2008年中考试题压轴题精选讲座一-几何与函数问题

1 他山之石可以攻玉他山之石可以攻玉 编者的话编者的话 新课改后的中考数学压轴题已从传统的考察知识点多 难度大 复杂程度高的综合题型 逐步转向数形结合 动态几何 动手操作 实验探究等方向发展 这些压轴题题型繁多 题意 创新 目的是考察学生的分析问题 解决问题的能力 内容包括空间观念 应用意识 推理能 力等 从数学思想的层面上讲 1 运动观点 2 方程思想 3 数形结合思想 4 分类思想 5 转化思想等 但纵观全国各省 市的中考数学试题 它的压轴题均是借鉴于 上年各地的中考试题演变而来 所以 研究上年各地的中考试题 就能找到今年中考数学试题 的热点的形成和命题的动向 它有利于我们教师在教学中研究对策 把握方向 只的这样 学 生能力得以的培养 解题方法 技巧得以掌握 学生才能顺利地解答未来中考的压轴题 20082008 年全国各地中考试题压轴题精选讲座一年全国各地中考试题压轴题精选讲座一 几何与函数问题几何与函数问题 知识纵横知识纵横 客观世界中事物总是相互关联 相互制约的 几何与函数问题就是从量和形的侧面去描 述客观世界的运动变化 相互联系和相互制约性 函数与几何的综合题 对考查学生的双基和 探索能力有一定的代表性 通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式 进一步研究 几何的性质 沟通函数与几何的有机联系 可以培养学生的数形结合的思想方法 典型例题典型例题 例例 1 1 上海市 上海市 已知 如图 是射24ABAD 90DAB ADBC E 线上的动点 点与点不重合 是线段的中点 BCEBMDE 1 设 的面积为 求关于的函数解析式 并写出函数的定义域 BEx ABM yyx 2 如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切 求线段的长 ABDEBE 3 联结 交线段于点 如果以为顶点的三角形与相似 BDAMNAND BME 求 线段的长 BE B A D M E CB A D C 备用图 2 思路点拨 1 取中点 联结 2 先求出 DE 3 分二种情况讨论 ABHMH 例例 2 2 山东青岛 山东青岛 已知 如图 1 在中 RtACB 90C 4cmAC 点由出发沿方向向点匀速运动 速度为 1cm s 点由出发沿3cmBC PBBAAQA 方向向点匀速运动 速度为 2cm s 连接 若设运动的时间为 解ACCPQ s t02t 答下列问题 1 当 为何值时 tPQBC 2 设的面积为 求与 之间的函数关系式 AQP y 2 cmyt 3 是否存在某一时刻 使线段恰好把的周长和面积同时平分 若存在 求tPQRtACB 出此时 的值 若不存在 说明理由 t 4 如图 2 连接 并把沿翻折 得到四边形 那么是否存在某PCPQC QCPQP C 一时刻 使四边形为菱形 若存在 求出此时菱形的边长 若不存在 说明理由 tPQP C 图 1 图 2 思路点拨 1 设 BP 为t 则AQ 2t 证 APQ ABC 2 过点P作PH AC于 H 3 构建方程模型 求t 4 过点P作PM AC于 PN BC于N 若四边形PQP C是 菱形 那么构建方程模型后 能找到对应t的值 例例 3 3 山东德州 山东德州 如图 1 在 ABC中 A 90 AB 4 AC 3 M是AB上的动 点 不与A B重合 过M点作MN BC交AC于点N 以MN为直径作 O 并在 O内作内接 矩形AMPN 令AM x 1 用含x的代数式表示 NP的面积S 2 当x为何值时 O与直线BC相切 3 在动点M的运动过程中 记 NP与梯形BCNM重合的面积为y 试求y关于x的函 数表达式 并求x为何值时 y的值最大 最大值是多少 A B C MN D O A B C M N P O A B C MN P O AQ C P B A Q C P B P 3 图 1 图 2 图 3 思路点拨 1 证 AMN ABC 2 设直线BC与 O相切于点D 连结AO OD 先求出 OD 用x的代数式表示 再过M点作MQ BC 于Q 证 BMQ BCA 3 先找到图 形娈化的分界点 2 然后 分两种情况讨论求的最大值 当 0 2 时 当xyx 2 4 时 x 学力训练学力训练 1 山东威海 山东威海 如图 在梯形ABCD中 AB CD AB 7 CD 1 AD BC 5 点 M N分别在边AD BC上运动 并保持MN AB ME AB NF AB 垂足分别为E F 1 求梯形ABCD的面积 2 求四边形MEFN面积的最大值 3 试判断四边形MEFN能否为正方形 若能 求出正方形MEFN的面积 若不能 请说明理由 2 浙江温州市 浙江温州市 如图 在中 分别RtABC 90A 6AB 8AC DE 是边的中点 点从点出发沿方向运动 过点作于 过点ABAC PDDEPPQBC Q 作交于 当点与点重合时 点停止运动 设 QQRBA ACRQCPBQx QRy 1 求点到的距离的长 DBCDH 2 求关于的函数关系式 不要求写出自变量的取值范围 yx 3 是否存在点 使为等腰三角形 若存在 PPQR 请求出所有满足要求的的值 若不存在 请说明理由 x 3 湖南郴州 湖南郴州 如图 平行四边形ABCD中 AB 5 BC 10 BC边上的高AM 4 E为 BC 边上的一个动点 不与B C重合 过E作直线AB的垂线 垂足为F FE与DC的延长线相 交于点G 连结DE DF 1 求证 BEF CEG 2 当点E在线段BC上运动时 BEF和 CEG的周长之间有什么关系 并说明你的理由 M B D C E F G x A CD ABEF N M A BC D E R P H Q 4 3 设BE x DEF的面积为 y 请你求 出y和x之间的函数关系式 并求出当x为何 值时 y有最大值 最大值是多少 4 浙江台州 浙江台州 如图 在矩形中 点是边上的动ABCD9AB 3 3AD PBC 点 点不与点 点重合 过点作直线 交边于点 再把PBCPPQBD CDQ 沿着动直线对折 点的对应点是点 设的长度为 与矩形PQC PQCRCPxPQR 重叠部分的面积为 ABCDy 1 求的度数 CQP 2 当取何值时 点落在矩形的边上 xRABCDAB 3 求与之间的函数关系式 yx 当取何值时 重叠部分的面积等于矩形面积的 x 7 27 D Q C B P R AB A DC 备用图 1 B A DC 备用图 2 参考答案参考答案 典型例题典型例题 例例 1 1 上海市 上海市 1 取中点 联结 ABHMH 为的中点 M DEMHBE 1 2 MHBEAD 又 ABBE MHAB 得 1 2 ABM SAB MH A 1 2 0 2 yxx 2 由已知得 22 4 2DEx 以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切 ABDE 即 11 22 MHABDE 22 11 4 2 4 2 22 xx 解得 即线段的长为 4 3 x BE 4 3 5 3 由已知 以为顶点的三角形与相似 AND BME 又易证得 DAMEBM 由此可知 另一对对应角相等有两种情况 ADNBEM ADBBME 当时 ADNBEM ADBE ADNDBE DBEBEM 易得 得 DBDE 2BEAD 8BE 当时 ADBBME ADBE ADBDBE 又 DBEBME BEDMEB BEDMEB 即 得 DEBE BEEM 2 BEEM DE A 解得 舍去 即线段的长为 2 1 2x 2 10 x BE 综上所述 所求线段的长为 8 或 2 BE 例例 2 2 山东青岛 山东青岛 1 在 Rt ABC中 5 22 ACBCAB 由题意知 AP 5 t AQ 2t 若PQ BC 则 APQ ABC AC AQ AB AP 5 5 4 2tt 7 10 t 2 过点P作PH AC于H APH ABC BC PH AB AP 3 PH 5 5t tPH 5 3 3 ttttPHAQy3 5 3 5 3 3 2 2 1 2 1 2 3 若PQ把 ABC周长平分 则AP AQ BP BC CQ 解得 24 32 5 tttt 1 t 若PQ把 ABC面积平分 则 即 3t 3 ABCAPQ SS 2 1 2 5 3 t t 1 代入上面方程不成立 不存在这一时刻t 使线段PQ把 Rt ACB的周长和面积同时平分 4 过点P作PM AC于 PN BC于N 若四边形PQP C是菱形 那么PQ PC 图 B AQ P C H 6 PM AC于M QM CM PN BC于N 易知 PBN ABC AB BP AC PN 54 tPN 5 4t PN 5 4t CMQM 解得 42 5 4 5 4 ttt 9 10 t 当时 四边形PQP C 是菱形 9 10 t 此时 3 7 5 3 3 tPM 9 8 5 4 tCM 在 Rt PMC中 9 505 81 64 9 49 22 CMPMPC 菱形PQP C边长为 9 505 例例 3 3 山东德州 山东德州 1 MN BC AMN B ANM C AMN ABC 即 AMAN ABAC 43 xAN AN x 4 3 0 4 S 2 1 33 2 48 MNPAMN SSx xx x 2 如图 2 设直线BC与 O相切于点D 连结AO OD 则AO OD MN 2 1 在 Rt ABC中 BC 5 22 ABAC 由 1 知 AMN ABC 即 AMMN ABBC 45 xMN 5 4 MNx 过M点作MQ BC 于Q 则 5 8 ODx 5 8 MQODx 在 Rt BMQ与 Rt BCA中 B是公共角 BMQ BCA P B AQ P C 图 M N A B C MN D 图 2 O Q A B C M N P 图 1 O 7 BMQM BCAC 5 5 25 8 324 x BMx 25 4 24 ABBMMAxx x 49 96 当x 时 O与直线BC相切 49 96 3 随点M的运动 当P点落在直线BC上时 连结AP 则O点为AP的中点 MN BC AMN B AOM APC AMO ABP AM MB 2 1 2 AMAO ABAP 故以下分两种情况讨论 当 0 2 时 x 2 8 3 xSy PMN 当 2 时 x 2 33 2 82 y 大大 当 2 4 时 设PM PN分别交BC于E F x 四边形AMPN是矩形 PN AM PN AM x 又 MN BC 四边形MBFN是平行四边形 FN BM 4 x 424PFxxx 又 PEF ACB 2 PEF ABC SPF ABS 23 2 2 PEF Sx MNPPEF ySS 2 22 339 266 828 xxxx A B C MN P 图 4 O EF A B C M N P 图 3 O 8 当 2 4 时 x 2 9 66 8 yxx 2 98 2 83 x 当时 满足 2 4 8 3 x x2y 大大 综上所述 当时 值最大 最大值是 2 8 3 x y 例例 3 山东德州 山东德州 1 MN BC AMN B ANM C AMN ABC 即 AMAN ABAC 43 xAN AN x 4 3 0 4 S 2 1 33 2 48 MNPAMN SSx xx x 2 如图 2 设直线 BC 与 O 相切于点 D 连结 AO OD 则 AO OD MN 2 1 在 Rt ABC 中 BC 5 22 ABAC 由 1 知 AMN ABC 即 AMMN ABBC 45 xMN 5 4 MNx 过 M 点作 MQ BC 于 Q 则 5 8 ODx 5 8 MQODx 在 Rt BMQ 与 Rt BCA 中 B 是公共角 BMQ BCA BMQM BCAC x 5 5 25 8 324 x BMx 25 4 24 ABBMMAxx 49 96 当 x 时 O 与直线 BC 相切 49 96 3 随点 M 的运动 当 P 点落在直线 BC 上时 连结 AP 则 O 点为 AP 的中点 MN BC AMN B AOM APC A B C MN D 图 2 O Q A B C M N P 图 3 O A B C M N P 图 1 O 9 AMO ABP AM MB 2 1 2 AMAO ABAP 故以下分两种情况讨论 当 0 2 时 x 2 8 3 xSy PMN 当 2 时 x 2 33 2 82 y 大大 当 2 4 时 设 PM PN 分别交 BC 于 E F x 四边形 AMPN 是矩形 PN AM PN AM x 又 MN BC 四边形 MBFN 是平行四边形 FN BM 4 x 424PFxxx 又 PEF ACB 2 PEF ABC SPF ABS 23 2 2 PEF Sx MNPPEF ySS 2 22 339 266 828 xxxx 当 2 4 时 x 2 9 66 8 yxx 2 98 2 83 x 当时 满足 2 4 8 3 x x2y 大大 综上所述 当时 值最大 最大值是 2 8 3 x y 学力训练学力训练 1 山东威海 山东威海 1 分别过 D C 两点作 DG AB 于点 G CH AB 于点 H AB CD DG CH DG CH 四边形 DGHC 为矩形 GH CD 1 A B C MN P 图 4 O EF CD ABEF N M GH 10 DG CH AD BC AGD BHC 90 AGD BHC HL AG BH 3 2 17 2 GHAB 在 Rt AGD 中 AG 3 AD 5 DG 4 1 74 16 2 ABCD S 大大 2 MN AB ME AB NF AB ME NF ME NF 四边形 MEFN 为矩形 AB CD AD BC A B ME NF MEA NFB 90 MEA NFB AAS AE BF 设 AE x 则 EF 7 2x A A MEA DGA 90 MEA DGA ME DG ME AG AE x 3 4 6 49 4 7 3 8 2 7 3 4 2 xxxEFMES MEFN大大 当 x 时 ME 4 四边形 MEFN 面积的最大值为 4 7 3 7 6 49 3 能 由 2 可知 设 AE x 则 EF 7 2x ME x 3 4 若四边形 MEFN 为正方形 则 ME EF 即 7 2x 解 得 3 4x 10 21 x CD ABEF N M GH 11 EF 4 2114 7272 105 x 四边形MEFN能为正方形 其面积为 00000000 25 196 5 14 2 MEFN S大大大 2 2 浙江温州市 浙江温州市 1 RtA 6AB 8AC 10BC 点为中点 DAB 1 3 2 BDAB 90DHBA BB BHDBAC DHBD ACBC 312 8 105 BD DHAC BC A 2 QRAB 90QRCA CC RQCABC RQQC ABBC 10 610 yx 即关于的函数关系式为 yx 3 6 5 yx 3 存在 分三种情况 当时 过点作于 则 PQPR PPMQR MQMRM 1290 290C 1C 84 cos 1cos 105 C 4 5 QM QP 13 6 425 12 5 5 x 18 5 x 当时 PQRQ 312 6 55 x 6x A BC D E R P H Q M 2 1 A BC D E R P H Q A BC D E R P H Q 12 当时 则为中垂线上的点 PRQR RPQ 于是点为的中点 REC 11 2 24 CRCEAC tan QRBA C CRCA 3 6 6 5 28 x 15 2 x 综上所述 当为或 6 或时 为等腰三角形 x 18 5 15 2 PQR 3 湖南郴州 湖南郴州 1 因为四边形ABCD是平行四边形 所以 ABDGA 所以 BGCEGBFE 所以BEFCEG 2 的周长之和为定值 理由一 BEFCEG 与 过点C作FG的平行线交直线AB于H 因为GF AB 所以四边形FHCG为矩形 所以 FH CG FG CH 因此 的周长之和等于BC CH BH BEFCEG 与 由 BC 10 AB 5 AM 4 可得CH 8 BH 6 所以BC CH BH 24 理由二 由AB 5 AM 4 可知 在 Rt BEF与 Rt GCE中 有 4343 5555 EFBEBFBEGEECGCCE 所以 BEF的周长是 ECG的周长是 12 5 BE 12 5 CE 又BE CE 10 因此的周长之和是 24 BEFCEGAA与 3 设BE x 则 43 10 55 EFxGCx A M x H G F E D CB 13 所以配方得 2 11 43622 10 5 22 55255 yEF DGxxxx AA 2 655121 2566 yx 所以 当时 y有最大值 最大值为 55 6 x 121 6 4 浙江台州 浙江台州 1 如图 四边形是矩形 ABCDABCDA