平面向量的数量积及平面向量应用举例.ppt

第3讲平面向量的数量积及平面向量应用举例 1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 4 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 课本P107 由力做功的计算理解数量积的物理意义 课本P108 两个向量的夹角及范围 区分向量a在向量b方向上的正射影的数量与向量b在向量a方向上的正射影的数量 向量数量积定义 3 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 4 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 课本P110 注意数量积运算律不满足结合律即 a b c a b c 课本P112 向量数量积有关的坐标运算公式 看一下例1例2例3例4 完成 三维设计 的理要点与究疑点 以上内容的复习必须在20分钟内完成 5 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 平面向量的数量积 向量数量积 内积 的坐标运算a a1 a2 b b1 b2 a b a b a b 设A x1 y1 B x2 y2 则 a1b1 a2b2 a1b1 a2b2 0 x2 x1 y2 y1 思考探究1 在 ABC中 设 a b 则a与b的夹角为 ABC吗 提示 不是 求两向量的夹角时 两向量的起点应相同 向量a与b的夹角为 ABC 思考探究2 若a b 则a与b的数量积有何特点 提示 若a b 则a与b的夹角为0 或180 a b a b 或a b a b 思考探究3 向量的数量积是一个数量 它的符号是怎样确定的 答案 当a b为非零向量时 a b的符号由夹角的余弦来确定 当0 0 当90 180 时 a b 0 当a与b至少有一个为零向量或 90 时 a b 0 联动体验1 已知a 2 3 b 4 7 则a在b上的投影为 解析 设a和b的夹角为 a cos a 答案 C2 2010 新课标全国卷 a b为平面向量 已知a 4 3 2a b 3 18 则a b夹角的余弦值等于 解析 设b x y 则有2a b 8 x 6 y 3 18 解得b 5 12 故cos a b 答案 C 3 设向量a和b的长度分别为4和3 夹角为60 则 a b 的值为 解析 a b 2 a2 2a b b 2 a2 2 a b cos60 b 2 16 2 4 3 9 37 a b 答案 C4 向量m x 5 1 n 4 x m n 则x等于 A 1B 2C 3D 4解析 由m n 0 得4 x 5 x 0 x 4 答案 D5 已知向量a和向量b的夹角为30 a 2 b 则向量a和向量b的数量积a b 答案 3 例1 1 在直角三角形ABC中 C 90 AB 5 AC 4 求 2 若a 3 4 b 2 1 试求 a 2b 2a 3b 解 1 在 ABC中 C 90 AB 5 AC 4 故BC 3 且cos ABC 的夹角 ABC cos ABC 5 3 9 2 方法一 a 2b 3 4 2 2 1 1 6 2a 3b 2 3 4 3 2 1 12 5 a 2b 2a 3b 1 12 6 5 18 方法二 a 2b 2a 3b 2a2 a b 6b2 2 32 4 2 3 2 4 1 6 22 12 18 考向一平面向量的数量积的运算 反思感悟 善于总结 养成习惯平面向量的数量积的运算有两种形式 一是依据长度与夹角 二是利用坐标来计算 具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择 迁移发散1 已知A 3 0 B 0 3 C cos sin 若 1 求sin2 的值 解 cos 3 sin cos sin 3 cos cos 3 sin sin 3 1 3 cos sin 1 sin cos 两边平方得sin2 考向二利用平面向量的数量积解决垂直问题 例2 已知向量a 1 2 b 2 1 k t为正实数 向量x a t2 1 b y ka b 且x y 求k的最小值 解 a 1 2 b 2 1 a b 0 t为正实数 k 2 当且仅当t 1时 k 2 k的最小值为2 反思感悟 善于总结 养成习惯1 两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零 因此 可以将证两向量的垂直问题 转化为证明两个向量的数量积为零 2 向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算 由于有关长度 角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决 因此 我们可以利用向量的坐标研究有关长度 角度和垂直问题 迁移发散2 在直角 ABC中 已知 2 3 1 k 求k的值 考向三平面向量的夹角与模的问题 反思感悟 善于总结 养成习惯1 求向量的夹角的两种表示方式 当a b是非坐标形式时 求a与b的夹角 需求得a b及 a b 或得出它们的关系 若已知a与b的坐标 则可直接利用公式来求夹角 2 利用数量积求向量的模 可考虑以下方法 a a 2 a2 a a b a b 2 a2 2a b b2 c 若a x y 则 a 考向四平面向量的数量积与三角交汇问题 例4 2010 青岛二模 设角A B C是 ABC的三个内角 已知向量m sinA sinC sinB sinA n sinA sinC sinB 且m n 1 求角C的大小 2 若向量s 0 1 t cosA 2cos2 试求 s t 的取值范围 反思感悟 善于总结 养成习惯向量与三角结合是高考考查的重点 常以向量为载体 利用向量的数量积的运算 向量的垂直等条件来进行三角的考查 复习时应重视 课堂总结感悟提升1 向量数量积a b与实数a b乘积a b不同 由a b 0 并不能得出a 0或b 0 因为两非零向量夹角为90 时 数量积也为0 2 可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题 但要注意两种公式的灵活运用 3 利用向量垂直的充要条件研究几何中线与线垂直的问题 常建立适当的坐标系 得到简单的向量