条件概率、乘法公式、全概率公式.ppt

第一章随机事件及其概率 第三讲条件概率 乘法公式 全概率公式 概率论与数理统计 课程教学团队 第三讲条件概率 乘法公式 全概率公式 一 条件概率二 乘法公式三 全概率公式四 小结 一 条件概率 问题的提出 1 10个人摸彩 有3张中彩 问 第1个人中彩的概率为多少 第2个人中彩的概率为多少 2 10个人摸彩 有3张中彩 问 已知第1个人没摸中 第2个人中彩的概率为多少 引例10个产品中有7个正品 3个次品 从中不放回地抽取两个 已知第一个取到次品 求第二个又取到次品的概率 则P B 3 2 3 9 2 9 解 设A 第一个取到次品 则A为样本空间 B 两个都取到次品 利用等概率公式 定义1对于事件A B 若P B 0 则称P A B P AB P B 为在B出现的条件下 A出现的条件概率 注 若B已发生 为使A也发生 则此样本点必属于AB B成为了新的样本空间 容易验证 条件概率满足以下性质 1 对于事件A 有0 P A B 1 2 对于必然事件S 有P S B 1 3 若事件A1 A2 An 两两互不相容 则有P A1 A2 An B P A1 B P A2 B P An B 1 用定义 P A B P AB P B 2 减缩样本空间 将S减缩为S B 在B中计算A的概率 计算条件概率P A B 的方法 例1掷两颗骰子 记B 两颗骰子点数相等 A 两颗骰子点数之和为4 求P A B 解 样本空间S 1 1 1 2 1 6 2 1 2 6 6 6 B 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 A 1 3 2 2 3 1 AB 2 2 于是P A B P AB P B 1 36 6 36 1 6 另解 减缩样本空间S B 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 而B中只有一个样本点 2 2 属于A 所以P A B 1 6 则P B A P AB P A 7 30 3 10 7 9 例210个产品中有7个正品 3个次品 从中不放回地抽取两个 已知第一个取到次品 求第二个取到正品的概率 解 设A 第一个取到次品 B 第二个取到正品 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 条件概率的三大公式 二 乘法公式 概率的乘法定理 1 若P B 0 则P AB P A B P B 若P A 0 则P AB P B A P A 2 若P A1A2 0 则P A1A2A3 P A3 A1A2 P A1A2 P A3 A1A2 P A2 A1 P A1 乘法公式的应用 乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率 例3一批零件100个 其中10个不合格品 从中一个一个不返回取出 求第三次才取出不合格品的概率 解 记Ai 第i次取出的是不合格品 Bi 第i次取出的是合格品 依题意 P B1B2A3 P B1 P B2 B1 P A3 B1B2 90 100 89 99 10 98 0 0825 三 全概率公式 定义2设S是样本空间 B1 B2 Bn为一组事件 若BiBj i j i j 1 2 n 且B1 B2 Bn S 则称事件组B1 B2 Bn为S的一个划分 或称完备事件组 特别地 事件A与其对立事件构成一个完备事件组 引例 一箱中混装有3个厂生产的同类产品 知 任取1件 求取到次品的概率 A S A1 A2 A3 1厂占有1 2 次品率为2 2厂占有1 4 次品率为2 3厂占有1 4 次品率为4 定理设S是样本空间 事件组B1 B2 Bn为S的一个划分 且P Bi 0 A为一事件 则有P A P A B1 P B1 P A B2 P B2 P A Bn P Bn 并且称此式为全概率公式 证明 由A AS A B1 B2 Bn AB1 AB2 ABn 由假设进而得到P A P AB1 P AB2 P ABn P A B1 P B1 P A B2 P B2 P A Bn P Bn 注 全概率公式用于求复杂事件的概率 全概率公式是求 最后结果 的概率 使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来 分割 样本空间 全概率公式最简单的形式 例4设10件产品中有3件不合格品 从中不放回地取两次 每次一件 求取出的第二件为不合格品的概率 解 设B 第一次取得不合格品 A 第二次取得不合格品 由全概率公式得 3 10 2 9 7 10 3 9 3 10 例5三个电池生产车间A1 A2 A3同时普通电池和高性能电池 一小时总产量为600只 各车间产量如下表 车间普通电池高性能电池共计产量A1200100300A250150200A35050100 随机抽取一只电池 求它是高性能电池的概率 解 以H表示高性能电池 易知车间A1 A2 A3是S的一个划分 且有P A1 300 600 1 2 P A2 200 600 1 3 P A3 100 600 1 6 又P H A1 100 300 1 3 P H A2 150 200 3 4 P H A3 50 100 1 2 由全概率公式得P H P H A1 P A1 P H A2 P A2 P H A3 P A3 1 2 例 一箱中混装有3个厂生产的同类产品 知 任取1件 求取到次品的概率 A S A1 A2 A3 解 取到产品属于k厂 设A 取到次品 1厂占有1 2 次品率为2 2厂占有1 4 次品率为2 3厂占有1 4 次品率为4 设 称A1A2A3是S的1个3划分 A S A1 A2 A3 例 一个盒子中有6只白球 4只黑球 从中不放回地每次任取1只 连取3次 求第三次才取得白球的概率 易知 例 袋中装有两个红球和三个白球 从中依次取出两个 不放回 求两个都是红球的概率 解 设A1 第一次取得红球 A2 第二次取得红球 P A1A2 P A1 P A2 A1 2 5 1 4 0 1或者用古典概型求解 练习 设某光学仪器厂制造的透镜 第一次落下时打破的概率为1 2 若第一次落下未打破 第二次落下时打破的概率为7 10 若前二次落下未打破 第三次落下时打破的概率为9 10 试求透镜落下三次而未打破的概率 解法1 设Ai 透镜第i次落下未打破 i 1 2 3 B 透镜落下三次而未打破 则B A1A2A3 故有P B P A1A2A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 1 1 2 1 7 10 1 9 10 3 200 例 设某光学仪器厂制造的透镜 第一次落下时打破的