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1 3函数的基本性质 点此播放讲课视频 点此播放动画视频 1 3 1单调性与最大 小 值 点此播放讲课视频 请观察函数y x2与y x3图象 回答下列问题 1 当x 0 x增大时 图 1 中的y值 图 2 中的y值 2 当x 0 x增大时 图 1 中的y值 图 2 中的y值 增大 增大 增大 减小 3 分别指出图 1 图 2 中 当x 0 和x 0 时 函数图象是上升的还是下降的 4 通过前面的讨论 你发现了什么 结论 若一个函数在某个区间内图象是上升的 则函数值y随x的增大而增大 反之亦真 若一个函数在某个区间内图象是下降的 则函数值y随x的增大而减小 反之亦真 观察下列图象 想一想 怎样给增函数和减函数下定义 设函数f x 的定义域为I 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是增函数 一 增函数 如果函数y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这个区间具有 严格的 单调性 这一区间叫做y f x 的单调区间 设函数f x 的定义域为I 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 二 减函数 三 单调性与单调区间 请问 在单调区间上增函数的图象是 减函数的图象是 填 上升的 或 下降的 上升的 下降的 想一想 如何从一个函数的图象来判断这个函数在定义域内的某个单调区间上是增函数还是减函数 如果这个函数在某个单调区间上的图象是上升的 那么它在这个单调区间上就是增函数 如果图象是下降的 那么它在这个单调区间上就是减函数 例1 下图是定义在闭区间 5 5 上的函数y f x 的图象 根据图象说出y f x 的单调区间 以及在每个单调区间上 y f x 是增函数还是减函数 解 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 分析 按题意 只要证明函数在区间上是减函数即可 点此播放讲课视频 探究 画出反比例函数的图象 1 这个函数的定义域I是什么 2 它在定义域I上的单调性是怎样的 证明你的结论 通过观察图象 先对函数是否具有某种性质做出猜想 然后通过逻辑推理 证明这种猜想的正确性 是研究函数性质的一种常用方法 图象上有一个最低点 0 0 即对于任意的 都有 图象没有最低点 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于任意的 都有 2 存在 使得那么 我们称M是函数y f x 的最大值 maximumvalue 四 函数的最大值 你能给出函数最小值的定义吗 例1 菊花 烟花是最壮观的烟花之一 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂 如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少 精确到1m 分析 由函数的图象可知 函数在区间 2 6 上递减 所以 函数在区间 2 6 的两个端点上分别取得最大值和最小值 一 创设情景 揭示课题 画出下列函数的图象 指出图象的最高点或最低点 并说明它能体现函数的什么特征 1 函数最大 小 值定义 最大值 一般地 设函数的定义域为I如果存在实数M满足 1 对于任意的 都有 2 存在 使得 那么 称M是函数的最大值 思考 依照函数最大值的定义 结出函数的最小值的定义 注意 函数最大 小 首先应该是某一个函数值 即存在 使得 函数最大 小 应该是所有函数值中最大 小 的 即对于任意的 都有 2 利用函数单调性来判断函数最大 小 值的方法 配方法 换元法 数形结合法 例1 菊花 烟花是最壮观的烟花之一 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂 如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少 精确到1m 例2 将进货单价40元的商品按50元一个售出时 能卖出500个 若此商品每个涨价1元 其销售量减少10个 为了赚到最大利润 售价应定为多少 解 设利润为元 每个售价为元 则每个涨 50 元 从而销售量减少 100 答 为了赚取最大利润 售价应定为70元 例3 求函数在区间 2 6 上的最大值和最小值 例4 求函数的最大值 函数的基本性质 复习课 1 函数的单调性 1 单调函数的定义设函数f x 的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 若 则f x 在区间D上是增函数 若 则f x 在区间D上是减函数 基础知识梳理 f x1 f x2 f x1 f x2 2 单调区间的定义若函数f x 在区间D上是或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做f x 的单调区间 基础知识梳理 增函数 减函数 区间D 基础知识梳理 思考 1 单调区间与函数定义域有何关系 思考 提示 单调区间是定义域的子区间 2 函数的最值 1 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M 满足 对于任意的x I 都有 存在x0 I 使得 则称M是f x 的最大值 基础知识梳理 f x M f x0 M 点此播放讲课视频 2 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M 满足 对于任意的x I 都有 存在x0 I 使得 则称M是f x 的最小值 基础知识梳理 f x M f x0 M 点此播放讲课视频 基础知识梳理 思考 2 函数的最值与函数值域有何关系 思考 提示 函数的最值与函数的值域是关联的 求出了闭区间上连续函数的值域也就有了函数的最值 但只有了函数的最大 小 值 未必能求出函数的值域 3 函数的奇偶性 基础知识梳理 y轴 原点 基础知识梳理 思考 3 奇偶函数的定义域有何特点 思考 提示 若函数f x 具有奇偶性 则f x 的定义域关于原点对称 反之 若函数的定义域不关于原点对称 则该函数无奇偶性 4 奇偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 填 相同 相反 基础知识梳理 相同 相反 2 在公共定义域内 两个奇函数的和是 两个奇函数的积是 两个偶函数的和 积是 一个奇函数 一个偶函数的积是 基础知识梳理 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 1 在 0 上是减函数的是 答案 D 三基能力强化 2 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值是 三基能力强化 答案 B 3 教材习题改编 函数f x x2 2x x a2 1 4 的最大值为 答案 8 三基能力强化 函数的单调性用以揭示随着自变量的增大 函数值的增大与减小的规律 在定义区间上任取x1 x2 且x1f x2 这一过程就是实施不等式的变换过程 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例1求证 函数f x 1在区间 0 上是单调增函数 思路点拨 利用定义进行判断 主要判定f x2 f x1 的正负 证明 任取x1 x2 0 则f x2 f x1 1 1 因为x1 x2 0 所以x1x2 0 x2 x1 0 所以 0 即f x2 f x1 0 所以f x2 f x1 故f x 在 0 上是单调增函数 规律小结 用定义证明函数单调性的一般步骤 1 取值 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 2 作差 即f x2 f x1 或f x1 f x2 并通过通分 配方 因式分解等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 课堂互动讲练 3 定号 根据给定的区间和x2 x1的符号 确定差f x2 f x1 或f x1 f x2 的符号 当符号不确定时 可以进行分类讨论 4 判断 根据定义得出结论 课堂互动讲练 课堂互动讲练 练习 证明函数是增函数 判断函数的奇偶性 应该首先分析函数的定义域 在分析时 不要把函数化简 而要根据原来的结构去求解定义域 如果定义域不关于原点对称 则一定是非奇非偶函数 课堂互动讲练 课堂互动讲练 思路点拨 可从定义域入手 在定义域关于原点对称情况下 考查f x 与f x 的关系 课堂互动讲练 故f x 为非奇非偶函数 3 当x0 则f x x 2 x x2 x