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信号与线性系统 课件 二OO四年八月 第一章绪论 一 信号1 定义 信号 随时间变化的物理量 电信号 随时间变化的电量 信号 函数2 分类 实验室信号 确定信号 函数值与时间有相应的关系 实际信号 随机信号 函数值与时间有不确定性 但已知概率 模拟信号 连续信号 随时间连续变化的信号 数字信号 离散信号 断续变化 周期信号 重复变化的信号 非周期信号 能量信号 总能量为有限值 平均功率为0 功率信号 平均功率为有限值 总能量为 周期信号都是功率信号 非周期信号可能是能量信号 也可能是功率信号 3 分析方法 时域分析法 频域分析法 二 系统1 定义 广义 是一个由若干互有关联的单元组成的具有某种功能以用来达到某些特定目的的有机整体 狭义 电子系统是各种不同复杂程度的用作信号传输与处理的元件或部件的组合体 通俗 系统是规模更大 更复杂的电路 2 分类 线性系统 由线性元件组成的系统 非线性系统 由非线性元件组成的系统 线性系统 线性系统具有 齐次性 叠加性激励e t 响应y t 齐次性ke t ky t 叠加性e1 t e2 t y1 t y2 t e1 t e2 t y1 t y2 t 线性系统 k1e1 t k2e2 t k1y1 t k2y2 t 非时变系统 含有参数不随时间变化的元件组成的系统 如R L C时变系统 如变容二极管 e t y t e t t0 y t t0 线性时不变系统 k1e1 t t1 k2e2 t t2 k1y1 t t1 k2y2 t t2 连续时间系统 传输 处理连续信号 离散时间系统 传输 处理离散信号 集总参数系统 分布参数系统 本课程研究的系统是 集总参数线性非时变连续时间系统离散时间系统 3 分析方法 系统分析步骤 建模分析物理解释 1 时域分析法 求解微分方程 连续信号 差分方程 离散信号 古典时域法 全解 通解 特解近代时域法 全响应 零输入响应 零状态响应卷积积分法 解齐次方程 解非齐次方程 y t yzi t yzs t 2 变域法 连续信号频域分析法 傅里叶变换 复频域分析法 拉普拉斯变换 离散信号Z域分析法 Z变换 频域分析法 离散傅立叶变换 第二章连续时间系统的时域分析 2 2系统方程的算子表示法一般式 pn an 1pn 1 a1p a0 y t bmpm bm 1pm 1 b1p b0 e t 令 D P pn an 1pn 1 a1p a0N P bmpm bm 1pm 1 b1p b0所以转移算子 H P 齐次方程为D p y t 0非齐次方程为y t H p e t 2 3系统的零输入响应零输入响应 e t 0 响应由初始状态y 0 y 0 决定齐次方程 D p y t 0所以D p pn an 1pn 1 a1p a0 0讨论 1 一阶齐次方程 p y t 0p 0 为特征根解为y t Ce t C y 0 2 二阶齐次方程 p2 a1p a0 y t 0即 p 1 p 2 0 p 1 0 p 2 0解为y t C1e 1t C2e 2ty 0 C1 C2y 0 C1 1 C2 2 求出C1 C23 n阶齐次方程 p33 p34 4 重根的齐次方程 p ky t 0解为y t C0 C1t Ck 1tk 1 e t一般k 2y t C0 C1t e ty 0 C0y 0 C1 C0 求出C0 C1 例 在前RLC串联电路中 L 1H C 1F R 2 e 0 0 初始条件 1 i 0 0 i 0 1 2 i 0 0 Uc 0 10V 3 若R 1 i 0 0 i 0 1 分别求零输入响应i t e t c R L i t 2 4奇异函数奇异函数单位阶跃函数 t 单位冲激函数 t t 1 t 0 t 1 t 0 t 0 t0 t 0 t 0关系 d t dt t d t 0 1 t t 1 0 t t t dt 1 t f t dt f 0 t t1 f t dt f t1 t dt t t t 积分是斜变函数d t dt t t 的导数是冲激偶函数 t f t 0 t 0 t 1 1 2 5信号的时域分解1 几种特殊信号的分解举例 2 任意函数的分解表示成阶跃函数的积分 f t f 0 t f t d 表示成冲激函数的积分 f t f t d 分解成单位阶跃分量之和 f t t f 0 f1 t t f0 t 分解成冲激脉冲分量之和 f 0 f1 t f t t t 2 6冲激响应e t y t e t y t e t dt y t dt t h t t y t h t 的求法 1 y t H p e t h t H p t 线性时不变 线性时不变 t 讨论 1 当n m时h t t 其中h1 t t 解h1 t k1e 1t t 解重根解为h1 t k1te 1t t 所以h t kie it t 2 当n m时h t bm t kie it t 3 当n m时h t kie it t t 项 m n t 各阶导数2 pn an 1pn 1 a1p a0 h t t 即h n t an 1h n 1 t a1h t a0h t t 对上式两边在0 0 范围取积分h n t dt an 1h n 1 t dt a0h t dt 1 其中h n 1 0 h n 2 0 h 0 h 0 0h n 2 0 h 0 h 0 0h n 1 0 1对于二阶微分方程有h 0 1h 0 0例1 有微分方程y t 4y t 4y t e t 求此系统的冲激响应h t 例2若微分方程y t 4y t 4y t e t 3e t 求此系统的冲激响应h t 例3y t 4y t 4y t 2e t 9e t 11e t 再求此系统的冲激响应h t 例4已知电路如图所示 求h t e t 1 1 1H u t 1F 2 7叠加积分e t y t H p e t e t y t h t e t 卷积积分的数学表示式 y t e t h t h t e t e h t d 或 h e t d 卷积图解法 卷积表法 H p h t 卷积的图解 t t 2 卷积的数值计算 0 820 670 550 450 37 1 86 89 88 32 0 2 08 39 86 8 1 8 4 8 卷积的数值计算 E t h t 0 820 670 550 450 372 01 641 341 100 900 748 36 8065 5614 5653 7353 0719 88 0366 5665 394 443 626 85 5764 6233 743 062 516 1 8 1 476 1 2060 99 4 8 3 936 3 216 2 8卷积及其性质1 互换律 u t v t v t u t 2 分配律 u t v t w t u t v t u t w t 3 结合律 u t v t w t u t v t w t 4 卷积后的微分 u t v t u t v t 5 卷积后的积分 u x v x dt u t v x dx u x dx v t 推论 v x dx u t v t 举例 f t t f t t f t f t t f d d t dt f d t f d e t t t e d t e t 1 e t t t t d t t t t 6 延时后的卷积 若f1 t f2 t f t 则f1 t t1 f2 t t2 f t t1 t2 例 求f1 t t t1 t t2 t2 t1和f2 t e t t 的卷积 1 用微积分性质 2 用卷积表 2 9线性系统响应的时域求解y t yzi t yzs t 对y t H p e t H p yzi t Cje jt t h t H p t 解h t Kje jt t yzs t e t h t Kje jt e t y t yzi t yzs t Cje jt Kje jt e t 1 指数函数激励下系统的响应设e t est t 那么y t Cje jt Kje jt est零输入响应零状态响应 Cje jt est e jt Cj e jt 自然响应est受迫响应 自然响应 与激励信号无关受迫响应 与激励信号有关瞬态响应 t 响应y t 0稳态响应 t 响应y t 稳定零输入响应零状态响应 例 在RC电路中 R 1 C 1F e t 1 e 3t t uc 0 1v 求uc t Rc uc t e t uc t e t R e t uc t c 2 脉冲信号激励下RC电路的零状态响应设e t E t t 0 uc t e t h t e t RCuc t e t h t E 1 e t E 1 e t 0 0 E 0 t e t uR t e t uc t Ee t Ee t 0 令 Rc 讨论 与 0关系如下 3 梯形脉冲信号作用于系统e t t t 1 t 3 t 4 y t e t h t h t t h t 1 t 1 h t 3 t 3 h t 4 t 4 对y t 积分两次得y t 1 3 4 0 1 t e t e t 0 1 3 4 t 1 e t 0 1 3 4 t 第三章信号分析 3 2信号表示为正交函数集1 矢量的分解 C12A2 A1 A2 A1 A2 C12A2 A1 A2 C12A2 或标量C12A2 A1COS 两边同乘A2 A2 C12A2 A1COS A2 所以C12 又因为A2 所以C12 当C12 0时 正交 分别为x y轴上的单位矢量或 Ax AyAx Ay 其中 UyUyCOS0 1 UxUyCOS90 0 Ay Ax A Ux Uy 在三维空间中或 Ax Ay Az其中 1 0其中Ax Ay Az Ay Ax Az n维空间中 1 0 C1 C2 Cr Cn其中Cr 一般情况下非单位矢量用V矢量表示所以 Km 0 C1 C2 Cr CnCr 2 信号的分解 解 f1 t c12f2 t 2dt 0 f1 t f2 t 正交 构成正交函数集例 f1 t f2 t n维正交函数空间设g1 t g2 t gn t 为正交函数那么 3 复变函数的分解n维正交复变函数空间设g1 t g2 t gn t 为正交函数 gi t gi t dt kigj t gi t dt 0 f t gr t dt三角函数集复指数函数集 3 3信号表示为傅里叶级数周期信号在正交函数集里可用傅里叶级数分析法分三角傅里叶级数指数傅里叶级数另外在正交函数集里还有沃尔什函数 勒让德函数等 1 三角傅里叶级数完备三角函数集为1 cos t cos 2 t cos n t sin t sin 2 t sin n t cos2 n t dt sin2 n t dt 1cos2 n t dt 其中 T 2 sin m t cos n t dt 0sin m t sin n t dt cos m t cos n t dt 0 m n f t a1cos t a2cos 2 t ancos n t b1sin t b2sin 2 t bnsin n t 其中 Ancos n t n 振幅An 是偶函数相位 n arctg是奇函数 当然f t 要分解还需要满足狄利克莱条件 在一个周期内只有有限个间断点 在一个周期内有有限个极值点 在一个周期内函数绝对可积 即一般周期信号都满足这些条件 例频谱图 1 1 t f t T 2 T An A1 A3 A5 A7 f1 t sin t f2 t sin t sin 3 t f3 t sin t sin 3 t sin 5 t t f1 t t f2 t t f3 t 2 指数傅里叶级数指数函数集为e jn t e j2 t e j t 1 ej t ej2 t ejn tejn t e jn tdt dt Tejm t e jn tdt 0 m n f t C0 C1ej t C2ej2 t Cnejn t C 1e j t C 2e j2 t C ne jn t Cnejn t 三角傅里叶级数有f t Ancos n t n ej n t n e j n t n Anej n t n Anejn t所以An 2Cn f t e jn tdt 3 函数的奇偶性质及其与谐波领含量的关系偶函数 f t f t 奇函数 f t f t 特性 1 偶函数以纵轴对称 奇函数以原点对称 2 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 3 对偶函数有f t dt 2f t dt对奇函数有f t dt 0 4 当f t 为偶函数时 an 0 bn 0an f t cos n t dtf t 只含直流分量和余弦分量 不含正弦分量 当f t 为奇函数时 an 0 bn 0bn f t sin n t dtf t 只含正弦分量 不含直流分量和余弦分量 举例 T 2 E f t t T 2 2 T1 2 T1 f t t E 2 E 2 0 5 当移动坐标轴时 有的奇偶函数可以互相转变 6 对于一般非奇偶函数f t fe t fo t 偶函数奇函数其中fe t f t f t 2fo t f t f t 2然后分别求fe t fo t 的傅里叶级数 再相加 7 奇谐函数 f t f t 偶谐函数 f t f t 奇谐函数只含奇次谐波 不含偶次谐波 偶谐函数只含偶次谐波 不含奇次谐波 奇 偶谐函数和奇 偶函数之间的关系 奇谐函数奇函数非奇偶谐偶谐函数偶函数函数 3 4周期信号的频谱f t sin t sin 3 t sin 5 t 频谱图 特点 1 离散性 2 谐波性 3 收敛性 An 3 5 7 4 4 3 4 5 4 7 例 an Sa n 2 即An Sa n 2 T A t 2 2 f t An 0 f t t A T 讨论 1 令T 5 5 2 10 4 2 当 不变 T 10 10 2 20 4 3 当T不变 T 10 10 4 An 5 10 10 20 10 20 2A 5 A 5 A 5 2 2 4 周期矩形的频谱变化规律 若T不变 在改变 的情况若 不变 在改变T时的情况 T 结论 2 当 不变 T谱线密集了振幅减小频宽B不变 3 当T不变 谱线线间隔不变振幅减小频宽B增大B定义 幅度下降到0 1所示宽度 或第一个过零点的宽度 结论 脉宽与频宽成反比 即时域收敛 频域波形发散 B大 举例说明 3 5非周期信号的频谱 当周期信号的周期T1无限大时 就演变成了非周期信号的单脉冲信号 频率也变成连续变量 频谱演变的定性观察 T 2 T 2 T 2 T 2 从周期信号FS推导非周期的FT 傅立叶的逆变换 傅立叶逆变换 从物理意义来讨论FT a F 是一个密度函数的概念 b F 是一个连续谱 c F 包含了从零到无限高频的所有频率分量 分量的频率不成谐波关系 上节讨论到当 不变 T 1 An越来越小 2 频谱越来越密集 成为连续频谱 AnF j 频谱密度函数周期信号有An f t e jn tdtf t ejn t令T 则 d n An f t e j tdtF j An f t e j tdt f t ejn tT d Tn f t lim ejn t lim ej t F j ej td F j ej td F j f t e j tdt傅里叶正变换f t F j ej td 傅里叶反变换 F j 是 的偶函数 F j 幅频特性 是 的奇函数 相频特性 F j F j ej 傅立叶变换存在的充分条件 用广义函数的概念 允许奇异函数也能满足上述条件 因而象阶跃 冲激一类函数也存在傅立叶变换 例 F j A Sa 特点 1 连续性 2 收敛性 3 频宽B和周期信号一样 t f t A 2 2 3 6常用信号频谱函数举例例1求单边指数信号f t e t t 的频谱函数 f t t 0 0 0 例2求双边指数信号f t e t 的频谱函数 f t 0 t 0 2 例3求冲激函数的频谱 即f t F j ej td ej td t 1 t 0 0 以 代 有ej td e j td 又ej td 2 t 12 1 0 t 0 例4求复指数函数f t ej ct的频谱函数 e j c tdt ej c tdt 2 c 2 F c 应用 cos ct ej ct e j ct c c sin ct ej ct e j ct j c c F c 例5求阶跃函数的频谱 u t 0 t 0 3 7傅里叶变换的性质1 线性特性如果f1 t F1 j f2 t F2 j 那么a1f1 t a2f2 t a1F1 j a2F2 j 2 延时特性如果f t F j 那么f t t0 F j e j t0 例 前面有f1 t F1 j A Sa f t f1 t 所以f t F j e j 2 A Sa t A f t 2 3 移频特性如果f t F j 那么f t ej ctF j j c cos ct ej ct e j ct cos ct c c sin ct ej ct e j ct sin ct j c c 频谱搬移技术 推论 t 1 j t cos ct c c c c t sin ct c c 4 尺度变换特性如果f t F j 那么f at F 当a 1时 f at 表示在时间轴上压缩了a倍 F 表示在频域中扩展a倍 结论 B k 脉宽与频宽成反比 当a 1时 f t F j f t e j tdt f t ej tdt 时域中的压缩等于频域中的扩展 f t 2 压缩 扩展 例 求符号函数sgnt 1t 0的频谱函数 1t 0sgnt t t 根据 t t sgnt 1 1 0 t sgnt F j 2 带有尺度变换的时移特性f at b F e j 例 f 6 2t f 2 t 3 F e j3 例 f 3 2t ej4tF e 5 奇偶特性e j t cos t jsin tF j f t e j tdt f t cos t dt jf t sin t dt如f t 为偶函数 f t sin t dt 0F j 2f t cos t dt R 如f t 为奇函数 f t cos tdt 0F j j2f t sin t dt jX 虚奇函数 6 对称特性如果f t F j 那么F jt 2 f F jt R t jX t 如果f t 为实偶函数 f f F jt 的实部R t 2 f 例 t 1 F 2 1 F t 即 如果f t 为虚奇函数 f f F jt 的虚部X t 2 f 例 sgnt F 2 sgn F t 即sgn 7 微分特性如果f t F j 那么j F j 推论 j nF j 如 t j 1 t 三角脉冲 E cos 2 1 sin2 4 三角脉冲的频谱 例 a t bf t A a t a b t a t f t A ab b a f t f t A b a t t 8 积分特性如果f t F j 那么f d F 0 F j 如果F 0 0 那么f d F j 9 频域的微分与积分特性如果f t F j 则 jtf t 即tf t j例 t t j j 如果f t F j 则F j d f 0 t 10 卷积定理如果f1 t F1 j f2 t F2 j 时域卷积 那么f1 t f2 t F1 j F2 j 频域卷积 f1 t f2 t F1 j F2 j 或 F1 j F2 j 2 f1 t f2 t 第四章连续时间系统的频谱分析 正变换反变换y t h t e t Y j H j E j h t e t y t H j E j Y j 4 2信号通过系统的频域分析方法分析步骤 1 将激励信号分解为正弦分量 即求输入信号的频谱函数 2 找出系统函数H j 3 求出每一频率分量的响应 即求输出响应的频谱函数 4 由输出的频域响应经傅里叶反变换得出时域的输出响应 例1有微分方程y t 2y t f t f t e t t 求y t 例2已知us t t 求 uc t i t R C uc t i t us t 例3已知f t 2 4cos t 4cos 2 t 求 系统响应 H j 2 2 10 5 2 4 3理想低通滤波器的冲激响应1 理想低通滤波器K j K j ej k ke j t0 1 幅频特性 通频带 co内 信号通过 传输系数为k 通频带 co外 信号不通过 为0 2 相频特性 k与 成线性比例 斜率为 t0 k k K j co 2 冲激响应f t t F j 1 k 1h t F 1 F j k j e j t0ej td ej t t0 d ej t t0 j t t0 sin co t t0 Sa co t t0 h t t0 t t t 0 0 3 阶跃响应 t 1 j k 1u t F 1 E j k j 1 j ej t t0 d sin t t0 d Si co t t 其中Six 为正弦积分函数 2 2 x Six t t 0 t u t 1 0 t0 由冲激响应和阶跃响应图可以看出 1 与激励比较响应出现时间上的滞后 2 响应的前沿是倾斜的 原因是滤除了较高的频率分量 如果 co增加 响应的前沿将陡峭 3 响应中出现的起伏振荡 是把滤波器理想化造成的 体现在t 0时 无激励就有响应 所以理想低通滤波器实际上是无法实现的 4 5调制与解调1 调制意义 1 使信号有效的发射 2 频分复用 定义 把低频信号载在高频信号上的过程 形成已调波信号 调制信号可以控制高频振荡的 1 幅度 2 频率 3 相位 调制信号 载波 调幅 调频 调相 已调波分为调幅波 调频波 调相波 调频和调相又叫调角 以上三种调制都属于模拟调制 另外还有脉冲调制 注意 调制的过程并不是把调制信号和载波相加 而是相乘 频谱体现出线性搬移 解调是调制的逆过程 2 调幅载波的振幅按调制信号变化 载波 uc t Ucmcos ct 调制信号 u t U mcos t 调幅波 uAm Ucm ku t cos ct Ucm 1 mcos t cos ct 调制系数m kU m Ucm 一般m 1 m 0 3 0 5m 1属于过调制 产生失真 波形图 ku Ucm cos ct uAm 3 调幅波的频谱和功率uAm Ucm 1 mcos t cos ct Ucmcos ct cos c t cos c t频谱图 下边频 上边频 Ucm mUcm 2 c c c B 功率 R 1 载波功率Pc Ucm2 边频功率Ps 2 2 m2Ucm2 m2Pc平均功率 1 m2 Pc最大功率Pmax 1 m 2Pc最小功率Pmin 1 m 2Pc当m 1时 PcPmax 4PcPs Pc 1 3 33 说明效率很低 例 已知调幅波u 100 30cos t 20cos 3 t cos ct 求 1 调幅系数 2 画出频谱图 3 这调幅波电压在1k 电阻上的Pc Ps Pmax解 1 m 0 5m1 0 3m2 0 2 2 3 Pc Ucm2 5wPs Pc m12 m22 Pc 0 09 0 04 2 5 0 325w 5 0 325 5 325w 6 Pmax 1 m 2Pc 1 0 5 25 11 25w 100 15 10 c c c 3 c c 3 声音的频率在300 3400Hz 普通调幅相邻两电台间隔约9KHz 由于载波分量中不含信息 又占有总功率的大部分 为了提高发射效率 可去掉载波信号 叫抑制载波传输 卫星通信 示意图 u uc uDSB 又由于上下边频对称 去掉载波和一个边频 叫单边频传输 军用 如果部分滤除载波和一个边频 叫残留边带传输 电视传输采用这种传输方式全电视信号频带为0 6MHz 我国规定的残留边带宽度是1 25MHz 再加上调频声音的频带 相邻两电视频道的间隔为8MHz 在解调过程中已调波频谱越全 解调设备越简单 对单边带解调设备要求很高 4 6频分复用与时分复用1 频分复用用于传输模拟信号把信道分成不同的频段 每一频段传送一路信号 达到同时传输多路信号的目的 接收端采用不同带通滤波器将各路信号分离 解调后得各路信号 2 时分复用用于传输数字信号由于脉冲已调制信号是离散的 这样在空余的时间间隔中去传输其它脉冲调制 信号 达到一段时间内传输多路信号 接收端用电子开关将信号分离 再通过解调恢复出原信号 时分复用系统实际上不是传输多路脉冲调制信号 而是把脉冲调制信号经量化编码的二进制数码进行传输 即传输的是脉冲编码调制 PCM 信号 4 8信号通过线性系统不失真的条件线性失真 信号中并没有产生新的频率分量 幅度失真 各频率分量衰减不同 相位失真 各频率分量相移不同 e t y t ke t to E j Y j kE j e j t 所以H j ke j t H j ej 不失真条件 1 H j 是一平行于x轴值为k的直线 2 是一过原点与 成正比的直线 满足不失真条件的实际电路多为纯电阻电路 实际中带宽虚线内满足不失真条件就可以了 H j k 第五章连续时间系统的复频域分析 复频域分析是频域分析的推广 复频域分析法以数学中拉普拉斯变换为依据 1 解决了信号必须绝对可积的限制 2 解决了傅立叶反变换中求解积分的困难 5 2拉普拉斯变换对不满足绝对可积条件的f t 乘以收敛因子e t 0 则F j f t e te j tdt f t e j tdt令s j 复频率F s f t e stdt双边拉普拉斯正变换复密度函数那么f t e t F j ej td f t F j e j td F s estds 反变换 F s f t e stdt为单边拉普拉斯变换 f t F s estds t 为单边拉普拉斯反变换 如果令 0 s j 成为傅氏变换 所以拉氏变换是傅氏变换的推广 傅氏变换是拉氏变换的特例 物理意义 在傅氏变换中f t F j ej td 一对正负 ej t可组成正弦波 幅度 F j d 为等幅振幅 与t变量无关 在拉氏变换中f t F s estds一对正负 ej t可组成正弦波 幅度 F s d e t 为变幅振幅 与t变量有关 s平面上示意波形 拉氏变换是把函数f t 在 定值范围里分解成无穷多个具有est形式的分量之和 5 3拉普拉斯变换的收敛区f t 乘以收敛因子e t并不一定都能满足绝对可积的条件 收敛区 f t e t满足绝对可积的 值范围 收敛条件 值范围的表达式 如 o j o 举例 1 t 在整个区域里收敛 即 0 2 t 要满足 t e t0为其收敛区 3 e t t e t e t0 即 为其收敛区 5 4常用函数的拉普拉斯变换1 t F s f t e stdt t e stdt 12 t F s f t e stdt e stdt 3 e t t F s f t e stdt e t e stdt e s tdt 4 cos t t cos t ej t e j t F s 5 sin t t sin t ej t e j t F s 6 e tcos t t e tcos t e j t e j t F s 7 e tsin t t e tsin t e j t e j t F s 8 tn t F s f t e stdt tne stdt e st tn 1e stdt tn 2e stdt t0e stdt 应用 n 0 tn t t n 1 tn t t t n 2 tn t t2 t 5 5拉普拉斯反变换方法部分分式展开法留数法1 部分分式展开法对于F s 1 m nF s 多项式 真分式如F s 3s 5 3s 53 t 5 t 2 m n 无重根 F s kn的求法 方法一 kn s sn F s S Sn方法二 kn S Sn 有重根 F s kn s s1 nF s S S1kn 1 s s1 nF s S S1 kk s s1 nF s S S1 实际应用多n 2 所以 k2 s s1 2F s S S1k1 s s1 2F s S S1对于真分式 单根的F s f t k1es t k2es t knesnt knesnt对于真分式 重根的F s n 2 f t k2tes t k1es t 另外变换时还要注意sin t cos t e tsin t e tcos t 的应用 例1 求F s 的原函数 解 F s 2 2 2 2 k1 s 1 6k2 s 3 2 5F s 2 t 3e t e t 例2 求F s 的原函数 解 F s e tcos 2t e tsin 2t e t cos 2t sin 2t t 例3 求F s 的原函数 解 F s k1 s 0 k2 s 3 k31 s 1 k32 s 1 s 1 F s e 3t t e t t 例4 求F s 的原函数 解 F s t sin 2t t 2 留数法留数定理 f t F s estds F s estds Resi 各极点留数之和 对于一阶极点Resn s sn F s est S Sn对于二阶极点Resn s sn 2F s est S Sn注意 留数法只能运用在真分式中 例5用留数法求F s 的原函数 解 一阶极点 s1 0 s2 3 二阶极点 s3 1 Res1 s s1 F s est S S1 est S 0 Res2 s s2 F s est S S2 est S 3 e 3t Res3 s s3 2F s est S S3 est s 1 est s 1 t e tf t e 3t t e t t 3 零极图零点 F s 中为0的s值 用o表示 极点 F s 中为 的s值 用表示 零极图 将F s 的全部零 极点绘在s平面内所得图 零极图反映了F s 的特性 由它可以确定相应的f t 函数及波形 注意 此处的F s 也必须为真分式 如 1 负实轴上的极点及个数 对应时间函数为e t te t t2e t等 正实轴上的极点及个数 对应时间函数为e t te t t2e t等 2 左半平面内的一对共轭极点 对应时间函数为e tsin t 或e tcos t 右半平面内的一对共轭极点 对应时间函数为e tsin t 或e tcos t 3 虚轴上的共轭极点及个数 对应时间函数为sin t 或cos t tsin t 或tcos t 5 6拉普拉斯变换的基本性质利用此性质可以使较复杂的拉氏变换求解变得简单 1 线性特性如果f1 t F1 s f2 t F2 s 那么a1f1 t a2f2 t a1F1 s a2F2 s 2 尺度变换如果f t F s 那么f at F s a a 0 例 2te 6t t 2t e 3 2t t 3 时间平移如果f t F s 那么f t t0 t t0 F s e st0 例 求单锯齿波的拉氏变换 f t t t T t t T t T E t T e sT e sT 1 e sT 1 sT t f t E T 对于有始周期函数f t f1 t f2 t f1 t f1 t T t T 根据f1 t F1 s F s F1 s F1 s e sT F1 s e 2sT F1 s 1 e sT e 2sT 1 e sT e 2sT 是等比递减数列 利用泰勒级数F s 例 求周期锯齿波的拉氏变换 f t t E t T E t 2T F s e sT e 2sT t f t E T 2T 3T 4 频率平移如果f t F s 那么f t es0tF s s0 例 2te 6t t 5 时域微分如果f t F s 那么sF s f 0 s2F s sf 0 f 0 上式多用于复频域分析 当f t 为有始函数 f 0 0 sF s s2F s 例 求e at t 导数的拉氏变换 解 选0 系统 e at 选0 系统 sF s f 0 1 6 时域积分如果f t F s 那么f d f d 对有始函数f d 7 复频域的微 积分如果f t F s 那么tf t F s ds例 2te 6t t 2 8 卷积定理如果f1 t F1 s f2 t F2 s 那么f1 t f2 t F1 s F2 s F1 s F2 s 2 j f1 t f2 t 卷积定理多用于复频域的分析 例 已知sin at 求的原函数 5 7线性系统的拉普拉斯变换分析法带有初始值的电感 电容的拉氏变换 uL t LL sIL s iL 0 所以UL s LsIL s LiL 0 电压源 L iL iL 0 uL Ls IL s LiL 0 UL s 两边同除以Ls IL s iL 0 sIL s iL 0 s电流源 Ls IL s iL 0 s UL s iC t CC sUC s uc 0 所以IC s CsUC s Cuc 0 电流源 c uC uC 0 IC s Cuc 0 UC s 1 Cs ic 两边同除以Cs UC s uc 0 sUC s uc 0 s电压源 uc 0 s 1 Cs IC s UC s 例1有微分方程y t 5y t 6y t e t 5e t 已知 e t e t t y 0 2 y 0 1求系统响应y t 解 方法一 时域法 p2 5p 6 y t 0 1 2 2 3yzi t c1e 2t c2e 3tc1 c2 2c1 7 2c1 3c2 1c2 5所以yzi t 7e 2t 5e 3t h t t t h t 3e 2t 2e 3tyzs t e t h t 3e 2t 2e 3t e t 3 e t e 2t e t e 3t 2e t 3e 2t e 3ty t 2e t 4e 2t 4e 3t t 方法二 变域法s2Y s sy 0 y 0 5sY s 5y 0 6Y s sE s 5E s s2 5s 6 Y s sy 0 y 0 5y 0 s 5 E s Y s Yzi s E s Yzs s Yzi s 7e 2t 5e 3tYzs s 2e t 3e 2t e 3t瞬态响应y t 2e t 4e 2t 4e 3t t 受迫响应自然响应 例2已知 L 1H C 2F R 1 求 H s H s L L C R R u1 t u2 t 例3已知 t 0时 s打开 求 i t u t 解 iL1 0 1 iL2 0 2 I s i t t U s 4 u t 4 t 2v i t s L1 L2 R1 R2 u t 2 s s 1 2s 4 2 1 1H 2H 例4已知 c1 1F c2 2F R 3 uc1 0 1v 设t 0s闭合 试求 通过c1的电流ic1 t 解 IC1 s ic1 t t e t 9 t ic1 t c1 uc1 0 s c2 R 1 s 1 s 1 2s 例5已知 e t 12v L 1H C 1F R1 3 R2 2 R3 1 t 0s闭合 求 y t 解 uc 0 6viL 0 2A e t R1 L C R2 S R3 y t 整理有 s2 4s 4 Y s Y s y t 3 2t 3 e 2t t 12 s 3 s 2 1 s 6 s 1 Y s 5 9双边拉普拉斯变换1 双边拉普拉斯变换对于f t fa t t fb t t Fd s Fa s Fb s fa t e stdt fb t e stdt下面是Fb s 的求法 1 令t 得fb 2 求fb 的拉普拉斯变换Fb p 3 令p s 得Fb s 实际上对任何函数Fb s Fa s 注意 Fd s 是否存在 要看它们是否有公共收敛区 有公共收敛区 Fd s 存在 无公共收敛区 Fd s 不存在 例 求f t e t 的双边拉普拉斯变换 Fb s 因为 0 有公共收敛区 所以Fd s 这道题如果 0 就没公共收敛区 Fd s 也不存在 2 双边拉普拉斯反变换注意极点的归属 即Fd s 的极点应分布于收敛区两侧 例 求Fd s 收敛区4 6的时间原函数 解 Fd s fa t e4t t fb t e6t t f t e4t t e6t t 如果收敛区 6 f t e4t e6t t 如果收敛区 4 f t e6t e4t t 3 双边信号作用下线性系统的响应例 已知激励信号f t e 4t t e 2t t 系统的冲激响应为h t e 3t t 求系统的响应 解 Fd s 4 3Fd s H s 公共收敛区 3 2Y s Fd s H s y t 2e 3t e 4t t e 2t t 5 10线性系统的模拟框图流图数学方程的描述 框图的三种基本运算器 加法器 乘法器 积分器 y t x1 t x2 t Y s X1 s X2 s y t ax t Y s aX s a x1 t x2 t y t X1 s X2 s Y s x t X s y t Y s y t x t dt或x t y t Y s X s s或X s sY s 一阶微分方程框图 y t a0y t e t 即y t e t a0y t x t y t y t 1 s X s Y s sY s e t y t a0 y 复频域sY s E s a0Y s 二阶微分方程框图 y t a1y t a0y t e t 即y t e t a1y t a0y t 1 s a0 E s Y s sY s a1 a0 e t y t y y 复频域s2Y s E s a1sY s a0Y s 对于一般二阶微分方程 y t a1y t a0y t b1e t b0e t a0 1 s 1 s a1 a0 E s Y s s2Y s sY s a1 a0 b1 e t e t y t b0 为了画图规范 引入一辅助量q t 或Q s 则 e t q t a1q t a0q t y t b1q t b0q t 与前图比较少一积分器多一加法器 当图形复杂时 优势更明显 对于大系统 为了研究方便 往往分成子系统 e t y t a1 a0 b1 b0 q q q 分成并联子系统串联子系统并联 H s Y s E s H1 s H2 s H3 s H1 s H2 s H3 s Y s E s H1 s H2 s H3 s 已知 H s 用直接法 串并联法画出系统框图 解 H s E s Y s 串联 H s H1 s H2 s H3 s 5 11信号的流图流图 简化的框图 图中有 结点 用表示变量 源结点 只出汇结点 只入支路 用表示有向线段 入支路 流向结点 出支路 流出结点 闭环自环 流图只能表示复频域的方程 一阶 二阶方程基本画法 实际应用 例1 H s E s R1 1 Cs Ls R2 I1 s U1 s I2 s U s 按变量E s I1 s U1 s I2 s U s 列方程 I1 s E s R1 U1 s R1U1 s LsI1 s LsI2 s I2 s CsU1 s CsU s U s R2I2 s 画图 例2 微变等效电路 Us R1 R2 Rc Re Ec U0 R1 R2 rbe Re Rc ue Ib Ic Us U0 列方程 Ib Ic IbU0 RcIcUe ReIc 画图 流图的化简规则 1 支路串联 2 支路并联 H1 H2 H3 E Y E Y H1H2H3 E Y H1 H2 H3 E Y H1 H2 H3 3 结点消除 X E1 E2 Y1 Y2 H1 H2 H3 H4 E1 E2 Y1 Y2 H1H3 H1H4 H2H3 H2H4 4 自环消除 注意 是所有流入被消除自环结点的支路除以 1 t 例 前两例化简举例 E Y X H1 H2 t E Y H2 虽然运用流图化简可以求得传输函数值 但是当流图较复杂时 化简过程冗长 这时可以运用梅森公式求传输函数值 无需对流图进行逐步化简 梅森公式 H Gk k 1 Li LiLj 其中 Li为环路的传输值 LiLj为互不接触两环路传输值的乘积 Gk为正向传输路径的传输值 k为与第k种正向传输路径不接触的 用梅森公式求例1的传输值 L1 s L2 s2 L3 s 1 s s2 s s2G1 s2 1 1H Gk k 第六章连续时间系统的系统函数 系统函数 H s 复频域中形式H j 频域中形式h t 是H s H j 反变换 系统函数又叫转移函数 输入函数 网络函数等 6 2系统函数的表示法有三种图示表示法 频率特性曲线 复轨迹 零极图 1 频率特性 H j H j ej 例 H j 1 j c R H j 90 arctg Rc 2 复轨迹H j U jV H j 1 90 3 零极图 如上例 H s z 0为零点 p 为极点 U V H j z p 对于一般的系统函数 H s z1 z2 zm为零点 用表示 p1 p2 pn为极点 用表示 6 3系统函数极点和零点的分布对于系统函数H s 零 极点数目应该相等 若n m 在无穷大处有 n m 阶零点 若m n 在无穷大处有 m n 阶极点 零 极点为实数 在s平面实轴上 x轴 为一对共轭复数 位于s平面实轴对称位置上 系统的稳定性 当激励为有限 响应也有限 无源系统是稳定系统 有源系统不一定是稳定系统 如振荡器的起振过程属于不稳定系统 所以这种系统是有源系统 根据系统函数H s 的极点分部情况 判断系统的稳定性 1 如果极点位于s平面的左半平面 系统稳定 2 如果极点位于s平面的右半平面 系统不稳定 3 如果虚轴上有单阶极点 系统临界稳定 如果虚轴上有二阶或以上极点 系统不稳定 另外系统函数分子m幂次大于分母n幂次 无穷大处有 m n 阶极点 稳定系统在无穷大处只能有单阶极点 即m n 1 6 4系统函数的零 极点与系统频率特性的关系H s 其中s p在s平面内相量的表示 当 0 s j s p j p j s p s p j p j p 令s p j p Aej s z j z Bej 所以H j ej i k H j ej H j i k 例 H s H j i k 0B 0A a H j 0 90 0 90 不变 1不变 90 0 R 1 CS 全通系统 零 极点以j 轴镜像对称 H j 1 90 a j j p1 p2 z1 z2 特点 H j H0最小相移系统 零极点均在左半平面内 包括虚轴上 变化在90 之内 j p1p2z 6 6系统的稳定性总的来说 无源系统是稳定的 有源系统不一定稳定 1 系统的稳定及其条件当激励有界 即 e t Me y t e t h t Me h t dt 则响应 y t My即 h t dt 稳定的充分 h t M必要条件 复频域中的判断 极点在左半平面 系统稳定 极点在虚轴上且为单阶 临界稳定 极点在右半平面 不稳定 当系统复杂时 要用判据判断 2 罗 霍判据 对于H s D s ansn an 1sn 1 a1s a0 0 特征方程 罗 霍判据使用前题 即稳定的必要条件 1 an an 1 a1 a0均为同符号 且不为0 2 a0 0 临界稳定 以上两点说明D s 系数中不同号 或缺项 系统都不稳定 但必要条件满足 系统不一定稳定 这时要用罗 霍判据 例 s3 2s2 2s 40 s2 2s 10 s 4 s 1 j6 s 1 j6 s 4 p1 2 1j6 在右半平面 系统也不稳定p3 4 罗 霍判据 anan 2an 4an 1an 3an