机械控制理论基础课件第2章拉普拉斯变换.ppt

第二章拉普拉斯变换的数学方法 拉普拉斯 Laplace 变换 时域的微分方程复数域的代数方程优点 1 用图解法预测系统性能 2 解微分方程时 可同时获得解的瞬态分量和稳态分量 二 拉氏变换与拉氏反变换的定义 三 典型时间函数的拉氏变换 四 拉氏变换的性质 五 拉氏反变换的数学方法 第二章拉普拉斯变换的数学方法 六 用拉氏变换解常微分方程 一 复数和复变函数 第二章拉普拉斯变换的数学方法 1 复数的概念 对虚数单位的规定 第二章拉普拉斯变换的数学方法 复数的定义 第二章拉普拉斯变换的数学方法 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等 复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0 说明两个数如果都是实数 可以比较它们的大小 如果不全是实数 就不能比较大小 也就是说 复数不能比较大小 共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数 第二章拉普拉斯变换的数学方法 复数的表示方法 复平面的定义 第二章拉普拉斯变换的数学方法 复数的向量表示法 复数的模 显然下列各式成立 第二章拉普拉斯变换的数学方法 复数的辐角 第二章拉普拉斯变换的数学方法 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 复数的三角表示和指数表示 第二章拉普拉斯变换的数学方法 2 复变函数的概念 拉氏变换的优点 可以用图解法预测系统的性能 而无须实际求解微分方程 解微分方程时 可以同时获得解的瞬态分量和稳态分量 第二章拉普拉斯变换的数学方法 设有时间函数f t 其中 则f t 的拉氏变换记作 规定 t 0 f t 0 L 拉氏变换符号 s 复变量 F s 象函数 f t 原函数在物理上可以实现的信号 总是具有相应的拉氏变换 第二章拉普拉斯变换的数学方法 将象函数F s 变换成与之相对应的原函数f t 的过程 第二章拉普拉斯变换的数学方法 第二章拉普拉斯变换的数学方法 2 单位脉冲函数 第二章拉普拉斯变换的数学方法 第二章拉普拉斯变换的数学方法 第二章拉普拉斯变换的数学方法 5 正弦函数sinwt 第二章拉普拉斯变换的数学方法 第二章拉普拉斯变换的数学方法 线性性质 若有常数k1 k2 函数f1 t f2 t 且f1 t f2 t 的拉氏变换为F1 s F2 s 则有 此式可由定义证明 第二章拉普拉斯变换的数学方法 实数域的位移定理 第二章拉普拉斯变换的数学方法 复数域的位移定理 若f t 的拉氏变换为F s 对于任一常数a 有 第二章拉普拉斯变换的数学方法 微分定理 设f t 的拉氏变换为F s 则其中f 0 由正向使时的f t 值 第二章拉普拉斯变换的数学方法 积分定理 设f t 的拉氏变换为F s 则其中时的值 第二章拉普拉斯变换的数学方法 初值定理 设f t 的拉氏变换为F s 则函数f t 的初值定理表示为 证明技巧 可利用微分定理来进行证明 第二章拉普拉斯变换的数学方法 终值定理 第二章拉普拉斯变换的数学方法 卷积定理 设f t 的拉氏变换为F s g t 的拉氏变换为G s 则有式中 称为f t 与g t 的卷积 第二章拉普拉斯变换的数学方法 第二章拉普拉斯变换的数学方法 对于象函数F s 常可写成如下形式 式中 p1 p2 pn称为F s 的极点 z1 z2 zm称为F s 的零点 第二章拉普拉斯变换的数学方法 F s 总能展开成下面的部分分式之和 其中 分子为待定系数 1 F s 无重极点的情况 第二章拉普拉斯变换的数学方法 解一 求F s 的拉氏变换 例 解二 第二章拉普拉斯变换的数学方法 设F s 有r个重极点p1 其余