小学奥数之容斥原理

五 容斥原理问题 1 有 100 种赤贫 其中含钙的有 68 种 含铁的有 43 种 那么 同时含钙和铁的食 品种类的最大值和最小值分别是 A 43 25 B 32 25 C32 15 D 43 11 解 根据容斥原理最小值 68 43 100 11 最大值就是含铁的有 43 种 2 在多元智能大赛的决赛中只有三道题 已知 1 某校 25 名学生参加竞赛 每个 学生至少解出一道题 2 在所有没有解出第一题的学生中 解出第二题的人数是 解出第三题的人数的 2 倍 3 只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的 人数多 1 人 4 只解出一道题的学生中 有一半没有解出第一题 那么只解出第二 题的学生人数是 A 5 B 6 C 7 D 8 解 根据 每个人至少答出三题中的一道题 可知答题情况分为 7 类 只答第 1 题 只答第 2 题 只答第 3 题 只答第 1 2 题 只答第 1 3 题 只答 2 3 题 答 1 2 3 题 分别设各类的人数为 a1 a2 a3 a12 a13 a23 a123 由 1 知 a1 a2 a3 a12 a13 a23 a123 25 由 2 知 a2 a23 a3 a23 2 由 3 知 a12 a13 a123 a1 1 由 4 知 a1 a2 a3 再由 得 a23 a2 a3 2 再由 得 a12 a13 a123 a2 a3 1 然后将 代入 中 整理得到 a2 4 a3 26 由于 a2 a3 均表示人数 可以求出它们的整数解 当 a2 6 5 4 3 2 1 时 a3 2 6 10 14 18 22 又根据 a23 a2 a3 2 可知 a2 a3 因此 符合条件的只有 a2 6 a3 2 然后可以推出 a1 8 a12 a13 a123 7 a23 2 总人数 8 6 2 7 2 25 检验所有条件均符 故只解出第二题的学生人数 a2 6 人 3 一次考试共有 5 道试题 做对第 1 2 3 4 5 题的分别占参加考试人数 的 95 80 79 74 85 如果做对三道或三道以上为合格 那么这 次考试的合格率至少是多少 答案 及格率至少为 71 假设一共有 100 人考试 100 95 5 100 80 20 100 79 21 100 74 26 100 85 15 5 20 21 26 15 87 表示 5 题中有 1 题做错的最多人数 87 3 29 表示 5 题中有 3 题做错的最多人数 即不及格的人数最多为 29 人 100 29 71 及格的最少人数 其实都是全对的 及格率至少为 71 六 抽屉原理 奇偶性问题 1 一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套 颜色有黑 红 蓝 黄四种 问最少要摸出几只手套才能保证有 3 副同色的 解 可以把四种不同的颜色看成是 4 个抽屉 把手套看成是元素 要保证有一 副同色的 就是 1 个抽屉里至少有 2 只手套 根据抽屉原理 最少要摸出 5 只 手套 这时拿出 1 副同色的后 4 个抽屉中还剩 3 只手套 再根据抽屉原理 只 要再摸出 2 只手套 又能保证有一副手套是同色的 以此类推 把四种颜色看做 4 个抽屉 要保证有 3 副同色的 先考虑保证有 1 副就要摸出 5 只手套 这时拿出 1 副同色的后 4 个抽屉中还剩下 3 只手套 根据抽屉原 理 只要再摸出 2 只手套 又能保证有 1 副是同色的 以此类推 要保证有 3 副同色的 共摸出的手套有 5 2 2 9 只 答 最少要摸出 9 只手套 才能保证有 3 副同色的 2 有四种颜色的积木若干 每人可任取 1 2 件 至少有几个人去取 才能保证 有 3 人能取得完全一样 答案为 21 解 每人取 1 件时有 4 种不同的取法 每人取 2 件时 有 6 种不同的取法 当有 11 人时 能保证至少有 2 人取得完全一样 当有 21 人时 才能保证到少有 3 人取得完全一样 3 某盒子内装 50 只球 其中 10 只是红色 10 只是绿色 10 只是黄色 10 只是蓝色 其余是白球和黑球 为了确保取出的球中至少包含有 7 只同色的球 问 最少必须从袋中取出多少只球 解 需要分情况讨论 因为无法确定其中黑球与白球的个数 当黑球或白球其中没有大于或等于 7 个的 那么就是 6 4 10 1 35 个 如果黑球或白球其中有等于 7 个的 那么就是 6 5 3 1 34 个 如果黑球或白球其中有等于 8 个的 那么就是 6 5 2 1 33 如果黑球或白球其中有等于 9 个的 那么就是 6 5 1 1 32 4 地上有四堆石子 石子数分别是 1 9 15 31 如果每次从其中的三堆同时 各取出 1 个 然后都放入第四堆中 那么 能否经过若干次操作 使得这四堆 石子的个数都相同 如果能请说明具体操作 不能则要说明理由 不可能 因为总数为 1 9 15 31 56 56 4 14 14 是一个偶数 而原来 1 9 15 31 都是奇数 取出 1 个和放入 3 个也都是奇数 奇数加减 若干次奇数后 结果一定还是奇数 不可能得到偶数 14 个 容斥原理 一 例题分析例题分析 例 1 有长 8 厘米 宽 6 厘米的长方形与边长 5 厘米的正方形 如图放在桌面 上 求这两个图形盖住桌面的面积 分析与解 分析与解 阴影部分是直角三角形 是两个图形的重叠部分 它的面积是 平方厘米 方法一 方法一 平方厘米 方法二 方法二 平方厘米 方法三 方法三 平方厘米 答 答 盖住桌面的面积是 67 平方厘米 例 2 六一班参加无线电小组和航模小组的共 26 人 其中参加无线电小组的有 17 人 参加航模小组的有 14 人 两组都参加的有多少人 分析与解 分析与解 把 17 人和 14 人相加 是把两组都参加的人算了两次 所以减 去总人数 就是两组都参加的人数 人 也可以这样解 人 或 人 答 答 两组都参加的有 5 人 例 3 六一班有学生 46 人 其中会骑自行车的有 19 人 会游泳的有 25 人 既 会骑车又会游泳的有 7 人 既不会骑自行车又不会游泳的有多少人 分析与解 分析与解 先求出 46 人中会骑车或会游泳的有多少人 从中减去会骑车或 会游泳的人数 剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数 人 人 答 答 既不会骑车又不会游泳的有 9 人 例 4 某年级的课外小组分为美术 音乐 手工三个小组 参加美术小组有 20 人 参加音乐小组有 24 人 参加手工小组有 31 人 同时参加美术和音乐两个 小组有 5 人 同时参加音乐和手工两个小组有 6 人 同时参加美术和手工两个 小组的有 7 人 三个小组都参加的有 3 人 这个年级参加课外小组的同学共有 多少人 分析与解 分析与解 图中的 5 6 7 人都是两两重叠的部分 图中的 3 人是三个重叠 的部分 要从三个组的总人数中减去重复多余的部分 人 答 答 这个年级参加课外小组的有 60 人 例 5 某班在短跑 投掷和跳远三项检测中 有 4 人三项都未达到优秀 其他 人至少有一项是优秀 下表是得优秀的情况 请你算出全班人数 短跑投掷跳远跑跳跑投跳投三项 19212091063 分析与解 分析与解 根据题意画出如下图 要求全班有多少人 先要求出跑 跳 投至少有一项达到优秀的人数 加 上三项都未达到优秀的 就是全班人数 人 人 答 答 全班有 42 人 例 6 分母是 105 的最简真分数有多少个 分析与解 分析与解 这些分数是最简真分数 所以分子应小于 105 只能是 1 104 中的自然数 而且分子与 105 要互质 因为 所以分母不能是 3 的倍数或 5 的倍数或 7 的倍数 所以 要求有多少个最简真分数 实际上就是 求 1 104 这 104 个自然数中不能被 3 5 7 整除的数有多少个 因此要先求出 能被 3 整除或能被 5 整除或能被 7 整除的数有多少个 能被 3 整除的数 个 能被 5 整除的数 个 能被 7 整除的数 个 能同时被 3 和 5 整除的数 能同时被 3 和 7 整除的数 能同时被 5 和 7 整除的数 个 个 答 答 分母是 105 的最简真分数有 48 个 模拟试题模拟试题 答题时间 30 分钟 1 有三个面积各为 50 平方厘米的圆放在桌面上 两两相交的面积分别是 8 10 12 平方厘米 三个圆相交的面积是 5 平方厘米 求三个圆盖住桌面的 面积 2 某区有 100 名外语教师懂英语或日语 其中懂英语的有 75 名 既懂英语又 懂日语的有 20 人 只懂日语的有多少名 3 某班数学测验时有 10 人得优 英语得优有 12 人 两门都得优有 3 人 两门 都没得优的有 26 人 全班有多少人 4 六年级一班春游 带矿泉水的有 18 人 带水果的有 16 人 这两种至少带一 种的有 28 人 求两种都带的有多少人 5 在 1 至 100 的自然数中 不能被 2 整除的数或不能被 3 整除或不能被 5 整除 的数共有多少个 容斥原理 二 例题分析例题分析 例 1 有 25 人参加跳远达标赛 每人跳三次 每人至少有一次达到优秀 第一 次达到优秀的有 10 人 第二次达到优秀的有 13 人 第三次达到优秀的有 15 人 三次都达到优秀的只有 1 人 只有两次达到优秀的有多少人 分析与解 每人至少有一次达到优秀 说明没有三次都没达到优秀的 要求只有两次达到优秀的人数 就是求重叠两层的部分 图中阴影部分 人 答 只有两次达到优秀的有 11 人 例 2 在一个炎热的夏日 几个小朋友去冷饮店 每人至少要了一样冷饮 其 中有 6 人要了冰棍 6 人要了汽水 4 人要了雪碧 只要冰棍和汽水的有 3 人 只要冰棍和雪碧的没有 只要汽水和雪碧的有 1 人 三样都要的有 1 人 问 共有几个小朋友去了冷饮店 分析与解 根据题意画图 方法一 人 方法二 人 答 共有 10 个小朋友去了冷饮店 例 3 有 28 人参加田径运动会 每人至少参加两项比赛 已知有 8 人没参加跑 的项目 参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是 17 人 问 只参加 跑和投掷两项的有多少人 分析与解 每人至少参加两项比赛 说明没有不参加的 也没有参加一 项比赛的 我们可以在下图中参加一项的区域用 0 表示 人 答 只参加跑和投掷两项的有 3 人 有 8 人没参加跑的项目 说明这 8 只参 加投跳 因为没人必须两项 又不含跑 参加投掷项目的人数是 17 所以没参与投 掷 也就是只参加跑跳 28 17 11 同时参加跑和跳两项的人数 17 人 没有只是 二字 所以三项的 17 11 6 所以参加跑和投掷两项的有 17 8 6 3 例 4 某校六年级二班有 49 人参加了数学 英语 语文学习小组 其中数学有 30 人参加 英语有 20 人参加 语文小组有 10 人 老师告诉同学既参加数学小 组又参加语文小组的有 3 人 既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文 的人数均为质数 而三种全参加的只有 1 人 求既参加英语又参加数学小组的 人数 分析与解 根据已知条件画出图 三圆盖住的总体为 49 人 假设既参加数学又参加英语的有 x 人 既参加语 文又参加英语的有 y 人 可以列出这样的方程 整理后得 由于 x y 均为质数 因而这两个质数中必有一个偶质数 2 另一个质数为 7 答 既参加英语又参加数学小组的为 2 人或 7 人 例 5 某班同学参加升学考试 得满分的人数如下 数学 20 人 语文 20 人 英语 20 人 数学 英语两科满分者 8 人 数学 语文两科满分者 7 人 语文 英语两科满分者 9 人 三科都没得满分者 3 人 问这个班最多多少人 最少多 少人 分析与解 根据题意画图 设三科都得满分者为 x 全班人数 整理后 全班人数 39 x 39 x 表示全班人数 当 x 取最大值时 全班人数就最多 当 x 取最小值时 全班人数就最少 x 是数学 语文 英语三科都得满分的同学 因而 x 中的人 数一定不超过两科得满分的人数 即且 由此我们得到 另一方面 x 最小可能是 0 即没有三科都得满分的 当 x 取最大值 7 时 全班有人 当 x 取最小值 0 时 全班有 39 人 答 这个班最多有 46 人 最少有 39 人 模拟试题模拟试题 答题时间 30 分钟 1 六年级共有 96 人 两种刊物每人至少订其中一种 有的人订 少年报 有的人订 数学报 两种刊物都订的有多少人 2 小明和小龙两家合住一套房子 门厅 厨房和厕所为公用 在登记住房面积 时 两家登记表如下表 单位 平方米 姓名居室门厅厨房厕所总面积 小明 14128438 小龙 20128