数值分析_高斯求积公式ppt课件.ppt

5Gauss求积公式 GaussQuadratureFormula Newton Cotes求积公式中的求积节点是等距选取的 求积系数计算方便 但代数精度要受到限制 积分公式的一般形式 插值型的求积公式至少有n次代数精度 至多有多少次的代数精度 如何适当选取求积节点和求积系数 使求积公式达到最高的代数精度 一 Gauss积分问题的提法 为了提高代数精度 需要适当选择求积节点 当求积节点个数确定后 不管这些求积节点如何选取 求积公式的代数精度最高能达到多少 具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取 积分公式的一般形式 个求积节点 个求积系数 共个未知量 需要个方程 因此可以取使公式精确成立 从而求出求积节点和系数 只需证明 对于上述插值型求积公式 存在一个2n 2次多项式 使得求积公式不能精确成立 形如的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n 1次 证明 令 因为 而 故求积公式不能精确成立 下面讨论一般积分形式 其中为权函数 构造积分公式 具有2n 1次代数精度 其中 求积节点 求积系数 与被积函数无关 如果一组节点 使得上述插值型求积公式具有2n 1次代数精度 则称该组节点为Gauss点 相应的公式为Gauss型求积公式 求积系数的特征 五点的Gauss求积公式具有多少次代数精度 例1 构造下列积分的Gauss求积公式 例题 分析 因为n 1 所以Guass求积公式具有3次代数精度 分别取 得到关于的方程组 求解非线性方程组得到求积系数和求积节点 2n 2个未知数 2n 2个方程的非线性方程组 由代数精度定义 当时 求积公式精确成立 问题 如何计算Gauss点及求积系数 方法一 从代数精度的定义出发 求解非线性方程组 方法二 两步走 问题 如何计算Gauss点及求积系数 1 先确定Gauss求积节点 2 计算求积系数 从代数精度的定义出发 求解线性方程组 或 用系数的表达式直接计算 二 Gauss求积公式的性质 Gauss求积公式存在的条件 证明 必要性 设 则 充分性 对于 即求积公式 对一切不超过2n 1次的多项式精确成立 所以节点是Gauss点 上述定理表明 上带权的n 1次正交多项式的零点就是求积公式 的Gauss点 Gauss求积公式中求积系数的求法 由代数精度定义 得到n 1阶线性方程组 设已知Gauss点 或者 Gauss求积公式的余项 证明 设是满足下列条件的Hermite插值 公式有2n 1次代数精度 积分第一中值定理 Gauss求积公式的稳定性 Gauss型求积公式 总是稳定的 证明 只需证明 因为Gauss型求积公式 对所有不超过2n 1次的多项式都精确成立 取 Gauss求积公式的收敛性 证明 由Weierstrass定理知 对 存在m次多项式满足 下证 当时 三 Gauss求积公式的构造 根据前面的讨论 只需要取n 1次正交多项式的n 1个零点为求积节点 构造的求积公式即为Gauss求积公式 区间的转化问题 任意区间经过下列变换可变为区间 下面仅以Legendre多项式和Chebyshev多项式为例 Legendre正交多项式 Gauss Legendre求积公式 其中求积节点是n 1次Legendre多项式的零点 求积系数可通过求解方程组得到 或者利用下式 时 零点 构造求积公式 求 令 代入公式精确成立 得到 或 1次代数精度 时 零点构造求积公式 求 令 代入公式精确成立 得到 或 3次代数精度 P147表5 5 1 5次代数精度 例1 应用两点Gauss Legendre求积公式计算积分 解 作变换 三点Gauss Legendre求积公式 切比雪夫 Chebyshev 正交多项式系 在 1 1 内的n个零点和n 1个最值点为 见文献 13 Gauss Chebyshev求积公式 其中求积节点是n 1次Chebyshev多项式的零点 求积系数 例2 应用两点Gauss Chebyshev求积公式计算积分 解 作变换 节点增加时需重新计算 可以计算广义积分 Newton Cotes求积公式是等距节点的插值型求积公式 当n 7时计算不稳定 梯形求积公式和Simpson求积公式是低精度方法 但对于光滑性较差的被积函数有时比高精度方法能得到更好的效果 实际计算中一般采用复化求积公式 Romberg求积方法 算法简单 当节点加密提高积分近似程度时 前面计算的结果可以为后面的计算使用 因此 对减少计算量有好处 Gauss求积 G