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SARS传播的数学模型 题目 SARS SevereAcuteRespiratorySyndrome 严重急性呼吸道综合症 俗称 非典型肺炎 是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病 SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响 我们从中得到了许多重要的经验和教训 认识到定量地研究传染病的传播规律 为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性 请你们对SARS的传播建立数学模型 具体要求如下 1 对附件1所提供的一个早期的模型 评价其合理性和实用性 题目 2 建立你们自己的模型 说明为什么优于附件1中的模型 特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠 足够的信息的模型 这样做的困难在哪里 对于卫生部门所采取的措施做出评论 如 提前或延后5天采取严格的隔离措施 对疫情传播所造成的影响做出估计 附件2提供的数据供参考 3 收集SARS对经济某个方面影响的数据 建立相应的数学模型并进行预测 附件3提供的数据供参考 4 给当地报刊写一篇通俗短文 说明建立传染病数学模型的重要性 负反馈模型 什么叫负反馈 将放大器的输出信号 电压或电流 按一定路径回送到放大器输入端的过程称为反馈 施加反馈的放大器称为反馈放大器 它是由一个基本放大器和反馈网络构成的闭合环路 如图 什么叫负反馈 给出反馈系数Kf以及闭环增益Af的定义 当反馈系数Kf 0时 系统是负反馈的 反之 系统是正反馈的 负反馈具有自我调节作用 正是我们需要的 基本假设 统计数据是可靠的病人处于潜伏期时不传染他人采取的所有控制措施对于阻止SARS的传播都是有效的 符号说明 In 到第n天为止累计确诊的病人数Dn 到第n天为止累计的死亡人数Sn 第n天的疑似病人数Cn 到第n天为止治愈病人数d 死亡率g 治愈率s1 新增病人与新增疑似病人的比值s2 疑似病人转化为正常人的比率 符号说明 续 K0 区域内的自反馈参量Fn 反馈变量fk 反馈变量的变化率 模型建立 设该区域内的自反馈参量为K0 表示该地区在未来采取控制措施时SARS的传播能力设该地区自反馈量Fn的变化率为fk 即每增加一个病人引起反馈量Fn的变化量 fk表示该地区的病情控制情况 时间序列模型 Fn K0 fk In Sn In 1 In Fn In Cn Dn Dn 1 Dn 1 Dn d In Dn Cn Sn 1 Sn In 1 In s1 Sn s2Cn 1 Cn g In In 1 模型求解 设实际数据为In0 拟合数据为In 则我们确定参数的目标是使总残量最小 即 我们使用matlab7 0中的fminsearch函数来求解 得到总残量最小时的各个参数 并拟合曲线 原文数据不妥当处 Fk应该为负数 d应该大于0 按原文给出的数据所作的图 我们用fmins关于I解出的曲线 我们用fmins关于I D S解出的曲线 原模型的不足之处 g Cn 1 Cn In In 1 并不是常量我们根据题目给出的数据计算g得到下图 原模型的不足之处 In 1 In Fn In Cn Cn 1 Dn Dn 1 而不是In 1 In Fn In Cn Dn Dn 1 改进 K 0 4460 fk 0 0001 d 0 0020 g 0 0024 s1 1 2815 s2 0 0529 微分方程模型 基本假设 假设SARS的传播方式为接触性传播 不与患病者接触就不会被传染假设人们被感染后需先进入潜伏期 在潜伏期内不具备传染性假设SARS患者被发现后就立即被隔离 被隔离者不具备传染性 SARS患者只在被发现前可以传染他人假设SARS康复者不会被再次感染 并且不具备传染性不考虑在SARS传播期间人口的自然出生和自然死亡所研究地区的人口总量一定 不考虑该段时间内人口的迁入迁出 符号说明 N 我们所研究区域的人口总数S 易感染类 该类成员没有染上SARS 也没有免疫能力 可以被传染上SARSE 潜伏期类 该类成员已经感染了SARS病毒 但尚处于潜伏期内 还不是SARS患者 不能把病毒传染给S类成员Iu 患病未被发现类 该类成员已经成为真正的SARS患者 能够把病毒传染给S类成员Ii 患病已被发现类 该类成员虽然是SARS患者 但由于发现后立即被严格隔离 不能传染给S类成员 符号说明 续 R 免疫类 该类成员为SARS康复者或因患SARS死亡 已经具有免疫力 不再对其它成员产生任何影响H 潜伏期天数L 传染期天数 模型建立 我们把一个封闭区域内的人群完备的分成5类 S类 E类 Iu类 Ii类和R类 设第t天时五类成员的人数分别为S t E t Iu t Ii t R t 该地区总人口为N N 人口总数S 易感染类E 潜伏期类Iu 患病未被发现类Ii 患病已被发现类R 免疫类 参数设置及其意义 参数设置及其意义 续 微分方程 模型求解 我们调用Matlab软件中的ode45函数进行求解ode45函数 专门用于解常微分方程的功能函数 有ode23 ode45 ode23S等 主要采用Runge Kutta方法 其中ode23采用两阶 三阶Runge Kutta法解 适合要求精度较低的场合 ode45采用四阶 五阶Runge Kutta法解 一般说来 ode45比ode23的积分段少 运算速度更快一些 源代码 functiondx fun t x x 1 S x 2 E x 3 Iu x 4 Ii x 5 R o 0 0000382 u 0 0999 g 0 1 u z 0 4 c 0 014 dx zeros 5 1 dx 1 o x 1 x 3 dx 2 o x 1 x 3 g u x 2 dx 3 g x 2 z x 3 dx 4 z x 3 c x 4 dx 5 c x 4 u x 2 t x ode45 fun 0 160 6 7e6 0 1 0 0 y x 4 x 5 0 0999 x 2 plot t y 返回 求解过程 以香港数据为例 N 6 7e6取初值Iu 0 1 S 0 N 1 E 0 Ii 0 R 0 0初始数据c 0 014 H 10 2e 5 z 0 5解出的图像 求解过程 逐步调整各参数的值 可得到如下的曲线 调整一下坐标可得 钟南山研究成果 九成多非典病人可不药而愈2003年09月14日12 00人民网 江南时报广州9月13日电中国工程院院士 中国著名呼吸疾病专家钟南山12日在 2003防治 非典 广州 学术研讨会 上表示 90 的非典病人是 自限性 的 只要好好休息 就可以自己康复 他称 93 的病人自己能完全好转 因此 感染非典 首先是支持疗法 而不是特效药 如果不存在自愈 此模型的缺陷 模型中各变量的取值只能根据已有的数据拟合 模型的精确度严重的依赖于所给的数据的准确度 不具有预测性对于不同的地区需要重新确定各变量的取值 计算量大 缺乏一般的原则和算法 基于Small World Network的模拟模型 基于Small World Network的模拟模型 模型的建立算法的设计结果的分析 模型的建立 用Small World Network模型模拟现代社会网络 N K P 模型中每个节点的状态 S E Im Ii R 符号说明 N 区域人口总数 S 易感染类人群E 潜伏类人群Iu 患病未被发现类人群Ii 患病已被发现类人群R 免疫类人群H 潜伏期天数 L 传染期天数 P SWN模型中每条边 断键重连 的选中概率J SWN模型中每条边再次 断键重连 的选中概率Q S类成员被感染的概率 基于Small World Network的模拟模型 模型的建立算法的设计结果的分析 算法的设计 构建SWN网络初始化以时间t遍历各节点1 对各节点连出的边的重新随机2 对Iu类节点的处理3 对E类节点的处理4 对Ii类节点的处理 模型中各成员的流动情况 基于Small World Network的模拟模型 模型的建立算法的设计结果的分析 结果的分析 运用控制变量法1 对参数Q L的讨论2 对参数J的讨论3 对参数V的讨论 对Q L的讨论 1 固定Q 0 1 运用MATLAB做患病人数关于模拟天数和L的取值的三维图像 观察 随着L的增大 图像峰值的大小变化以及到达峰值的速度变化 将整个模型节点数控制在2000时候的图像 节点总数为100000的时候的图像 对Q L的讨论 2 固定L 10 运用MATLAB做患病人数关于模拟天数和Q的取值的三维图像 观察 随着Q的增大 图像峰值的大小变化以及到达峰值的速度变化 将整个模型节点数控制在2000时候的图像 节点总数为100000的时候的图像 对参数J的讨论 取定Q 0 1 L 10 V 0 改变J的值 观察图像可以看到 区域内人口流动性越强 病毒蔓延得越快 传染的人越多 疫情越严重 将整个模型节点数控制在2000时候的图像 节点总数为100000的时候的图像 对参数V的讨论 取Q 0 2 L 10 J 0 改变自愈率V的值 从图像中可以看到 当自愈率很小时 SARS将大规模传播 随便自愈率V的增大 患病人数减少 高峰期推迟 V超过一个值Vc后 SARS不能传播