数值分析实验报告

数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 0 重庆交通大学 计算方法 实验报告 班级 06 级数学与应用数学 02 班 姓名 万 轩 学号 0 6 4 5 0 2 1 0 实验所属课程 计算方法 指导教师 邹 昌 文 实验完成时间 2008 年 4 月 实验成绩 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 1 学号 06450210 姓名 万轩 实验一实验一 误差分析误差分析 实验 1 1 病态问题 实验目的 算法有 优 与 劣 之分 问题也有 好 与 坏 之别 对数值方法的研究而言 所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者 反之属于好 问题 通过本实验可获得一个初步体会 数值分析的大部分研究课题中 如线性代数方程组 矩阵特征值问题 非 线性方程及方程组等都存在病态的问题 病态问题要通过研究和构造特殊的算 法来解决 当然一般要付出一些代价 如耗用更多的机器时间 占用更多的存 储空间等 问题提出 考虑一个高次的代数多项式 1 1 20 2 1 20 1 k kxxxxxp 显然该多项式的全部根为 1 2 20 共计 20 个 且每个根都是单重的 现考虑 该多项式的一个扰动 2 1 0 19 xxp 其中是一个非常小的数 这相当于是对 1 1 中的系数作一个小的扰动 19 x 我们希望比较 1 1 和 1 2 根的差别 从而分析方程 1 1 的解对扰动的 敏感性 实验内容 为了实现方便 我们先介绍两个 Matlab 函数 roots 和 poly roots a u 其中若变量 a 存储 n 1 维的向量 则该函数的输出 u 为一个 n 维的向量 设 a 的元素依次为 则输出 u 的各分量是多项式方程 121 n aaa 0 1 1 21 nn nn axaxaxa 的全部根 而函数 poly v b 的输出 b 是一个 n 1 维变量 它是以 n 维变量 v 的各分量为根的多项式的系数 可见 roots 和 poly 是两个互逆的运算函数 000000001 0 ess 21 1 zerosve 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 2 2 essve 20 1 vepolyroots 上述简单的 Matlab 程序便得到 1 2 的全部根 程序中的 ess 即是 1 2 中的 实验要求 1 选择充分小的 ess 反复进行上述实验 记录结果的变化并分析它们 如果扰动项的系数很小 我们自然感觉 1 1 和 1 2 的解应当 相差很小 计算中你有什么出乎意料的发现 表明有些解关于如此的 扰动敏感性如何 2 将方程 1 2 中的扰动项改成或其它形式 实验中又有怎样的现 18 x 象出现 3 选作部分 请从理论上分析产生这一问题的根源 注意我们可以将 方程 1 2 写成展开的形式 3 1 0 1920 xxxp 同时将方程的解 x 看成是系数的函数 考察方程的某个解关于的扰动是 否敏感 与研究它关于的导数的大小有何关系 为什么 你发现了什么现象 哪些根关于的变化更敏感 思考题一 上述实验的改进 在上述实验中我们会发现用 roots 函数求解多项式方程的精度不高 为此你可以考虑用 符号函数 solve 来提高解的精确度 这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数 poly2sym 函数的具体使用方法可参考 Matlab 的帮助 实验过程 程序 a poly 1 20 rr roots a for n 2 21 n for m 1 9 ess 10 6 m ve zeros 1 21 ve n ess r roots a ve 6 m s max abs r rr end end 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 3 利用符号函数 思考题一 利用符号函数 思考题一 a poly 1 20 y poly2sym a rr solve y for n 2 21 n for m 1 8 ess 10 6 m ve zeros 1 21 ve n ess a poly 1 20 ve y poly2sym a r solve y 6 m s max abs r rr end end 数值实验结果及分析 数值实验结果及分析 format long 6 m n 7 8 9 10 22 797226874783311 867536320091581 060527623807480 25273144219047 31 693766997674240 923106667069640 084716145697410 40804026409411 40 854013934155360 199410220200610 039729352958340 50 110311005388710 0429653236284400 60000 70000 80000 90000 100000 110000 120000 130000 140000 150000 160000 170000 180000 190000 200000 210000 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 4 6 m n 11 12 13 14 20 038776764393800 162565848682800 133226640135980 30 02164258317546000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000 110000 120000 130000 140000 150000 160000 170000 180000 190000 200000 210000 讨论 讨论 利用这种方法进行这类实验 可以很精确的扰动敏感性的一般规律 即当对扰 动项的系数越来越小时 对其多项式扰动的结果也就越来越小 即扰动敏感性 与扰动项的系数成正比 扰动项的系数越大 对其根的扰动敏感性就越明显 当扰动的系数一定时 扰动敏感性与扰动的项的幂数成正比 扰动的项的幂数 越高 对其根的扰动敏感性就越明显 实验总结 实验总结 利用 MATLAB 来进行病态问题的实验 虽然其得出的结果是有误差的 但是 可以很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动 对 其多项式的根会有一定的扰动的 所以对于这类病态问题可以借助于 MATLAB 来进行问题的分析 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 5 学号 06450210 姓名 万轩 实验二实验二 插值法插值法 实验 2 1 多项式插值的振荡现象 问题提出 考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数 显然拉格朗日插值中 使用的节点越多 插值多项式的次数就越高 我们自然关心插值多项式的次 数增加时 L x 是否也更加靠近被逼近的函数 龙格给出了一个极著名例子 设区间 1 1 上函数 f x 1 1 25x 2 实验内容 考虑区间 1 1 的一个等距划分 分点为 x i 1 2i n i 0 1 2 n 泽拉格朗日插值多项式为 L x l i x 1 25x j 2 i 0 1 n 其中 l i x i 0 1 n n 是 n 次拉格朗日插值基函数 实验要求 选择不断增大的分点数目 n 2 3 画出 f x 及插值多项式函数 L x 在 1 1 上的图象 比较分析实验结果 2 选择其它的函数 例如定义在区间 5 5 上的函数 h x x 1 x 4 g x arctanx 重复上述的实验看其结果如何 3 区间 a b 上切比雪夫点的定义为 xk b a 2 b a 2 cos 2k 1 2 n 1 k 1 2 n 1 以 x1 x2 x n 1 为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式 比较其结果 实验过程 程序 程序 多项式插值的震荡现象 实验多项式插值的震荡现象 实验 2 1 for m 1 6 subplot 2 3 m 把窗口分割成 2 3 大小的窗口 largrang 6 m 对 largrang 函数进行运行 if m 1 title longn 6 elseif m 2 title longn 12 elseif m 3 title longn 18 elseif m 4 title longn 24 elseif m 5 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 6 title longn 30 elseif m 6 title longn 36 end 对每个窗口分别写上标题为插值点的个数 end 保存为 保存为 chazhi m function largrang longn mm input please input mm 运行第几个函数就输入 mm 为几 mm if mm 1 d 表示定义域的边界值 d 1 elseif mm 2 mm 3 d 5 end x0 linspace d d longn x 的节点 if mm 1 y0 1 1 25 x0 2 elseif mm 2 y0 x0 1 x0 4 elseif mm 3 y0 atan x0 end x sym x n length x0 s 0 0 for k 1 n p 1 0 for j 1 n if j k p p x x0 j x0 k x0 j end end s p y0 k s end y s if mm 1 ezplot 1 1 25 x 2 elseif mm 2 ezplot x 1 x 4 elseif mm 3 ezplot atan x end hold on ezplot y d d hold off 保存为 保存为 largrang m 数值实验结果及分析 数值实验结果及分析 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 7 对于第一个函数对于第一个函数 f x 1 1 25x2 101 0 0 2 0 4 0 6 x longn 6 101 0 0 5 1 x longn 12 101 0 5 0 0 5 1 x longn 18 101 0 5 0 0 5 1 1 5 x longn 24 101 2 1 0 1 2 x longn 30 101 0 5 0 0 5 1 1 5 x longn 36 对于第二个函数对于第二个函数 h x x 1 x4 505 0 5 0 0 5 x longn 6 505 1 0 1 x longn 12 505 1 0 1 x longn 18 505 4 2 0 2 4 x longn 24 505 2 0 2 x longn 30 505 20 0 20 x longn 36 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 8 对于第三个函数对于第三个函数g x arctan x 505 1 0 1 x longn 6 505 2 1 0 1 2 x longn 12 505 2 0 2 x longn 18 505 2 0 2 x longn 24 505 2 0 2 x longn 30 505 2 0 2 x longn 36 讨论 通过对三个函数得出的 largrang 插值多项式并在数学软件中的运行 得出函数 图象 说明了对函数的支点不是越多越好 而是在函数的两端而言支点越多 而 largrang 插值多项式不是更加靠近被逼近的函数 反而更加远离函数 在函 数两端的跳动性更加明显 argrang 插值多项式对函数不收敛 实验总结 利用 MATLAB 来进行函数的 largrang 插值多项式问题的实验 虽然其得出的结 果是有误差的 但是增加支点的个数进行多次实验 可以找出函数的 largrang 插值多项式的一般规律 当支点增加时 largrang 插值多项式对函数两端不收敛 不是更加逼近 而是更加远离 跳动性更强 所以对于函数的 largrang 插值多 项式问题可以借助于 MATLAB 来进行问题的分析 得到比较准确的实验结规 律 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 9 学号 06450210 姓名 万轩 实验五实验五 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法 实验 5 1 主元的选取与算法的稳定性 问题提出 Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的 但由于计算机的数 值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的 如何才能确保 Gauss 消去法作为 数值算法的稳定性呢 Gauss 消去法从理论算法到数值算法 其关键是主元的 选择 主元的选择从数学理论上看起来平凡 它却是数值分析中十分典型的问 题 实验内容 考虑线性方程组 nnn RbRAbAx 编制一个能自动选取主元 又能手动选取主元的求解线性方程组的 Gauss 消去 过程 实验要求 1 取矩阵 则方程有解 取 14 15 15 7 68 168 168 16 bA T x 1 1 1 n 10 计算矩阵的条件数 让程序自动选取主元 结果如何 2 现选择程序中手动选取主元的功能 每步消去过程总选取按模最小或按模 尽可能小的元素作为主元 观察并记录计算结果 若每步消去过程总选取按模 最大的元素作为主元 结果又如何 分析实验的结果 3 取矩阵阶数 n 20 或者更大 重复上述实验过程 观察记录并分析不同的 问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异 说明主元素的选取在消 去过程中的作用 4 选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵 计算其条件数 重复上述实 验 观察记录并分析实验结果 实验过程 程序 程序 建立 M 文件 function x gauss n r n input 请输入矩阵 A 的阶数 n A diag 6 ones 1 n diag ones 1 n 1 1 diag 8 ones 1 n 1 1 b A ones n 1 p input 条件数对应的范数是 p 范数 p 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 10 pp cond A p pause m n size A nb n 1 Ab A b r input 请输入是否为手动 手动输入 1 自动输入 0 r for i 1 n 1 if r 0 pivot p max abs Ab i n i ip p i 1 if ip i Ab i ip Ab ip i disp Ab pause end end if r 1 i i ip input 输入 i 列所选元素所处的行数 ip Ab i ip Ab ip i disp Ab pause end pivot Ab i i for k i 1 n Ab k i nb Ab k i nb Ab k i pivot Ab i i nb end disp Ab pause end x zeros n 1 x n Ab n nb Ab n n for i n 1 1 1 x i Ab i nb Ab i i 1 n x i 1 n Ab i i end 数值实验结果及分析 数值实验结果及分析 取矩阵 A 的阶数 n 10 自动选取主元 format long gauss 请输入矩阵 A 的阶数 n 10 n 10 条件数对应的范数是 p 范数 p 1 p 1 pp 2 557500000000000e 003 请输入是否为手动 手动输入 1 自动输入 0 r 0 r 0 取矩阵 A 的阶数 n 10 手动选取主元 选取绝对值最大的元素为主元 gauss 请输入矩阵 A 的阶数 n 10 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 11 n 10 条件数对应的范数是 p 范数 p 2 p 2 pp 1 727556024913903e 003 请输入是否为手动 手动输入 1 自动输入 0 r 1 r 1 ans 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 选取绝对值最小的元素为主元 gauss 请输入矩阵 A 的阶数 n 10 n 10 条件数对应的范数是 p 范数 p 2 p 2 pp 1 727556024913903e 003 请输入是否为手动 手动输入 1 自动输入 0 r 1 r 1 ans 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 0 99999999999999 1 00000000000001 0 99999999999998 1 00000000000003 取矩阵 A 的阶数 n 20 手动选取主元 选取绝对值最大的元素为主元 gauss 请输入矩阵 A 的阶数 n 20 条件数对应的范数是 p 范数 p 1 p 1 pp 2 621437500000000e 006 ans 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 选取绝对值最小的元素为主元 gauss 请输入矩阵 A 的阶数 n 20 n 20 条件数对应的范数是 p 范数 p 2 p 2 pp 1 789670565881683e 006 请输入是否为手动 手动输入 1 自动输入 0 r 1 r 1 ans 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000001 0 99999999999997 1 00000000000006 0 99999999999989 1 00000000000023 0 99999999999955 1 00000000000090 0 99999999999821 1 00000000000352 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 12 0 99999999999318 1 00000000001273 0 99999999997817 1 00000000002910 将 M 文件中的第三行 A diag 6 ones 1 n diag ones 1 n 1 1 diag 8 ones 1 n 1 1 改为 A hilb n gauss 请输入矩阵 A 的阶数 n 7 n 7 条件数对应的范数是 p 范数 p 1 p 1 pp 9 851948872610030e 008 请输入是否为手动 手动输入 1 自动输入 0 r 1 r 1 ans 1 00000000000051 0 99999999997251 1 00000000031354 0 99999999864133 1 00000000268805 0 99999999754181 1 00000000084337 gauss 请输入矩阵 A 的阶数 n 7 n 7 条件数对应的范数是 p 范数 p 2 p 2 pp 4 753673569067072e 008 请输入是否为手动 手动输入 1 自动输入 0 r 1 r 1 ans 0 99999999999869 1 00000000004337 0 99999999964299 1 00000000121143 0 99999999803038 1 00000000152825 0 99999999954491 该问题在主元选取与算出结果有着很大的关系 取绝对值大的元素作为主 元比取绝对值小的元素作为主元时产生的结果比较准确 即选取绝对值小的主 元时结果产生了较大的误差 条件数越大产生的误差就越大 讨论 讨论 在 gauss 消去法解线性方程组时 主元的选择与算法的稳定性有密切的联 系 选取绝对值大的元素作为主元比绝对值小的元素作为主元时对结果产生的 误差较小 条件数越大对用 gauss 消去法解线性方程组时 对结果产生的误差 就越大 实验总结 对用 gauss 消去法解线性方程组时 主元的选取与算法的稳定性有密切的 联系 选取适当的主元有利于得出稳定的算法 在算法的过程中 选取绝对值 较大的主元比选取绝对值较小的主元更有利于算法的稳定 选取绝对值最大的 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 13 元素作为主元时 得出的结果相对较准确较稳定 条件数越小 对用这种方法 得出的结果更准确 在算除法的过程中要尽量避免使用较小的数做为除数 以 免发生结果数量级加大 使大数吃掉小数 产生舍入误差 学号 06450210 姓名 万轩 实验实验 5 2 线性代数方程组的性态与条件数的估计 问题提出 理论上 线性代数方程组的摄动满足bAx b b A A AA Acond x x 1 1 矩阵的条件数确实是对矩阵病态性的刻画 但在实际应用中直接计算它显然不 现实 因为计算通常要比求解方程还困难 1 AbAx 实验内容 Matlab 中提供有函数 condest 可以用来估计矩阵的条件数 它给 出的是按 1 范数的条件数 首先构造非奇异矩阵 A 和右端 使得方程是可以精 确求解的 再人为地引进系数矩阵和右端的摄动 使得充分bA 和bA 和 小 实验要求 1 假设方程 Ax b 的解为 x 求解方程 以 1 范数 给出bbxAA 的计算结果 x xx x x 2 选择一系列维数递增的矩阵 可以是随机生成的 比较函数 condest 所需机器时间的差别 考虑若干逆是已知的矩阵 借助函数 eig 很容易给出 cond2 A 的数值 将它与函数 cond A 2 所得到的结果进行比较 3 利用 condest 给出矩阵 A 条件数的估计 针对 1 中的结果给出 的理论估计 并将它与 1 给出的计算结果进行比较 分析所得结果 注 x x 意 如果给出了 cond A 和的估计 马上就可以给出的估计 A 1 A 4 估计著名的 Hilbert 矩阵的条件数 nji ji hhH jinnji 2 1 1 1 实验过程 程序 程序 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 14 n input please input n n 输入矩阵的阶数 a fix 100 rand n 1 随机生成一个矩阵 a x ones n 1 假设知道方程组的解全为 1 b a x 用矩阵 a 和以知解得出矩阵 b data rand n 0 00001 随即生成扰动矩阵 data datb rand n 1 0 00001 随即生成扰动矩阵 datb A a data B b datb xx geshow A B 解扰动后的解 x0 norm xx x 1 norm x 1 得出的理论结果 x xx x x 保存为 保存为 fanshu m function x geshow A B 用高斯消去法解方程组 m n size A nb n 1 AB A B for i 1 n 1 pivot AB i i for k i 1 n AB k i nb AB k i nb AB k i pivot AB i i nb end end x zeros n 1 x n AB n nb AB n n for i n 1 1 1 x i AB i nb AB i i 1 n x i 1 n AB i i end 保存为 保存为 geshow m function cond2 A 自定义求二阶条件数 B A A V1 D1 eig B V2 D2 eig B 1 cond2A sqrt max max D1 sqrt max max D2 end 保存为 保存为 cond2 m format long for n 10 10 100 n n n 为矩阵的阶 A fix 100 randn n 随机生成矩阵 A condestA condest A 用 condest 求条件数 cond2 A 用自定义的求条件数 condA2 cond A 2 用 cond 求条件数 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 15 pause 运行一次暂停 end 保存为 保存为 shiyan52 m n input please input n n 输入矩阵的阶数 a fix 100 rand n 1 随机生成一个矩阵 a x ones n 1 假设知道方程组的解全为 1 b a x 用矩阵 a 和以知解得出矩阵 b data rand n 0 00001 随即生成扰动矩阵 data datb rand n 1 0 00001 随即生成扰动矩阵 datb A a data B b datb xx geshow A B 利用第一小问的 geshow m 求出解阵 x0 norm xx x 1 norm x 1 得出的理论结果 x xx x x x00 cond A 1 norm inv A norm xx x norm xx x norm A norm datb norm B 得出 的估计值 x xx x x datx abs x0 x00 求两者之间的误差 保存为 保存为 sy5 2 m format long for n 4 11 n n n 为矩阵的阶数 Hi hilb n 生成 Hilbert 矩阵 cond1Hi cond Hi 1 求 Hilbert 矩阵得三种条件数 cond2Hi cond Hi 2 condinfHi cond Hi inf pause end 数值实验结果及分析 数值实验结果及分析 fanshu please input n n 6 n 6 a 14 25 16 88 19 89 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 16 32 93 85 48 92 60 14 40 88 50 13 16 23 52 19 29 2 32 40 10 100 7 37 24 14 3 72 27 70 1 x 1 1 1 1 1 1 b 251 410 221 157 218 187 data 1 0e 005 0 39690379186910 0 78196184196050 0 63712194084590 0 82064368228574 0 66093213223947 0 51488031898783 0 64986813059250 0 23756508204022 0 54592415509902 0 97047237460911 0 35801711338781 0 22157934638561 0 08500060621463 0 19573076378328 0 84805722441693 0 48692499554190 0 93819943010121 0 72500937095222 0 76880950325876 0 26321391517561 0 80209765848011 0 81746853554695 0 48766697476487 0 06824661097009 0 96970170497170 0 71378506459614 0 66830641006672 0 64157116784600 0 09099035774397 0 96412426837254 0 71479723187621 0 97759973943565 0 67098263396985 0 30634935951390 0 67383411686207 0 20765658836866 datb 1 0e 005 0 16111822555138 0 63822138259275 0 00022817289162 0 33563294335217 0 27509982146621 0 04452752039203 A 1 0e 002 0 14000003969038 0 25000007819618 0 16000006371219 0 88000008206437 0 19000006609321 0 89000005148803 0 32000006498681 0 93000002375651 0 85000005459242 0 48000009704724 0 92000003580171 0 60000002215793 0 14000000850006 0 40000001957308 0 88000008480572 0 50000004869250 0 13000009381994 0 16000007250094 0 23000007688095 0 52000002632139 0 19000008020977 0 29000008174685 0 02000004876670 0 32000000682466 0 40000009697017 0 10000007137851 1 00000006683064 0 07000006415712 0 37000000909904 0 24000009641243 0 14000007147972 0 03000009775997 0 72000006709826 0 27000003063494 0 70000006738341 0 01000002076566 B 1 0e 002 2 51000001611182 4 10000006382214 2 21000000002282 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 17 1 57000003356329 2 18000002750998 1 87000000445275 xx 0 99999830779720 1 00000022569555 1 00000019341555 0 99999909388073 0 99999996894021 1 00000066032794 x0 6 181368174725440e 007 的计算结果为 6 181368174725440e 007 x xx x x 2 2 NcondestAcond2AcondA2 101 152530883943102 e 002 32 8905456307542132 89054563075420 203 470959631940668 e 002 65 5412238417896665 54122384178720 306 050503865112835 e 002 1 126539755706398 e 002 1 126539755706322 e 002 403 549487892582470 e 002 61 3753756968344861 37537569683365 506 855018184779408 e 002 81 1213899375359481 12138993753482 601 082004656409367 e 004 1 704830815154781 e 003 1 704830815108527 e 003 703 234679145192132 e 003 3 878481155980936 e 002 3 878481155978439 e 002 808 318226153918658 e 002 86 2381429985251386 23814299853018 902 063634143407935 e 003 2 120696380331705 e 002 2 120696380331079 e 002 1001 536592818758897 e 003 1 559132035738491 e 002 1 559132035738373 e 002 sy5 2 please input n n 8 n 8 x0 1 095033343195828e 006 x00 1 705456352162135e 005 datx 1 595953017842553e 005 给出对的估计是 1 705456352162135e 005 x xx x x 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 18 的理论结果是 1 095033343195828e 006 x xx x x 结果相差 1 595953017842553e 005 4 4 ncond1Hicond2HicondinfHi 42 837499999999738 e 004 1 551373873892786 e 004 2 837499999999739 e 004 59 436559999999364 e 005 4 766072502414135 e 005 9 436559999999336 e 005 62 907027900294878 e 007 1 495105864009243 e 007 2 907027900294064 e 007 79 851948897194700 e 008 4 753673565864586 e 008 9 851948897198483 e 008 83 387279082022742 e 010 1 525757545841988 e 010 3 387279081949470 e 010 91 099650993366047 e 012 4 931544439891016 e 011 1 099650991701052 e 012 103 535372424347474 e 013 1 602528637652488 e 013 3 535372455375642 e 013 111 230369955362001 e 015 5 223946340715823 e 014 1 230369938308720 e 015 讨论 讨论 线性代数方程组的性态与条件数有着很重要的关系 既矩阵的条件数是刻 画矩阵性质的一个重要的依据 条件数越大 矩阵 病态 性越严重 在解线 性代数方程组的过程中较容易产生比较大的误差 则在实际问题的操作过程中 我们必须要减少对条件数来求解 把条件数较大的矩阵化成条件数较小的矩阵 来进行求解 实验总结 在本次实验中 使我们知道了矩阵条件数对线性代数方程组求解的影响 条件数越大 对最后解的影响的越大 hilbert 矩阵是一个很 病态 的矩阵 他 的条件数随着阶数的增加而增大 每增加一阶 条件数就增大一个数量级 在 求解的过程中要尽量避免 hilbert 矩阵 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 19 学号 06450210 姓名 万轩 实验七实验七 非线性方程求根非线性方程求根 实验 7 1 迭代法 初始值与收敛性 实验目的 初步认识非线性问题的迭代法与线性问题迭代法的差别 探讨迭代 法及初始值与迭代收敛性的关系 问题提出 迭代法是求解非线性方程的基本思想方法 与线性方程的情况一样 其构造方法可以有多种多样 但关键是怎样才能使迭代收敛且有较快的收敛速 度 实验内容 考虑一个简单的代数方程 01 2 xx 针对上述方程 可以构造多种迭代法 如 1 7 1 2 1 nn xx 2 7 1 1 1 n n x x 3 7 1 1 nn xx 在实轴上取初始值 x0 请分别用迭代 7 1 7 3 作实验 记录各算法的迭 代过程 实验要求 1 取定某个初始值 分别计算 7 1 7 3 迭代结果 它们的收敛性如何 重复选取不同的初始值 反复实验 请自选设计一种比较形象的记录方式 如 利用 Matlab 的图形功能 分析三种迭代法的收敛性与初值选取的关系 2 对三个迭代法中的某个 取不同的初始值进行迭代 结果如何 试分析迭 代法对不同的初值是否有差异 3 线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初始值选取的 比较线性与非线性问 题迭代的差异 有何结论和问题 实验过程 程序 程序 clear clc 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 20 s input 请输入要运行的方程 运行第几个输入几s clf if s 1 决定坐标轴的范围和初始值 a 1 5 b 2 5 y00 0 x00 input 请输入第一个函数的初值 x00 elseif s 2 a 0 1 b 6 5 y00 0 x00 input 请输入第二个函数的初值 x00 elseif s 3 a 0 b 2 y00 0 x00 input 请输入第三个函数的初值 x00 end x linspace a b 80 y0 x 计算直线y x y1 zxy7f x s 计算迭代函数y f x clear y y y0 y1 if s 1 画图 plot x y linewidth 1 legend y x y f1 title x n 1 x n 2 1 输出标题 elseif s 2 plot x y linewidth 2 legend y x y f2 title x n 1 1 1 x n elseif s 3 plot x y linewidth 3 legend y x y f3 title x n 1 sqrt x n 1 end hold on plot a b 0 0 k 0 0 a b k axis a b a b 画坐标轴 z for i 1 15 画蛛网图 迭代过程为 n 15 次 xt 1 x00 yt 1 y00 决定始点坐标 xt 2 zxy7f xt 1 s 决定终点坐标 yt 2 zxy7f xt 1 s zxyplot7 xt yt 0 6 画蛛网图 if i 5 pause 按任意键逐次观察前 5 次迭代的蛛网图 end x00 xt 2 y00 yt 2 将本次迭代的终点作为下次的始点 z z xt 1 保存迭代点 end 保存为 保存为 zxy7 m 数 值 分 析 实 验 报 告 重庆交通大学 2006 级理学院数学与应用数学 02 班 万轩 21 function y zxy7f x s if s 1 y x x 1 elseif s 2 y 1 1 x elseif s 3 y sqrt x 1 end 保存为 保存为 zxy7f m function out zxyplot7 x y p 画一次迭代的蛛网图 改变 p 调节箭头的大 小 u 1 0 v 1 y 2 y 1 画出始点 x 1 y 1 终点 x 2 y 2 的有 向折线段 u 2 eps v 2 eps h quiver x 1 x 1 y 1 y 2 u v p set h color red hold on u 1 x 2 x 1 v 1 0 u 2 eps v 2 eps h quiver x 1 x 2 y 2 y 2 u v p set h color red plot x 1 x 1 x 2 y 1 y 2 y 2 r 保存为 zxyplot7 m 数值实验结果及分析