最新人教版八年级数学下册第一章二次根式的知识点汇总

人教版初中数学 1 二次根式的知识点汇总二次根式的知识点汇总 知识点一 知识点一 二次根式的概念二次根式的概念 形如 的式子叫做二次根式 注 在二次根式中 被开放数可以是数 也可以是单项式 多项式 分式等代数式 但必须注意 因 为负数没有平方根 所以是为二次根式的前提条件 如 等是二次根 式 而 等都不是二次根式 例 1 下列式子 哪些是二次根式 哪些不是二次根式 2 3 3 1 x x x 0 0 4 2 2 1 xy xy x 0 y 0 分析 二次根式应满足两个条件 第一 有二次根号 第二 被开方数是正数或 0 知识点二 取值范围知识点二 取值范围 1 二次根式有意义的条件 由二次根式的意义可知 当 a 0 时 有意义 是二次根式 所 以要使二次根式有意义 只要使被开方数大于或等于零即可 2 二次根式无意义的条件 因负数没有算术平方根 所以当 a 0 时 没有意义 例 2 当 x 是多少时 31x 在实数范围内有意义 例 3 当 x 是多少时 23x 1 1x 在实数范围内有意义 知识点三 二次根式知识点三 二次根式 的非负性 的非负性 表示 a 的算术平方根 也就是说 是一个非负数 即 0 0 注 因为二次根式 表示 a 的算术平方根 而正数的算术平方根是正数 0 的算术平方根是 0 所以非负数 的算术平方根是非负数 即0 这个性质也就是非负数的算术 人教版初中数学 2 平方根的性质 和绝对值 偶次方类似 这个性质在解答题目时应用较多 如若 则 a 0 b 0 若 则 a 0 b 0 若 则 a 0 b 0 例 4 1 已知 y 2x 2x 5 求 x y 的值 2 若1a 1b 0 求 a2004 b2004的值 知识点四 二次根式 知识点四 二次根式 的性质的性质 文字语言叙述为 一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数 注 二次根式的性质公式 是逆用平方根的定义得出的结论 上面的公式也可以反过 来应用 若 则 如 例 1 计算 1 3 2 2 2 3 5 2 3 5 6 2 4 7 2 2 例 2 在实数范围内分解下列因式 1 x2 3 2 x4 4 3 2x2 3 知识点五 二次根式的性质知识点五 二次根式的性质 文字语言叙述为 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 注 1 化简时 一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数 若是正数或 0 则等于 a 本身 即 若 a 是负数 则等于 a 的相反数 a 即 2 中的 a 的取值范围可以是任意实数 即不论 a 取何值 一定有意义 人教版初中数学 3 3 化简时 先将它化成 再根据绝对值的意义来进行化简 例例 1 化简 1 9 2 2 4 3 25 4 2 3 例例 2 填空 当 a 0 时 2 a 当 aa 则 a 是什 么数 例例 3 当 x 2 化简 2 2 x 2 1 2 x 知识点六 知识点六 与与的异同点的异同点 1 不同点 与表示的意义是不同的 表示一个正数 a 的算术平方根的平方 而表 示一个实数 a 的平方的算术平方根 在中 而中 a 可以是正实数 0 负实数 但 与都是非负数 即 因而它的运算的结果是有差别的 而 2 相同点 当被开方数都是非负数 即时 时 无意义 而 知识点七 二次根式的乘除知识点七 二次根式的乘除 1 乘法 a 0 b 0 反过来 a 0 b 0 ab ab ab ab 2 除法 a 0 b 0 反过来 a 0 b 0 a b a b a b a b 思考 b 的取值与 a 相同吗 为什么 不相同 因为 b 在分母 所以不能为 0 例 1 计算 1 4 5 7 2 1 3 9 3 9 27 4 1 2 6 例 2 化简 1 9 16 2 16 81 3 22 9x y 4 54 例 3 判断下列各式是否正确 不正确的请予以改正 1 4 9 49 人教版初中数学 4 2 12 4 25 25 4 12 25 25 4 12 25 25 412 8 3 例 4 计算 1 12 3 2 31 28 3 11 416 4 64 8 例 5 化简 1 3 64 2 2 2 64 9 b a 3 2 9 64 x y 4 2 5 169 x y 例 6 已知 99 66 xx xx 且 x 为偶数 求 1 x 2 2 54 1 xx x 的值 3 最简二次根式应满足的条件 1 被开方数不含不含分母或分母中不含二次根式 2 被开方数中不含不含开得尽方的因数或因式 熟记 20 以内数的平方 因数或因式间是乘积的关系 当被开方数是整式时要先判断是否能够分解 因式 然后再观察各个因式的指数是否是 2 或 2 的倍数 若是则说明含有能开方的因式 则不满足 条件 就不是最简二次根式 例例 1 把下列二次根式化为最简二次根式 1 5 3 12 2 2442 x yx y 3 23 8x y 4 化简最简二次根式的方法 1 把被开方数 或根号下的代数式 化成积的形式 即分解因式 2 化去根号内的分母 或分母中的根号 即分母有理化 3 将根号内能开得尽方的因数 或因式 开出来 此步需要特别注意的是 开到根号外的时候要带 绝对值 注意符号问题 5 有理化因式 一般常见的互为有理化因式有如下几类 与 与 与 与 说明 利用有理化因式的特点可以将分母有理化 13 同类二次根式 被开方数相同的 最简 二次根式叫同类二次根式 判断是否是同类二次根式时务必务必将各个根式都化为最简二次根式 如 8 与 18 知识点八 二次根式的加减知识点八 二次根式的加减 1 二次根式的加减法 先把各个二次根式化为最简二次根式 再把被开方数相同的二次根式 即同类 二次根式 进行合并 合并方法为 将系数相加减 二次根式部分不变 不能合并的直接抄下来 例 1 计算 1 8 18 2 16x 64x 分析 第一步 将不是最简二次根式的项化为最简二次根式 第二步 将相同的最简二次根式进 行合并 解 1 8 18 22 32 2 3 2 52 人教版初中数学 5 2 16x 64x 4x 8x 4 8 x 12x 例 2 计算 1 348 9 1 3 312 2 48 20 12 5 例 3 已知 4x2 y2 4x 6y 10 0 求 2 9