概率论(随机变量的分布函数).ppt

第三节随机变量的分布函数 一 概念的引入 需要知道X在任意有限区间 a b 内取值的概率 分布函数 例如 二 定义 设X是随机变量 x为任意实数 称函数 为X的分布函数 distributionfunction 记作X F x 或FX x 三 分布函数的性质 1单调不减 即若x1 x2 则F x1 F x2 2 非负有界 F x 0 F x 3 右连续 性质1 3是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件 例1一袋中有6个球 其中2个标号为1 3个标号为2 1个标号为3 任取1个球 以X表示取出的球的标号 求X的分布函数 并求P 2 X 3 它的图形是一条右连续的阶梯型曲线 在随机变量的每一个可能取值点x xk k 1 2 该图形都有一个跳跃 跳跃高度为pk 一般地 对于离散型随机变量X来讲 如果其概率分布律为 k 1 2 其中x1 x2 则X的分布函数为 例2一个靶子是半径为2米的圆盘 设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的半径平方成正比 并设射击都能中靶 以X表示弹着点与圆心的距离 试求 1 随机变量X的分布函数 解 1 求随机变量X的分布函数F x 当0 x 2时 P 0 X x cx2 c为待定常数 又因为 0 X 2 为必然事件 故1 P 0 X 2 故于是 当x 0时 事件 X x 为不可能事件 得F x P X x 0 当x 2时 X x 为必然事件 于是F x P X x 1 综上所述 注 本例中分布函数F x 的图形是一条连续曲线 且除x 2外 补充定义x 2处函数值为0后 得到 第四节连续型随机变量及其概率密度 一 定义 probabilitydensity 注 1 由定义知道 改变概率密度f x 在个别点的函数值不影响分布函数F x 的取值 因此概率密度不是唯一的 2 连续型随机变量的分布函数是连续函数 二 性质 1 2 用于验证一个函数是否为概率密度 注 4 式及连续性随机变量分布函数的定义表示了分布函数与概率密度间的两个关系 利用这些关系 可以根据分布函数和概率密度中的一个推出另一个 4 若f x 在点x处连续 则有 连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义 3 性质 3 表示P x1 X x2 等于曲线f x 在区间 x1 x2 上的曲边梯形的面积 1 F x 等于曲线f x 在 x 上的曲边梯形的面积 可得计算公式 注 1 设X为连续型随机变量 对于任意可能值a 证明 由此知 2 若X是连续型随机变量 则有 因此 例1 设随机变量X具有概率密度 1 试确定常数k 2 求F x 3 并求P X 0 1 解 1 由于 于是X的概率密度为 解得k 3 2 从而 练习 解 1 例2 连续型随机变量X的分布函数 1 求A B 2 求X的概率密度 3 P 1 X 2 解 1 由分布函数的性质知 由连续型随机变量的分布函数的连续性知 所以B 1 F x 在x 0处有F 0 0 F 0 即 A 1 A 所以A 1 2 于是X分布函数为 2 X的概率密度为 分布函数 三 三种重要的连续型分布 1 均匀分布 UniformDistribution 设连续随机变量X具有概率密度 则称X在区间 a b 上服从均匀分布 记为X U a b 均匀分布的意义 短时间间隔的股票价格波动等 均匀分布常见于下列情形 在数值计算中的舍入误差 例3设电阻值R是一个随机变量 均匀分布在800欧 1000欧 求R的概率密度及R落在850欧 950欧的概率 解 由题意 R的概率密度为 而 例3某车站从上午7时起 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 7 30 7 45等时刻有汽车到达此站 如果乘客到达此站时间X是7 00到7 30之间的均匀随机变量 求他候车时间少于5分钟的概率 解 以7 00为起点0 以分为单位 依题意 X U 0 30 从上午7时起 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 7 30等时刻有车到达车站 为使候车时间X少于5分钟 乘客必须在7 10到7 15之间 或在7 25到7 30之间到达车站 所求概率为 即乘客候车时间少于5分钟的概率是1 3 若随机变量X的概率密度为常数且大于零 则称X服从参数为的指数分布 X的分布函数为 2 指数分布 显然 f x 0 且 注 1 若随机变量X对任意的s 0 t 0有 则称X的分布具有无记忆性 指数分布具有无记忆性 2 指数分布有着重要应用 如动植物的寿命 无线电元件的寿命 以及随机服务系统中的服务时间等都可用指数分布来描述 例4设某种灯泡的使用寿命为X 其概率密度为求 1 此种灯泡使用寿命超过100小时的概率 2 任取5只产品 求有2只寿命大于100小时的概率 解 1 或 2 设Y表示5只产品中寿命大于100小时的只数 则 故 解 分析 关键 t 0时 T t N t 0 时间间隔大于t 在 0 t 时间内未发生故障 因为 T t N t 0 服从参数为 的指数分布 其中 0 为常数 则称X服从参数为 的正态分布 记为 三 正态分布 若随机变量X的概率密度为 正态分布的概率密度函数f x 的性质 1 曲线关于直线x 对称 2 当x 时 f x 取得最大值 3 在x 处曲线有拐点 且以x