传染病传播模型9ppt课件.pptVIP

传染病传播问题和自然科学中一些已经有确定规律的问题不同 不可能立即对它做出恰当的假设 建立完善的模型 只能先做出最简单的假设 建立模型 得出结果 分析是否符合实际 然后针对其不合理或不完善处 进行修改或补充假设 逐步得到较为合理的模型 模型1 SI模型 假设条件 1 人群分为易感染者 Susceptible 和已感染者 Infective 两类 以下简称健康者和病人 时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s t 和i t 2 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变 既不考虑生死 也不考虑迁移 并且时间以天为计量单位 3 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 称为日接触率 当病人与健康者有效接触时 使健康者受感染变为病人 根据假设 每个病人每天可使 s t 个健康者变为病人 因为病人数为Ni t 所以每天共有 Ns t i t 个健康者被感染 即病人数Ni t 的增加率为 Ns t i t 于是得到人员流程图如下 进而有 再设初始时刻 t 0 病人的比例为i0 则由s t i t 1 得到初值问题 初值问题的解为 可画出i t t和di dt i的图形为 i t t的图形 di dt i的图形 于是可知 当t 时 i 1 即所有人终将被传染 全变为病人 这显然不符合实际情况 其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈 人群中的健康者只能变成病人 病人不会再变成健康者 然而 这个模型在传染病流行的前期还是可用的 可用它来预报传染病高潮的到来 当i 1 2时 di dt达到最大值 di dt m 这个时刻为 这时病人增加得最快 可以认为是医院的门诊量最大的一天 预示着传染病高潮的到来 是医疗卫生部门关注的时刻 还可以看出 tm与 成反比 因为日接触率 表示给定地区的卫生水平 越小卫生水平越高 所以改善保健设施 提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来 模型2 不考虑出生和死亡的SIS模型 有些传染病如伤风 痢疾等治愈后免疫力很低 可以假定无免疫性 于是病人被治愈后变成健康者 健康者还可以被感染再变成病人 所以在SI模型的基础上 增加一个假设条件就会得到SIS模型 假设条件 1 人群分为易感染者 Susceptible 和已感染者 Infective 两类 以下简称健康者和病人 时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s t 和i t 2 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变 既不考虑生死 也不考虑迁移 并且时间以天为计量单位 3 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 称为日接触率 当病人与健康者有效接触时 使健康者受感染变为病人 4 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 称为日治愈率 病人被治愈后称为仍可被感染的健康者 1 称为这种传染病的平均传染期 如果考虑到假设条件 4 则人员流程图如下 于是有 记初始时刻的病人的比例i0 i0 0 从而SI模型可以修正为 我们称之为Bernolli 贝努里 方程的初值问题 其解析解为 其中 由 和1 的含义可知 是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数 称为接触数 于是有 我们画出di dt i和i t的图形为 di dt i的图形 1 i t t的图形 1 di dt i的图形 1 i t t的图形 1 模型3 考虑出生和死亡的SIS模型 当传染病的传播周期比较长时 若不考虑出生和死亡因素显然不妥 接下来考虑带有出生和死亡情况的SIS模型 假设条件 1 人群分为易感染者 Susceptible 和已感染者 Infective 两类 以下简称健康者和病人 时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s t 和i t 2 在疾病传播期内所考察地区的总人数为N 总认为人口的出生率与死亡率相同 并且新生婴儿全为易感染者 记平均出生率为 则人口的平均寿命为1 3 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 称为日接触率 当病人与健康者有效接触时 使健康者受感染变为病人 4 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 称为日治愈率 病人被治愈后称为仍可被感染的健康者 1 称为这种传染病的平均传染期 在上述的假设条件下 人员流程图如下 于是有 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0 s0 0 和i0 i0 0 从而考虑出生和死亡的SIS模型为 而由s i 1有ds dt di dt 于是 上式的第二个方程变为恒等式 从而模型简化为 如果令 则 仍表示整个传染期内每个病人有效接触的平均人数 即接触数 于是 以下的求解与讨论与不考虑出生和死亡的SIS模型相同 模型4 不考虑出生和死亡的SIR模型 许多传染病如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很强的免疫力 所以病愈的人既非健康者 易感染者 也非病人 已感染者 它们已经退出传染系统 模型的假设条件为 1 人群分为健康者 病人和病愈免疫的移出者 Removed 三类 三类人在总人数N中占的比例分别为s t i t 和r t 2 病人的日接触率为 日治愈率为 传染期接触数为 3 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变 既不考虑生死 也不考虑迁移 并且时间以天为计量单位 在上述的假设条件下 人员流程图如下 由假设条件显然有s t i t r t 1 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0 s0 0 和i0 i0 0 不妨设移出者的初始值r0 0 于是得到SIR模型为如下的初值问题 而由s i r 1有dr dt di dt ds dt 于是 上式的第三个方程变为恒等式 从而模型简化为 上述的初值问题无法求出解析解 只能通过数值解法求出数值解 例如 取 1 0 3 i 0 0 02 s 0 0 98 则求得数值解如下表 相应的i t s t 曲线和i s曲线如下图 SIR模型的i t s t 曲线 SIR模型的i s曲线 在实际应用SIR模型时 模型中的参数经常通过一些统计资料来估计 事实上 能够求出解析解的微分方程模型是非常有限的 所以人们经常利用定性理论从方程本身推出解的相关性质 对于上述的SIR模型 就可以采用相轨线分析的方法 来获得i t s t 的一般变化规律 参教案 略 模型5 考虑出生和死亡的SIR模型 模型的假设 1 人群分为健康者 病人和病愈免疫的移出者 Removed 三类 三类人在总人数N中占的比例分别为s t i t 和r t 2 病人的日接触率为 日治愈率为 传染期接触数为 3 在疾病传播期内所考察地区的总人数为N 总认为人口的出生率与死亡率相同 并且新生婴儿全为易感染者 记平均出生率为 则人口的平均寿命为1 在上述的假设条件下 人员流程图如下 此时由假设条件有s t i t r t 1 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0 s0 0 和i0 i0 0 不妨设移出者的初始值r0 0 于是得到考虑出生和死亡的SIR模型如下 而由s i r 1有dr dt di dt ds d