8.函数的概念与性质

八 函数的概念与性质 考纲要求常考知识点能力要求命题规律 理解函数的概念与性质 掌握指数函数 对数函数与幂 函数的图像与性质 了解函数零点与方程根的联系 了解函数模型的广泛应用 函数的图象与性质 指数 对数函数的单调性 分段函数的取值 函数与方程 不等式的转化 考查考生抽象概括能 力 逻辑推理能力与 运算求解能力 通常每年都有两 题 一题属中等 偏易题 而另一 题则属于中等偏 难题 命题解读 考向 1 函数的概念与性质 包括基本初等函数 分析定位 理解函数概念的核心是从运动与相互联系的角度理解两个变量之间的关系 定 义域 值域与对应法则是函数的三要素 而单调性 奇偶性 对称性等是一个函数特有的 性质 是认识函数的重要桥梁 特别是基本初等函数的性质 常成为命题的重要载体 例 1 20162016 年全国年全国 卷第卷第 8 8 题题 若 则0ab 01c A B loglog ab cc loglog cc ab C D cc ab ab cc 分析 观察题中选项 需通过构造基本初等函数的图象进行比较大小观察题中选项 需通过构造基本初等函数的图象进行比较大小 解 B 选项可考察函数 的单调性 易知其在定义域上递减 B 正确 logcyx 01c C 选项可考察函数 的单调性 易知其在第一象限递增 C 错误 c yx 01c D 选项可考察函数 的单调性 易知其在定义域上递减 D 错误 故选 B x yc 01c 总结 本题既要熟练基本初等函数的图象与性质 也要考生转化成函数的图象与性质问题本题既要熟练基本初等函数的图象与性质 也要考生转化成函数的图象与性质问题 考向 2 函数的零点与方程的根 分析定位 函数的零点与方程的根是考查函数与方程思想 数形结合思想的重要载体 常 放在压轴位置进行考查 例 2 20162016 年全国年全国 卷第卷第 1212 题题 已知函数 满足 若函数 f xx R 2 f xfx 与图像的交点为 则 1 m i i x 2 23yxx yf x 11 x y 22 xy mm xy A B C D 0m2m4m 分析 先由得出关于对称 再判断的对称性 2 xfxf xf1 x 2 23yxx 解 由得的图像关于直线对称 2 f xfx xf1 x 而 它的图像也关于直线对称 22 23 1 4yxxx 1 x 所以与的交点也关于直线对称 并且是成对出现的 xf 2 23yxx 1 x 所以 故选 B m m x m i i 2 2 1 总结 函数的交点 零点问题常放在选择题第函数的交点 零点问题常放在选择题第 12 题考查 此时可能用函数本身的性质解决题考查 此时可能用函数本身的性质解决 也可能用导数工具解决 它们的共同之处就是都要考虑能否借助函数的图像进行解决能否借助函数的图像进行解决 备考启示 1 重视以函数的概念与性质函数的概念与性质为考点的试题 包括 1 考查函数的概念与函数解析式 2 考查函数的奇偶性 单调性与最值 3 考查对函数基本性质的灵活运用 如 20142014 年全国年全国 卷第卷第 1515 题题 偶函数的图像关于直线对称 xfy 2 x3 3 f 则 1 f 分析 因为 的图像关于直线对称 所以 3 3 f xfy 2 x 1 3f 另外是偶函数 所以 考查函数的奇偶性与对称性 xfy 1 f3 20122012 年全国卷第年全国卷第 1616 题题设函数的最大值为 最小值为 2 2 1 sin 1 xx f x x Mm 则 Mm 分析 因为 设 所以的最大值为 2 2sin 1 1 xx f x x 2 2sin 1 xx g x x f x2 2 重视以基本函数基本函数为考点的试题 包括 1 考查指数与对数的运算与性质 2 考查指数函数 对数函数 幂函数的图象与性质 3 考查分段函数的图象与性质 如 20142014 年全国年全国 卷第卷第 1515 题 题 设函数 则使得成立的的取 1 1 3 e 1 1 x x f x xx 2f x x 值范围是 分析 考察函数 幂函数 它们在定义域内都单调递增 所以 1 x ey 3 1 xy 当时 解得 而 所以此时 1x 2 1 x e2ln1 x02ln 1x 当时 解得 所以此时 综上所求 的取值范围是 1x 1 3 2x 8x 18x x 8 20122012 年全国卷第年全国卷第 1111 题题 当时 则的取值范围是 1 0 2 x 4log x a x a A B C D 2 0 2 2 1 2 1 2 2 2 分析 要明白函数随着底数的变化 图象的变化规律 logayx 3 重视以函数的图像函数的图像为考点的题目 包括 1 作图 2 识图 3 用图 20092009 年全国卷第年全国卷第 1212 题 题 用表示三个数中的最小值 设 min a b c a b c 则的最大值为 min 2 2 10 x f xxx 0 x f x A B C D 4567 20152015 年全国年全国 卷第卷第 1212 题题 设函数的图象与的图像关于直线 yf x 2x ay 对称 且 则yx 2 4 1ff a A B C D 1 124 20162016 年全国年全国 卷第卷第 7 7 题 题 函数在的图像大致为 2 2e x yx 2 2 A B C D 分析 分析 常用排除法常用排除法 1 利用 排除 A B 17 28e8 2 22 f 2 当时 存在 使 0 x x xye2 2 x xye4 1 0 0 x0 0 xf 是的极小值点 0 xx xf 十年真题 A 组 1 20112011 年全国卷第年全国卷第 3 3 题题 下列函数中 既是偶函数又在单调递增的函数是 0 A B 3 yx 1yx C D 2 1yx 2 x y 2 20142014 年全国年全国 卷第卷第 5 5 题题 设函数的定义域为 且是奇函数 xgxfR xf 是偶函数 则下列结论中正确的是 xg A 是偶函数 B 是奇函数 xgxf xgxf C 是奇函数 D 是奇函数 xgxf xgxf 3 20082008 年海南宁厦卷第年海南宁厦卷第 7 7 题题 已知 则使得都 123 0aaa 2 1 1 12 3 i a xi 成立的取值范围是 x A B C D 1 1 0 a 1 2 0 a 3 1 0 a 3 2 0 a 4 20162016 年全国年全国 卷第卷第 7 7 题题 已知 则 3 4 2 a 3 2 3 b 3 1 25 c A B cab cba C D acb bac 5 20132013 年全国年全国 卷第卷第 8 8 题题 设 则 3 log 2a 5 log 2b 2 log 3c A B acb bca C D cba cab 6 20162016 年全国年全国 卷第卷第 8 8 题题 若 则0ab 01c A B loglog ab cc loglog cc ab C D cc ab ab cc 7 20162016 年全国年全国 卷第卷第 1010 题题 下列函数中 其定义域和值域分别与函数的定义 lg 10 x y 域和值域相同的是 A B C D yx lgyx 2xy 1 y x 8 20102010 年全国卷第年全国卷第 9 9 题题 设偶函数满足 则 xf 24 0 x f xx 20 x f x A B 24x xx 或 04 x xx 或 C D 06 x xx 或 22 x xx 或 9 20132013 年全国年全国 卷第卷第 9 9 题题 函数在的图像大致为 1 cos sinf xxx 10 20162016 年全国年全国 卷第卷第 9 9 题题 函数在的图像大致为 2 2e x yx 2 2 A B A B C D C D 11 20152015 年全国年全国 卷第卷第 1010 题题 已知函数 且 则 1 2 22 1 log 1 1 x x f x xx 3f a 6 fa A B C D 7 4 5 4 3 4 1 4 12 20072007 年海南宁厦卷第年海南宁厦卷第 1313 题题 设函数为偶函数 则 1 f xxxa a 13 20152015 年全国年全国 卷第卷第 1313 题题 已知函数的图像过点 则 3 2f xaxx 1 4 a 14 20142014 年全国年全国 卷第卷第 1515 题题 设函数 则使得成立的的取 1 1 3 e 1 1 x x f x xx 2f x x 值范围是 15 20142014 年全国年全国 卷第卷第 1515 题题 偶函数的图像关于直线对称 xfy 2 x3 3 f 则 1 f 16 20172017 年全国年全国 卷第卷第 8 8 题题 函数的部分图像大致为 sin2 1 cos x y x 17 20172017 年全国年全国 卷第卷第 9 9 题题 已知函数 则 lnln 2 f xxx A 在 0 2 单调递增 B 在 0 2 单调递减 f x f x C y 的图像关于直线 x 1 对称 D y 的图像关于点 1 0 对称 f x f x 18 20172017 年全国年全国 卷第卷第 8 8 题题 函数的单调递增区间是 82ln 2 xxxf A B C D 2 1 1 4 19 20172017 年全国年全国 卷第卷第 1414 题题 已知函数是定义在 R 上的奇函数 当 x时 fx 0 则 32 2 fxxx 2 f 20 20172017 年全国年全国 卷第卷第 7 7 题题 函数 y 1 x 的部分图像大致为 2 sin x x A B C D B 组 21 20122012 年全国卷第年全国卷第 1111 题题 当时 则的取值范围是 1 0 2 x 4log x a x a A B C D 2 0 2 2 1 2 1 2 2 2 22 20152015 年全国年全国 卷第卷第 1111 题题 如图 长方形的边 是的中ABCD1 2 BCABOAB 点 点沿着边 与运动 记PBCCDDA xBOP 将动点到两点距离之和表示为的函数 P A Bx xf 则的图像大致是 xfy D C B A x y 4 2 3 4 2 2 3 4 2 4 y x x y 4 2 3 4 22 3 4 2 4 y x A B C D 23 20092009 年全国卷第年全国卷第 1212 题题 用表示三个数中的最小值 设 min a b ccba 0 则的最大值为 min 2 2 10 x f xxx x f x A B C D 4567 24 20102010 年全国卷第年全国卷第 1212 题题 已知函数 若均不相等 lg 010 1 6 10 2 xx f x xx cba 且 则的取值范围是 cfbfaf abc A B C D 1 10 5 6 10 12 20 24 25 20112011 年全国卷第年全国卷第 1212 题题 已知函数的周期为 当时 yf x 2 1 1 x 2 f xx 那么函数的图像与函数的图像的交点共有 yf x lg yx A 个 B 个 C 个 D 个10981 26 20132013 年全国年全国 卷第卷第 1212 题题 若存在正数使成立 则的取值范围是x2 1 x xa a A B C D 2 0 1 27 20152015 年全国年全国 卷第卷第 1212 题题 设函数的图象与的图像关于直线 yf x 2x ay 对称 且 则yx 2 4 1ff a A B C D 1 124 28 20162016 年全国年全国 卷第卷第