地等于什么 它们的体积之和近似地等于什么 则球的体积为 球的表面积公式推导 思考4 你能由此推导出半径为R的球的表面积公式吗 思考5 经过球心的截面圆面积是什么 它与球的表面积有什么关系 球的表面积等于球的大圆面积的4倍 理论迁移 例1如图 圆柱的底面直径与高都等于球的直径 求证 1 球的体积等于圆柱体积的 2 球的表面积等于圆柱的侧面积 基本计算问题 1 1 把球的半径扩大为原来的3倍 则体积扩大为原来的 倍 2 把球队表面积扩大到原来的2倍 那么体积扩大为原来的 倍 3 三个球的表面积之比为1 2 3 则它们的体积之比为 4 三个球的体积之比为1 8 27 则它们的表面积之比为 用一个平面 去截一个球O 截面是圆面 O 球的截面的性质 球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离为d 球的半径为R 则 截面问题 截面问题 1 一球的球面面积为256 cm2 过此球的一条半径的中点 作垂直于这条半径的截面 求截面圆的面积 变式 在球内有相距9cm的两个平行截面 截面面积分别为49 cm2和400 cm2 求球的表面积 两种情况 2 过球面上三点A B C的截面和球心O的距离等于球的半径的一半 且AB BC CA 3 求球的体积 变式 在半径为13cm的球面上有A B C三点 AB 6cm BC 8cm CA 10cm 求经过A B C三点的截面与球心O之间的距离 要点 准确画图 利用基本三角形 接 与 切 两个几何体相 内 切 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切两个几何体相接 一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上解决 接切 问题的关键是画出正确的截面 把空间 接切 转化为平面 接切 问题 球与正方体的 接切 问题 典型 有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三个球的体积之比 画出正确的截面 1 中截面 2 对角面找准数量关系 球与正方体的 接切 问题 四面体与球的 接切 问题 典型 正四面体ABCD的棱长为a 求其内切球半径r与外接球半径R 思考 若正四面体变成正三棱锥 方法是否有变化 1 内切球球心到多面体各面的距离均相等 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2 正多面体的内切球和外接球的球心重合3 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上 但不重合4 基本方法 构造三角形利用相似比和勾股定理5 体积分割是求内切球半径的通用做法 四面体与球的 接切 问题 此页不讲 留给以后专题课 球与旋转体的 接切 问题 1 半圆O的直径为直角梯形垂直于底的腰 且切AB BC CD于A E D点 将其绕AD所在直线旋转一周 得到一个球与一个圆台 若球的表面积与圆台侧面积的比为3 4 求球的体积与圆台体积之比 2 一个倒立的圆锥形容器 它的轴截面是正三角形 在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球 这时水面恰好和球面相切 问将球从圆锥内取出后 圆锥内水平面的高是多少 轴截面 球堆问题 1 把半径为R的四个球垒成两层放在桌面 下层放三个 上层放一个 两两相切 求上层小球最高点离桌面的距离 2 四个半径为R的大球上层一个 下层三个两两相切叠放在一起 在它们围成的空隙内有一个小球与这四个大球都外切 另有一个更大的球与这四个大球都内切 求小球的半径r和更大球的半径R 化归为以各球球心为顶点的多面体问题 此页2不讲 留给以后专题课 平行于底面的截面与底面相似 且 S S1 当平行于底面的截面过棱锥高的中点时 这个截面常被称为中截面 思考 锥体截面性质 锥体截面问题 1 用平行于圆锥底面的平面截圆锥 所得截面面积与底面面积的比是1 3 这截面把圆锥母线分成为两段的比是多少 变式 棱锥的底面面积为150cm2 平行于底面的截面面积为54cm2 若底面和截面的距离为14cm 求这个棱锥的