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计算方法在数学建模中的应用 计算方法又称 数值分析 是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法 计算方法在数学建模中有很广泛的应用 特别是处理具有大规模数据的数学建模问题 其中应用最多的是误差分析 数值逼近以及数值积分等 在历年的全国大学生数学建模竞赛 CUMCM 赛题之中 有很多都用到了计算方法 其中以数据插值与拟合方法用得最多 其次就是数值积分方法 下面分别对这些方法进行介绍 并通过几个赛题来熟悉这些方法的具体应用 1 数据拟合在科学试验的统计研究中 往往要从一组测定数据 xi yi i 1 2 n 中求出自变量x与因变量y之间的近似函数关系式 而这些数据本身具有一定误差而且其数量可能很大 因此不能要求函数关系是满足所有的点 而只是要求其能反映这些实验数据的大体规律或趋势 对于给定的一组数据 xi yi 求一个k次多项式 应用最小二乘法 使取最小 对上式各参变量求偏导数后 令其偏导数为0 就得到了以下线性方程组从该线性方程组中求解出系数aj j 1 2 k 之后 就可以写出拟合的多项式 有时还会采用三角函数 指数函数等来拟合 一般来说 多项式函数拟合的性态更易描述 而且误差分析较为简单 一元多项式拟合示意图 其中粗线为二次拟合曲线 细线为四次拟合曲线 例1 CUMCM1992A题施肥效果分析某地区作物生长所需的营养素主要是氮 N 磷 P 钾 K 某作物研究所在该地区对土豆作了一定数量的实验 实验数据如下页表格所示 其中ha表示公顷 t表示吨 kg表示公斤 当一个营养素的施肥量变化时 总将另二个营养素的施肥量保持在第七个水平上 如土豆产量关于N的施肥量做实验时 P与K的施肥量分别取为196kg ha与372kg ha 试分析施肥量与生产量之间的关系 并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估价 问题的分析和求解要寻求施肥量与产量之间的关系 最直接的办法就是通过测量数据拟合出其近似关系式 为了减少舍入误差 不妨将施肥量用10kg ha的单位来记 这样使得施肥量和产量数字在同一个量级上 首先将各类肥料的施肥量与产量之间对应的散点关系表示在图中 不难看出N肥的施肥量与产量之间存在二次函数关系 设x表示施肥量 y表示产量 建立模型 然后应用最小二乘法 令取最小 其中为xi施肥量 yi为产量 n为样本个数 对上式各参变量求偏导数后 令其偏导数为0 就得到了关于a b c的线性方程组从中求出这三个系数 进而写出其近似关系式 可以用matlab软件的polyfit命令或者mathematics软件的fit命令来求出对应的系数 N肥关系式 N肥施肥效果关系图 类似的可以得到 P肥关系式 P肥施肥效果关系图 以及K肥关系式 K肥施肥效果关系图 以上结果从数据的分布情况得出的 但根据实际情况 并非施肥量越多 作物的产量就越高 施肥量过高时会导致土壤中溶液浓度过高而导致 烧苗 现象 N肥的关系式体现出了这一点 但是P肥和K肥的关系式则没有体现出这一现象 因此对于P肥和K肥也可以利用二次函数进行数据拟合 其拟合结果为 在实际工作中 三种肥料除了与产量有直接关系外 还有彼此之间的交互关系 因此要准确研究施肥量与产量的关系 还需进一步考虑到几种肥料之间的交互作用 例2 CUMCM2004B题电力市场的输电阻塞管理我国电力市场初期是发电侧电力市场 采取交易与调度一体化的模式 电网公司在组织交易 调度和配送时 必须遵循电网 安全第一 的原则 同时要制订一个电力市场交易规则 按照购电费用最小的经济目标来运作 市场交易 调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划 各发电机组的出力 发电功率 分配方案 在执行调度计划的过程中 还需实时调度承担AGC 自动发电控制 辅助服务的机组出力 以跟踪电网中实时变化的负荷 电网中每条线路上的有功潮流 输电功率和方向 取决于电网结构和各发电机组的出力 电网每条线路上的有功潮流的绝对值有一安全限值 限值还具有一定的相对安全裕度 如果各机组出力分配方案使某条线路上发生输电阻塞时 需要研究如何制订既安全又经济的调度计划 某电网有8台发电机组 6条主要线路 表1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值 方案1 32给出了围绕方案0的一些实验数据 试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式 问题的分析和求解题目中给出了0 32号方案中各条线路上有功潮流与各个发电机组的出力 由这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式 最简单而常用的方法是建立它们之间的线性表达式 因而可以用这些数据直接拟合出各线路的有功潮流关于每个发电机组出力的线性函数关系式 不妨令其中i 1 2 3 4 5 6 根据表一和表二中给出的0 32号方案中各条线路上有功潮流与各个发电机组的出力 用最小二乘法 求拟合函数中的54个系数 归结为以下最小化问题 对上式各参变量求偏导数后 令其偏导数为 就得到了以下线性方程组 求解以上方程组 得到系数aij的值 进而就得到了各线路上的潮流与各机组出力的近似线性关系式为 2 数值积分如果函数f x 在区间 a b 上连续 且原函数为F x 则可用牛顿 莱布尼兹公式来求得定积分 然而 对有些函数来说 找到原函数往往很困难 例如 有的原函数尽管能用初等函数的有限形式表示出来 但表达式过于复杂 也不便使用 特别是在实际问题中 更多的被积函数是用表格或图形表示的 对这种函数 无法用牛顿 莱布尼兹公式求积分 因此 有必要研究用数值方法求定积分的问题 矩形公式 根据黎曼积分的定义方式 如果函数f x 在区间 a b 上可积 则其定积分值可以表示为其中 i xi xi 1 xi xi 1 xi 不妨将区间 a b 进行n等分 则每个分点为xi a ih h xi b a n 若取 i xi 从而有称之为左矩形公式 类似的有右矩形公式和中矩形公式 通过泰勒展开式不难得出 左右矩形公式的误差为其中 左矩形公式示意图 梯形公式 在区间 a b 划分成的n个小区间上对f x 用分段线性插值 构造以为xi xi 1为结点的线性插值多项式从而有该公式的几何意义是 用区间上对应的梯形面积近似代替曲边梯形的面积 故称之为梯形求积公式 在求积区间 a b 上 设 M2 0的常数 根据泰勒公式不难推导出梯形公式的误差为梯形公式示意图 例3 CUMCM2010A题储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐 并且一般都有与之配套的 油位计量管理系统 采用流量计和油位计来测量进 出油量与罐内油位高度等数据 通过预先标定的罐容表 即罐内油位高度与储油量的对应关系 进行实时计算 以得到罐内油位高度和储油量的变化情况 许多储油罐在使用一段时间后 由于地基变形等原因 使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化 以下称为变位 从而导致罐容表发生改变 按照有关规定 需要定期对罐容表进行重新标定 1 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响 利用小椭圆型储油罐 图4 分别对罐体无变位和倾斜角为 4 10的纵向变位两种情况做了实验 实验数据如附件1所示 请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响 并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值 2 对于实际储油罐 图1 试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型 即罐内储油量与油位高度及变位参数 纵向倾斜角度 和横向偏转角度 之间的一般关系 请利用罐体变位后在进 出油过程中的实际检测数据 附件2 根据所建立的数学模型确定变位参数 并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值 进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性 问题的分析和求解 一 小椭圆形储油罐罐容表的标定 1 小椭圆储油罐无变位时的模型 通过积分可以得到储油罐内油的体积随高度h的变化关系式为可以通过积分法求出来将油位高度h间隔为1cm时的体积值计算出来 即就是所求的罐容表 为了和测量值作比较 通过画图给出不同油位高度h下储油量V的理论值和测量值的比较情况 从上图的结果可以看出 理论储油量与实测储油量之间存在较大误差 而且测量值普遍高于理论值 这是由于理论模型忽略了油量探针浸入油内的部分体积 从而导致同样高度下的理论储油量较多 为了简单起见 不妨将该偏差 V V实测 V理论用关于高度h的三次多项式函数来近似 即假设然后 通过不同高度下的V实测 V理论以及其对应的高度h的数据 应用最小二乘数据拟合的方法 就可以求出对应的系数 结果为 通过误差修正之后 得到了修正的储油量公式Vf h VT h V h 进而可以计算出油位高度h间隔为1cm时的罐容表标定值 2 小椭圆储油罐纵向倾斜变位时的模型这时 油位计在油位过高或者过低时将不起作用 因此将储油罐按液面高低分成五个部分 来求其储油量和油位高度h之间的关系 通过积分可以得到储油罐内油的体积随高度h的变化关系式为 根据以上的储油量V和油位高度h的分段函数关系 当罐体纵向倾斜变位 4 1o 后 取油位高度间隔为1cm 然后通过函数关系式计算出罐容表标定值 以上的关系式都是通过积分实现的 而其中一些积分通过积分法无法积出来 因此可以借助数值积分来实现 比如矩形公式或者梯形公式等 例如我们给出函数在第二个分段上的梯形公式 如下 除了公式之外 还可以用matlab的数值积分命令quad来实现 从图中可以看出 与前面的相同 罐体纵向变位后测量值普遍高于理论值 同样的 不妨将该偏差 V V实测 V理论用关于高度h的三次多项式函数来近似 然后 通过不同高度下的V实测 V理论以及其对应的高度h的数据 应用最小二乘数据拟合的方法 就可以求出对应的系数 结果为进而得到修正的储油量公式Vf h V h V h 就可以计算出罐体纵向变位后油位高度h间隔为1cm时的罐容表标定值 3 数值方法模型对于小储油罐纵向变位时的情形 也可以根据实测数据 用数据拟合的方法得到储油量随高度变化的近似关系式 根据附件一的测量数据 首先是倾斜变位时的进油数据 其次是倾斜变位时的出油数据 这两组数据都提供了储油量与其对应高度的测量值 将这两组数据分别用三次多项式进行拟合 得到两个储油量随高度变化的近似关系式 然后将这两个多项式进行平均 就得到了储油量随高度变化的将为准确的关系式 这一方法相对于积分方法来说更为简单 拟合结果为 V1 h 2 4972h3 5 3937h2 0 4491h 0 0421 进油数据拟合效果图 拟合结果为 V2 h 2 8525h3 6 1079h2 0 0056h 0 1274 出油数据拟合效果图 平均可得 V h V1 h V2 h 2 2 6749h3 5 7508h2 0 2274h 0 08475 拟合平均结果和出油进油数据的比较 二 实际储油罐罐容表的标定首先来考虑油罐横向变位 角度之后实际油量高度与测量高度的关系 如下图所示 从而有 其中r为横截面圆的半径 由于实际的储油罐中间是圆柱体 两端为球冠体 因此可以分开讨论 当油罐纵向倾斜 角度时 油罐体积的表达式仍然分为五段 中间的圆柱体部分的体积就是小椭圆形油罐体积在取a b r时的情形 对于两端球冠部分的体积 也可以用积分表示出来 当罐体发生倾斜时 球冠是倾斜的 其体积随高度的变化关系式不易求出 为了简便起见 不妨用无倾斜时球冠的体积随高度的变化关系式来近似代替 容易得出 油罐无变形时球冠部分的体积为 球冠示意图 从而有 油罐纵向倾斜角度