周期性与对称性

1 函数图象本身的对称性 自身对称 1 的图象关于直线对称 2 的图象关于直线对称 3 的图象关于直线对称 4 的图象关于直线对称 5 的图象关于点对称 6 的图象关于点对称 7 的图象关于点对称 8 的图象关于点对称 2 两个函数的图象对称性 相互对称 利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解 1 函数与图象关于直线对称 2 函数与图象关于直线对称 3 函数与图象关于直线对称 4 函数与图象关于直线对称即直线对称 5 函数与图象关于 X 轴对称 6 函数与图象关于 Y 轴对称 7 函数与图象关于原点对称 3 函数的周期性 1 的周期为 2 的周期为 3 的周期为 4 的周期为 5 的周期为 6 的周期为 7 的周期为 8 的周期为 9 的周期为 10 有两条对称轴和 周期 11 有两个对称中心和 周期 12 有一条对称轴和一个对称中心 周期 13 奇函数满足 周期 14 偶函数满足 周期 例题讲解例题讲解 题型一 对称性 周期性的证明题型一 对称性 周期性的证明 例 1 设曲线 的方程是 将 沿 轴 轴正方向分别平移 个单位长度后得到曲线 1 写出曲线的方程 2 证明曲线与关于点对称 3 如果曲线与有且仅有一个公共点 证明 解 1 曲线的方程为 2 证明 在曲线上任意取一点 设是关于点的对称点 则有 代入曲线的方程 得的方程 即可知点在曲线上 反过来 同样证明 在曲线上的点的对称点在曲线上 因此 曲线与关于点对称 3 证明 因为曲线与有且仅有一个公共点 方程组 有且仅有一组解 消去 整理得 这个关于的一元二次方程有且仅有一个根 即得 因为 所以 例 2 已知函数y f x 1 证明这个函数为偶函数 2 证明T 是函数的一个周期 进而寻找函数是否有其他的周期 最后说明这个函数的周期组成 什么集合 解 1 对任意实数 x x 与 x 同为有理数或无理数 所以恒有 f x f x 又定义域关于 原点对称 函数为偶函数 2 当 T 时 对任意实数 x x 与 x 同为有理数或无理数 所以恒有 f x f x 所 以 T 是函数的周期 当 T 为有理数时 对任意实数 x 以及有理数 T x 与 x T 同为有理数或无理数 所以恒有 f x f x T 所以 T 是函数的周期 当 T 为无理数时 f T 0 f T T f 0 1 所以 T 不是函数的周期 函数的所有周期组 成有理数集合 题型二 利用函数的周期性与对称性题型二 利用函数的周期性与对称性 例 3 已知函数是定义在 R 上的周期函数 周期 函数是奇函 数 又知在 0 1 上是一次函数 在 1 4 上是二次函数 且在时函数取得最小值 5 证明 求的解析式 求在上的解析式 解 是以 为周期的周期函数 又 是奇函数 当时 由题意可设 由得 是奇函数 又知在上是一次函数 可设 而 当时 从而当时 故时 当时 有 当时 例 4 已知函数的图象与的图象关于点对称 1 求的值 2 解 1 设 P x y 是 h x 图像上的一点 点 P 关于 A 0 1 的对称点为 Q x0 y0 则 x0 y0 2 即 从而 2 即 令 当时 方法归纳 方法归纳 1 证明函数的对称性 周期性注重定义的使用 2 注意对称性 周期性与奇偶性 单调性的综合运用 解题时注重数形结合思想的运用 实战训练实战训练 1 定义在R上的函数不是常数函数 满足 则函数 B A 是奇函数也是周期函数 B 是偶函数也是周期函数 C 是奇函数但不是周期函数 D 是偶函数但不是周期函数 解析 由 知 所以以 2 为周期 再由 得 令 则有 是偶函数 故是偶函数也是周期函数 2 的定义在 R 上的奇函数 它的最小正周期为 T 则的值为 A A 0 B C T D 3 设为奇函数 对任意 则等于 A A 3 B 3 C 4 D 4 4 已知函数为偶函数 上是单调减函数 则 A A B C D 5 设f x x R R 为偶函数 且f x f x 恒成立 x 2 3 时 f x x 则 x 2 0 时 f x 等于 A x 4 B 2 x C 3 x 1 D 2 x 1 解析 根据y f x 以 2 为周期 画出函数图象可得出结论 答案 C 7 已知f x 是定义在 R R 上的奇函数 且f x 4 f x 对任意x R R 成立 如果当x 0 1 时 f x 2x 则f 的值是 A 23 B C D 解析 利用f x f x 以及f x 以 4 为周期可求出 答案 B 8 若函数 y f x R 满足 f x 2 f x 且 x 1 1 时 f x x 则函数 y f x 的图象与函 数 y log4 x 图象的交点的个数为 C A 3 B 4 C 6 D 8 解析 函数 f x 以 2 为周期 画出 f x 的图象 数形结合 9 函数y f x 1 与y f 1 x 的图象关于 A y轴对称 B 原点对称 C 直线x 1 对称 D 关于y轴对称且关于直线x 1 对称 解析 根据对称关系验证 A 正确 选 A 10 已知f x 是定义在 R 上的奇函数 且满足 则使 的 值等于 A A B C D 11 定义在 R 上的函数 时 C A B C D 12 定义在上的函数 其图象关于点对称 且 则 A A 1 B 0 C 1 D 2 13 已知函数 f x 的反函数 f 1 x 的图象的对称中心为 1 5 则实数 a 的值是 D A 3 B 1 C 5 D 7 14 如果函数y f x 1 是偶函数 那么函数y f x 的图象关于 直线x 1 对称 15 定义在 上的偶函数f x 满足f x 1 f x 且在 1 0 上是增函数 下面是关于f x 的判断 f x 是周期函数 f x 的图象关于直线x 1 对称 f x 在 0 1 上是增函数 f x 在 1 2 上是减函数 f 2 f 0 其中正确的判断是 把你认为正确的判断都填上 16 对于定义在 R 上的函数 f x 有下述命题 若 f x 是奇函数 则 f x 1 的图象关于点 A 1 0 对称 若对 x R 有 f x 1 f x 1 则 f x 的图象关于直线 x 1 对称 若函数 f x 1 的图象关于直线 x 1 对称 则 f x 为偶函数 函数 f 1 x 与函数 f 1 x 的图象关于直线 x 1 对称 其中正确命题的序号为 17 对于定义域为 R 的非常值函数 f x 请将下面左侧中每个 f x 满足的条件与右侧所提供的 f x 的 性质中一个用线连接起来 18 已知函数f x 的定义域为 x x k k Z Z 且对于定义域内的任何x y 有f x y 成立 且f a 1 a为正常数 当 0 x 0 1 判断f x 奇偶性 2 证明f x 为周期函数 3 求f x 在 2a 3a 上的最小值和最大值 证明 证明 1 定义域 x x k k Z Z 关于原点对称 又f x f a x a f x 对于定义域内的每个x值都成立 f x 为奇函数 2 易证 f x 4a f x 周期为 4a 3 f 2a f a a f a a 0 f 3a f 2a a f 2a a 1 先证明f x 在 2a 3a 上单调递减为此 必须证明x 2a 3a 时 f x 0 设 2a x 3a 则 0 x 2a 0 f x 0 设 2a x1 x2 3a 则 0 x2 x1 a f x1 0 f x2 0 f x1 f x2 0 f x1 f x2 f x 在 2a 3a 上单调递减 f x 在 2a 3a 上的最大值为f 2a 0 最小值为f 3a 1 19 设f x 的定义域为x R R 且x k Z Z 且f x 1 如果f x 为奇函数 当 0 x 时 f x 3x 1 求f 2 当 2k x 2k 1 k Z Z 时 求f x 3 是否存在这样的正整数k 使得当 2k xx2 kx 2k有解 解 1 f x 2 f x f x 是周期为 2 的周期函数 2 2k x 2k 1 k Z Z x 2k 1 x 2k 1 0 0 2k 1 xx2 kx 2k x 2k 1 x2 kx 2k x2 k 1 x 11 且k Z Z 时 但是 x 若k 1 则 0 无解 不存在满足条件的整数k 20 已知函数 若函数图象上任意一点 P 关于原点的对称点 Q 的轨 迹恰好是函数的图象 1 写出函数的解析式 2 当时 总有成立 求实数的取值范围 20 解 1 设 则 在函数的图象上 即 这就是说 2 当 由题意知 只要 在上是增函数