第3章+流体动力学-bppt课件.ppt

第五节理想流体和实际流体的伯努利方程 一 理想流体的伯努利方程 该方程是理想流体动量守恒方程在一定条件下的积分形式 它描述了运动流体所具有的能量以及各种能量之间的转换规律 积分条件如下 X Y Z 定常有势 势函数W f x y z 的全微分是 流体是不可压缩的 即 const流动是稳定流 流线与迹线重合 对流线而言dx vxdt dy vydt dz vzdt 第五节理想流体和实际流体的伯努利方程 我们注意到 此即理想流体运动微分方程的伯努利积分 理想流体的伯努利方程 它表明在有势质量力的作用下 理想不可压缩流体作定常流动时 因此 沿同一流线取相距一定距离的两点1和2 则有 实际中遇到的质量力只有重力 即X 0 Y 0 Z g dW gdz 则有 此时对同一流线上的任意两点1和2 则有如下的关系 二 实际流体的伯努利方程 如果质量力只有重力 质量力可用势函数W表示 流体是不可压缩的 即 const 流体是稳定流 流线与迹线重合 对流线而言dx vxdt dy vydt dz vzdt 由实际流体的N S方程 实际流体的伯努利方程 与理想流体类似地 对方程组中的各方程对应地乘以dx dy dz后 再相加 上式左边第二项表示粘性力的分量与相应微小距离乘积的代数和 其物理意义就是粘性力所做的阻力功 计作 dWR 表示粘性产生的切应力的合力与流体运动方向相反 做负功 实际流体的伯努利方程 它表明在有势质量力的作用下 实际的不可压缩流体作定常流动时 因此 对同一流线上的任意两点1和2 则有 通常 实际中遇到的质量力只有重力 即W1 z1g W2 z2g 则有 它表示单位质量的粘性流体沿流线自点1运动到点2的过程中内摩擦力所作功的增量 或沿程阻力损失 其值总是随流动路程的增加而增加 此即实际粘性流体运动的伯努利方程 实际流体的伯努利方程 1 几何意义 三 伯努利方程的几何意义和物理意义 Z指流体质点经给定点时所具有的位置高度 称为位置水头 简称位头 其量纲为长度的量纲 指流体质点在给定点的压力高度 受到压力p能上升的高度 称为压力水头 简称压头 量纲也是长度的量纲 表示流体质点经给定点时以速度v向上喷射时所能达到的高度 称为速度水头 其量纲也是长度的量纲 伯努利方程中位置水头 压力水头 速度水头三者之和称为总水头 用H表示为 伯努利方程的几何意义 对理想流体可以用图示的几何图形来表示物理量之间的关系 各点位置z构成位置水头线 理想流体运动时 因无水头损失 必然有H1 H2 H 即流线上各点的总水头是相等的 各点总水头顶点的连线是一水平线 虽然速度水头随过水断面的改变会发生变化 而总水头不变 包括位置水头在的三个水头可以相互转化 各顶点的连线叫静水头线 各顶点的连线叫总水头线 伯努利方程的几何意义 对实际粘性流体 因存在水头损失 而且沿着流向总水头必然是降低的 所以总水头线是一条沿流向程向下倾斜的曲线 与理想流体一样其静水头线还是一条随过水断面改变而起伏的曲线 2 伯努利方程的物理意义 方程中的每一项都具有相应的能量意义 gz可以视为单位质量的流体流经某点时所具有的位置能量 称为比位能 WR是单位质量的流体在流动过程中所损失的机械能 称为能量损失 对理想流体 单位质量的流体沿流线自位置1流到位置2 其总的能量是不变的 但各项能量可以相互转化 对于粘性流体 单位质量的流体沿流线自位置1流到位置2 不但各项能量间可以转化 而且其总的机械能是损失的 设总比能为E E表示单位质量流体总比能的损失 则有E1 E2 E 可以视为单位质量的流体流经某点时所具有的压力能量 称为比压能 是单位质量的流体流经某点时的动能 称为比动能 四 实际流体总流的伯努利方程 总流是有许多流束组成的 每个流束的流动参量都有差异 因此 对于总流往往用平均参量来描述其运动特性 由实际流束的伯努利方程 考虑一流动缓 渐 变区 流线趋于平行并近似于直线 或者虽有弯曲但曲率半径很大 渐变流的同一过水断面上 z p 常数 在此流道内的伯努利方程可表示为 1dA1 2dA2 经过流道截面A1和A2上任一流束的流体质量 dQ 流束中流过的流体体积 根据连续性方程可知 1dA1 2dA2 dQ 因为是缓变流 在截面A1上 z1g p1 为常数 那么有 实际流体总流的伯努利方程 同理 因为Q1 Q2 Q 方程两边都除以 Q则有 左边两式即为描述实际流体流经流道的伯努利方程式 1 2通常都大于1 若流道中的流速越均匀 动能修正系数 的值就越接近1 一般为1 05 1 10之间 可以利用该式解决一些实际工程问题 实际流体总流的伯努利方程 第六节伯努利方程的应用 一 应用条件1 流体运动必须是稳定流 流体是不可压缩的 2 所取的有效断面必须符合缓变流条件 两断面间的流动可以是缓变的 也可以是急变的 3 流体运动时 沿程流量不变 对于有分支流 或汇流 的情况 可按总能量的守恒和转化规律列出能量方程 4 在所讨论的两有效断面间必须没有能量的输入和输出 若有能量的输入或输出 应采用下式 上式适用于不可压缩流体的运动 一般气流速度小于50m s时可按不可压缩流体对待 伯努利方程的应用 二 应用举例 1 喷泉问题 一喷嘴直径d 0 05m的喷泉 向上方空中喷水 已知水的喷出速度V 15m s 假设喷出的水流不受空气介质的影响 无阻力损失并保持圆截面 试求 距喷嘴口高度H 8m处水流的截面直径 解 写出这两点的伯努利方程 Z1 0 Z2 8米 因为 即 伯努利方程的应用 D1 0 067 m 答 距喷嘴口高度H 8m处水流的截面直径为0 067米 又因为 伯努利方程的应用 2 虹吸管 已知虹吸管的直径d1 150mm 布置情况如图3所示 喷嘴出口直径d2 50mm 如不计水头损失 试求虹吸管的输水流量及管中A C两点的压强值 即 表压力 图3虹吸管示意图 解 1 取喷嘴出口处为计算高程的基准面 写出1 1和2 2断面的伯努利方程 所以 虹吸管流量 伯努利方程的应用 2 根据连续性方程 有FAvA FCvC FDvD F2v2所以 3 对1 1和A A断面列出伯努利方程取水的重度解得 伯努利方程的应用 4 对1 1和C C断面列出伯努利方程 解得 答 虹吸管的输水流量Q 0 0174m3 s 管中A C两点的压强值分别为PA 68 2KN m2 PC 20 1KN m2 伯努利方程的应用 例3 3 在金属铸造及冶金中 如连续铸造 铸锭等 通常采用浇包盛装金属液进行浇注 如图3 15所示 设mi是浇包内金属液的初始质量 mc是需要浇注的铸件质量 为简化计算 假设包的直径D是不变的 因浇口的直径d比浇包的直径小很多 自由液面 1 的下降速度与浇口处 2 金属液的流出速度相比可以忽略不计 求金属液的浇注时间 解 由伯努利方程 得 因此有 式中是出口处液体的平均流出速度 H是液体金属的高度 由总质量平衡原理 有 图3 17金属液从浇包流出时间计算 将速度公式代入 得忽略柱塞的体积 整个金属液质量由式 A 和 B 消去H 得根据题意 按下列范围积分 A B 有因此 需要流出的时间为 例3 4 毕托管 PitotTube 是用来测量流场中一点流速的仪器 其原理如图3 16a所示 在管道里沿流线装设迎着流动方向开口的细管 可以用来测量管道中流体的总压力 试求毕托管的测速公式 解 沿流线1 2两点列出伯努利方程式 因为迎着流体的毕托管端对流动的流体有阻滞作用 此处流体的流速v2 0 z1 z2 于是 即 p0总压力 如果在2点处取静压 则可以测得该处的静压力能 由于1 2两点之间距离很近 可以忽略其间压力损失 因此这时有又因为 所以 一种本身带有静压测点的毕托管称为动压管 图3 16b 同一枝毕托管内不同管路同时输出总压 测点A 及静压 测点B 接到同一个U形管上 也可以直接读出动压头v2 2g 根据毕托管所测风速及毕托管在管道截面的安放位置 可以计算出流量 若气流密度 1与液体的密度 2不同 故 例3 5 图3 17所示为测量风机流量常用的集流管试验装置示意图 已知其内径D 0 3m 空气重度 a 12 6N m3 由装在管壁下边的U形测压管 内装水 测得 h 0 25m 问此风机的风量Q为若干 解 因流速不高 且集流管不长 能量损失可以忽略 同时 可视为不可压缩无粘性流体 选水平基准面O O 过风断面1 1及2 2如图所示 并假定单位质量流体自A点流到B点 zA zB 0 p1 pA pa p2 pB pC pa h 为水的重度9800N m3 pa为环境气压 自过风断面1 1到2 2 由A到B点 列出无粘性流体的总流伯努利方程为 因为由此得故风量 例3 5 某工厂自高位水池引出一条供水管路AB 如图3 19所示 已知流量Q 0 034m3 s 管径D 15cm 压力表读数pB 4 9N cm2 高度H 20m 问水流在管路AB中损失了若干水头 解 选取水平基准面O O 过水断面1 1 2 2 如图所示 设单位质量的水自断面1 1的水面沿管路AB流到B点 则可列出伯努利方程 因为 图3 19供水管路 上述各值代人伯努利方程 得 例3 6 在图3 20所示的虹吸管中 已知H1 2m H2 6m 管径D 15mm 如不计损失 问S处的压强应为多大时此管才能吸水 此管内流速v2及流量Q为若干 注意 管B端并未接触水面或探入水中 解 选取过水断面1 1 2 2及水平基准面O O 列1 1面 水面 到2 2面的伯努利方程 即 A 再选取水平基准面O O 列过水断面2 2及3 3的伯努利方程 图3 20虹吸管 即 B 因 由式 得代入式 得故 第七节稳定流的动量方程及其应用 一 稳定流动的动量方程 对右图总流中任一微元流束段1 2 过水断面分别为1 1和2 2 p1 p2分别为作用在1 1 2 2面上的压力 v1 v2分别表示流经两面时的速度 经dt后流束段1 2运动到1 2 流束段的动量因而发生变化 动量变化为 因为是稳定流 dt时间内流过流束段1 2 阴影部分 的流体动量无变化 稳定流的动量方程及其应用 将上式推广到总流中得 因断面速度分布难以确定 工程中常常以平均速度来表示动量 式中 称为动量修正系数 此即不可压缩流体稳定流动总流的动量方程 一般地取 1 2 1 上式为 根据稳定流的连续性条件 稳定流的动量方程及其应用 F为作用于流体上所有外力的合力 包括流束段的重力G 过水断面上的压力p1A1 p2A2 以及其它边界上所受到的总表面力Rw 即F G Rw p1A1 p2A2 其物理意义为 作用在所研究流体上的外力总和等于单位时间内流出与流入的动量之差 为便于计算 常写成空间坐标的投影形式 即 动量方程的应用 一 液流对弯管壁的作用力 在图示的渐缩弯管中 流体以速度v1流入1 1断面 从2 2断面以速度v2流出 求流体对弯管的作用力 解 以弯管中的流体为分离体 其重力为G 弯管对分离体的作用力为R 取图示的坐标系 在X轴 Z轴建立动量方程 动量方程的应动量方程的应用 动量方程的应用 二 射流对固体壁的冲击力 注意 在此例中重力的作用可以不考虑 动量方程的应用 三 射流的反推力 例题 喷水推进船 动量方程的应用 例3 7 在直径D 80mm的水平管路末端 接上一个出口直径为d 40mm的喷嘴 参看图3 25 管路中水的流量为Q 1m3 min 问喷嘴和管子接合处的纵向拉力为若干 设动量校正系数 和动能校正系数 都取值为1 图3 25水枪喷嘴 解因为 而 故 如取管轴线为水平基准面O O 过水断面为1 1 2 2 则可列出贝努利方程 由此得 因而 设喷嘴作用于液流的力沿x轴向的分力为Fx 则由式 3 79 可得出射流的动量方程为 由此可得 方向向左 即水沿x轴向作用于喷嘴的力为244 3N 方向向右 所以喷嘴和管子结合处所受的纵向拉力为244 3N 第三章小结 一 基本概念 1 迹线 流场中流体质点运动的轨迹线 2 流线 某一瞬时 流场中连续的不同位置质点流动方向线 是流场中某一瞬时的一条空间曲线 在该线上各点的流体质点所具有的速度方向与曲线在该点的切线方向重合 3 流束 充满在流管中的液流称为流束 流束的极限是一条流线 无数流束就构成总流 4 有效断面 过水断面 即水道 管道 明渠等 中垂直于水流流动方向的横断面 即与流束或总流的流线成正交的横断面 第三章小结 5 平均流速 由通过过水断面的流量Q除以过水断面的面积A而得的流速称为断面平均流速 6 缓 渐 变流 水流的流线几乎是平行直线的流动 或者虽有弯曲但曲率半径又很大的流体流动 则可视为渐变流 渐变流的极限是均匀流 渐变流同一过水断面上的动水压强分布规律同静水压强 即z1 p1 g 常数 7 动能 动量 修正系数 指按实际流速分布计算的动能 动量 与按断面平均流速计算的动能 动量 的比值 它们的值均大于1 0 且取决于总流过水断面的流速分布 分布越均匀 其值越小 越接近于1 0 一般工程计算中常取1 0 第三章小结 二 恒定总流连续性方程 三 恒定总流能量方程 伯努利方程 1 能量方程 伯努利方程 能量方程 伯努利方程 的几何意义和物理意义 不可压缩流体无分叉流时 v1A1 2A2 即Q1 Q2 即任意断面间断面平均流速的大小与过水断面面积成反比 第三章小结 2 能量方程的应用条件 1 恒定流 2 不可压缩流体 3 质量力只有重力 4 所选取的两过水断面必须是缓 渐 变流断面 但两过水断面间可以是急变流 5 总流的流量沿程不变 6 两过水断面间除了水头损失以外 总流没有能量的输入或输出 第三章小结 3 应用能量方程时的注意事项 1 沿流动方向在渐变流处取过水断面列能量方程 2 基准面原则上可任取 但应尽量使各断面的位置水头为正 3 在同一问题上必须采用相同的压强标准 一般均采用相对压强 而当某断面有可能出现真空时 尽量采用绝对压强 4 由于z p g 常数 所以计算点在断面上可任取