最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

抽象函数的对称性 奇偶性与周期性常用结论抽象函数的对称性 奇偶性与周期性常用结论 一一 概念概念 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像 只给出一些函 数符号及其满足的条件的函数 如函数的定义域 解析递推式 特定点的函数值 特定的运算性质等 它是高中函数部分的难点 也是大学高等数学函数部分的一 个衔接点 由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体 因此理解研究起来比 较困难 所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力 丰富的想象力以 及函数知识灵活运用的能力 1 1 周期函数的定义 周期函数的定义 对于定义域内的每一个 都存在非零常数 使得恒成立 f xxT f xTf x 则称函数具有周期性 叫做的一个周期 则 也是 f xT f xkT 0kZ k f x 的周期 所有周期中的最小正数叫的最小正周期 f x 分段函数的周期 分段函数的周期 设是周期函数 在任意一个周期内的图像为 C xfy xfy 把个单位即按向量 abTbax abKKTxxfy 轴平移沿 在其他周期的图像 0 xfykTa 平移 即得 bkTakTxkTxfy bkTa kT x ba x kTxf xf xf 2 2 奇偶函数 奇偶函数 设设 baabxbaxxfy 或 若若为奇函数 则称 xfyxfxf 若若 为偶函数则称 xfyxfxf 分段函数的奇偶性分段函数的奇偶性 3 3 函数的对称性 函数的对称性 1 1 中心对称即点对称 中心对称即点对称 点对称 关于点与 2 2 baybxaByxA 对称 关于与点 baybxaBybxaA 成中心对称 关于点与函数 2 2 baxafybxfy 成中心对称 关于点与函数 baxafybxafyb 成中心对称 关于点与 函数 0 2 2 0 baybxaFyxF 2 2 轴对称 对称轴方程为 轴对称 对称轴方程为 0 CByAx 关于 2 2 2222 BA CByAxB y BA CByAxA xByxByxA 与点 直线成轴对称 0 CByAx 函数关于直线 2 2 2222 BA CByAxA xf BA CByAxB yxfy 与 成轴对称 0 CByAx 关于直线0 2 2 0 2222 BA CByAxB y BA CByAxA xFyxF与 成轴对称 0 CByAx 二 二 函数对称性的几个重要结论函数对称性的几个重要结论 一 函数 一 函数图象本身的对称性 自身对称 图象本身的对称性 自身对称 xfy 若 则具有周期性 f xaf xb f x 若 则具有对称性 f axf bx f x 内同表示周期性 内反表示对称性内同表示周期性 内反表示对称性 1 1 图象关于直线图象关于直线对称对称 xbfxaf xfy 22 baxbxa x 推论推论 1 1 的图象关于直线的图象关于直线对称对称 xafxaf xfy ax 推论推论 2 2 的图象关于直线的图象关于直线对称对称 2 xafxf xfy ax 推论推论 3 3 的图象关于直线的图象关于直线对称对称 2 xafxf xfy ax 2 2 的图象关于点的图象关于点对称对称 cxbfxaf2 xfy 2 c ba 推论 1 的图象关于点对称 bxafxaf2 xfy ba 推论 2 的图象关于点对称 bxafxf2 2 xfy ba 推论 3 的图象关于点对称 bxafxf2 2 xfy ba 二 两个函数的图象对称性 相互对称 二 两个函数的图象对称性 相互对称 利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解 利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解 1 偶函数与图象关于 Y 轴对称 xfy xfy 2 奇函数与图象关于原点对称函数 xfy xfy 3 函数与图象关于 X 轴对称 xfy yf x 4 互为反函数与函数图象关于直线对称 xfy 1 yfx yx 5 5 函数函数与与图象关于直线图象关于直线对称对称 xafy xbfy 2 ab x 推论 1 函数与图象关于直线对称 xafy xafy 0 x 推论 2 函数与 图象关于直线 对称 xfy 2 xafy ax 推论 3 函数与图象关于直线对称 xfy 2 xafy ax 三 三 抽象函数的对称性与周期性抽象函数的对称性与周期性 1 1 抽象函数的对称性 抽象函数的对称性 性质性质 1 1 若函数 y f x 关于直线 x a 轴对称 则以下三个式子成立且等价 1 f a x f a x 2 f 2a x f x 3 f 2a x f x 性质性质 2 2 若函数 y f x 关于点 a 0 中心对称 则以下三个式子成立且等价 1 f a x f a x 2 f 2a x f x 3 f 2a x f x 易知 y f x 为偶 或奇 函数分别为性质 1 或 2 当 a 0 时的特例 2 2 复合函数的奇偶性 复合函数的奇偶性 定义定义 1 1 若对于定义域内的任一变量 x 均有 f g x f g x 则复数函数 y f g x 为偶函数 定义定义 2 2 若对于定义域内的任一变量 x 均有 f g x f g x 则复合函数 y f g x 为奇函数 说明 说明 1 1 复数函数 复数函数 f g x f g x 为偶函数 则为偶函数 则 f g f g x x f g x f g x 而不是而不是 f f g x g x f g x f g x 复合函数 复合函数 y y f g x f g x 为奇函数 则为奇函数 则 f g f g x x f g x f g x 而不是而不是 f f g x g x f g x f g x 2 2 两个特例 两个特例 y y f xf x a a 为偶函数 则为偶函数 则 f xf x a a f f x x a a y y f xf x a a 为奇函数 则为奇函数 则 f f x x a a f af a x x 3 3 y y f xf x a a 为偶 或奇 函数 等价于单层函数为偶 或奇 函数 等价于单层函数 y y f x f x 关于直线关于直线 x x a a 轴对称 或关于点 轴对称 或关于点 a a 0 0 中心对称 中心对称 3 3 复合函数的对称性 复合函数的对称性 性质性质 3 3 复合函数 y f a x 与 y f b x 关于直线 x b a 2 轴对称 性质性质 4 4 复合函数 y f a x 与 y f b x 关于点 b a 2 0 中心对称 推论推论 1 1 复合函数 y f a x 与 y f a x 关于 y 轴轴对称 推论推论 2 2 复合函数 y f a x 与 y f a x 关于原点中心对称 4 4 函数的周期性 函数的周期性 若 a 是非零常数 若对于函数 y f x 定义域内的任一变量 x 点有下列条 件之一成立 则函数 y f x 是周期函数 且 2 a 是它的一个周期 f x a f x a f x a f x f x a 1 f x f x a 1 f x 5 5 函数的对称性与周期性 函数的对称性与周期性 性质性质 5 5 若函数 y f x 同时关于直线 x a 与 x b 轴对称 则函数 f x 必 为周期函数 且 T 2 a b 性质性质 6 6 若函数 y f x 同时关于点 a 0 与点 b 0 中心对称 则函 数 f x 必为周期函数 且 T 2 a b 性质性质 7 7 若函数 y f x 既关于点 a 0 中心对称 又关于直线 x b 轴 对称 则函数 f x 必为周期函数 且 T 4 a b 6 6 函数对称性的应用 函数对称性的应用 1 1 若 若 即即kyyhxxkhxfy2 2 对称 则关于点 kxhfxfxfxf2 2 nkxhfxhfxhfxfxfxf nnn 2 2 2 2 1121 2 2 例题 例题 1 1 1 1 2 1 2 1 xfxf aa a xf x x 对称 关于点 2 1012 2 14 1 xfxfxxf x x 对称 关于 1 1 2 1 2 1 0 1 1 x fxfxR x xf 对称 关于 2 2 奇函数的图像关于原点 奇函数的图像关于原点 0 0 0 0 对称 对称 0 xfxf 3 3 若 若的图像关于直线的图像关于直线 2 xfyxafxafxafxf 则或 对称 设对称 设ax 个不同的实数根 则有nxf0 naxaxxaxxaxxxx nnn 2 2 2 22 221121 212 111 axxaxkn 时 必有当 四 常用函数的对称性 四 常用函数的对称性 三 函数周期性的几个重要结论三 函数周期性的几个重要结论 1 的周期为 也是函数的周期 f xTf x 0T xfy TkTkZ 2 的周期为 f xaf xb xfy abT 3 的周期为 xfaxf xfy aT2 4 的周期为 1 xf axf xfy aT2 5 的周期为 1 xf axf xfy aT2 6 的周期为 1 1 xf xf axf xfy aT3 7 的周期为 1 1 xf axf xfy aT2 8 的周期为 1 1 xf xf axf xfy aT4 9 的周期为 2 xfaxfaxf xfy aT6 10 若 2 2 0 p T p pxfpxfp 则 11 有两条对称轴和 周期 xfy ax bx ba xfy 2abT 推论 偶函数满足 周期 xfy xafxaf xfy aT2 12 有两个对称中心和 周期 xfy 0 a 0 b ba xfy 2abT 推论 奇函数满足 周期 xfy xafxaf xfy aT4 13 有一条对称轴和一个对称中心的 xfy ax 0 b ba f x 4abT 四 用函数奇偶性 周期性与对称性解题的常见类型四 用函数奇偶性 周期性与对称性解题的常见类型 灵活应用函数奇偶性 周期性与对称性奇偶性 周期性与对称性 可巧妙的解答某些数学问题 它对训练学生 分析问题与解决问题的能力有重要作用 下面通过实例说明其应用类型 1 1 求函数值求函数值 例例 1 1 19961996 年高考题 设年高考题 设是是上的奇函数 上的奇函数 当当 xf 2 xfxf 时 时 则 则等于 等于 0 5 0 5 10 xxxf 5 7 f A A 0 5 0 5 B B 0 5 0 5 C C 1 5 1 5 D D 1 5 1 5 例例 2 2 19891989 年北京市中学生数学竞赛题 已知年北京市中学生数学竞赛题 已知是定义在实数集上的函数 且是定义在实数集上的函数 且 xf 求求的值的值 1 1 2 xfxfxf 32 1 f 1989 f23 1989 f 2 2 比较函数值大小 比较函数值大小 例例 3 3 若若是以是以 2 2 为周期的偶函数 当为周期的偶函数 当时 时 试比较试比较 Rxxf 1 0 x 1998 1 xxf 的大小的大小 19 98 f 17 101 f 15 104 f 解 是以 2 为周期的偶函数 又在上是增函数 Rxxf 1998 1 xxf 1 0 且 1 15 14 19 16 17 1 0 15 104 19 98 17 101 15 14 19 16 17 1 ffffff 即 3 3 求函数解析式 求函数解析式 例例 4 4 19891989 年高考题 设年高考题 设是定义在区间是定义在区间上且以上且以 2 2 为周期的函数 对为周期的函数 对 xf 用 用表示区间表示区间已知当已知当时 时 求求在在上的解上的解Zk k I 12 12 kk 0 Ix 2 xxf xf k I 析式析式 解 设1211212 12 12 kxkxkkkx 时 有 0 Ix 22 2 2 121 kxkxfkxxxf 得由 是以 2 为周期的函数 xf 2 2 2 kxxfxfkxf 例例 5 5 设 设是定义在是定义在上以上以 2 2 为周期的周期函数 且为周期的周期函数 且是偶函数 在区是偶函数 在区 xf xf 间间上 上 求求时 时 的解析式的解析式 3 2 4 3 2 2 xxf 2 1 x xf 解 当 即 2 3 x 3 2 x 4 3 24 3 2 22 xxxfxf 又是以 2 为周期的周期函数 于是当 即时 xf 2 1 x243 x 21 4 1 243 4 2 4 2 2 xxxxf xfxf有 21 4 1 2 2 xxxf 4 4 判断函数奇偶性 判断函数奇偶性 例例 6 6 已知已知的周期为的周期为 4 4 且等式 且等式对任意对任意均成立 均成立 xf 2 2 xfxf Rx 判断函数判断函数的奇偶性的奇偶性 xf 解 由的周期为 4 得 由得 xf 4 xfxf 2 2 xfxf 故为偶函数 4 xfxf xfxf xf 5 5 确定函数图象与 确定函数图象与轴交点的个数轴交点的个数x 例例 7 7 设函数设函数对任意实数对任意实数满足满足 xfx 2 2 xfxf 7 xf 判断函数判断函数图象在区间图象在区间上与上与轴至少有多少个交点轴至少有多少个交点 0 0 7 fxf且 xf 30 30 x 解 由题设知函数图象关于直线和对称 又由函数的性质得 xf2 x7 x 是以 10 为周期的函数 在一个周期区间上 xf 10 0 0 0 22 22 4 0 0 不能恒为零且xffffff 故图象与轴至少有 2 个交点 xfx 而区间有 6 个周期 故在闭区间上图象与轴至少有 13 个 30 30 30 30 xfx 交点 6 6 在数列中的应用 在数列中的应用 例例 8 8 在数列在数列中 中 求数列的通项公式 并计算 求数列的通项公式 并计算 n a 2 1 1 3 1 1 1 n a a aa n n n 1997951 aaaa 分析 此题的思路与例 2 思路类似 解 令则 1 tga 4 1 1 1 1 1 1 2 tg tg tg a a a 4 1 1 1 4 1 4 2 4 1 4 1 1 1 1 1 1 2 2 3 ntg a a antga tg tg tg a a a n n nn 于是 不难用归纳法证明数列的通项为 且以 4 为周期 44 ntgan 于是有 1 5 9 1997 是以 4 为公差的等差数列 由得总项数为 500 项 1997951 aaaa 4 1 11997 n 3500500 11997951 aaaaa 7 7 在二项式中的应用 在二项式中的应用 例例 9 9 今天是星期三 试求今天后的第今天是星期三 试求今天后的第天是星期几 天是星期几 92 92 分析 转化为二项式的展开式后 利用一周为七天这个循环数来进行计算即可 解 191919191 191 92 91 92 290 92 911 92 920 92 9292 CCCC 1 137 137 137 137 1137 92 91 92 290 92 911 92 920 92 9292 C CCC 因为展开式中前 92 项中均有 7 这个因子 最后一项为 1 即为余数 故天为星期四 92 92 8 8 复数中的应用 复数中的应用 例 10 上海市 1994 年高考题 设 则满足等式 2 3 2 1 是虚数单位iiz 且大于 1 的正整数中最小的是 zz n n A 3 B 4 C 6 D 7 分析 运用方幂的周期性求值即可 iz 2 3 2 1 解 10 1 11 nnn zzzzz 4 1 13 31 31 1 min 3 Bnnk Nkkn Nkknnz 故选择最小时 即的倍数必须是 9 9 解 解 立几立几 题题 例 11 ABCD 是单位长方体 黑白二蚁都从点 A 出发 沿棱向前爬行 每走 1111 DCBA 一条棱称为 走完一段 白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是 111 DAAA 它们都遵循如下规则 所爬行的第段所在直线与第 段所在直线必 1 BBAB2 ii 须是异面直线 其中 设黑白二蚁走完第 1990 段后 各停止在正方体的某个顶点处 Ni 这时黑白蚁的距离是 A 1 B C D 0 23 解 依条件列出白蚁的路线 CBCCCDDAAA 111111 立即可以发现白蚁走完六段后又回到了 A 点 可验证知 黑白二蚁 1 AABA 走完六段后必回到起点 可以判断每六段是一个周期 1990 6 因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置 不难计算出4331 在走完四段后黑蚁在点 白蚁在 C 点 故所求距离是 1 D 2 例题与应用例题与应用 例例 1 1 f x 是 R 上的奇函数 f x f x 4 x 0 2 时 f x x 求 f 2007 的 值 例例 2 2 已知 f x 是定义在 R 上的函数 且满足 f x 2 1 f x 1 f x f 1 2 求 f 2009 的值 故 f 2009 f 251 8 1 f 1 2 例 3 已知 f x 是定义在 R 上的偶函数 f x f 4 x 且当时 f x 0 2 x 2x 1 则当时求 f x 的解析式 6 4 x 例 4 已知 f x 是定义在 R 上的函数 且满足 f x 999 f 999 x f 999 x 1 xf 试判断函数 f x 的奇偶性 例 5 已知 f x 是定义在 R 上的偶函数 f x f 4 x 且当时 f x 是 0 2 x 减函数 求证当时 f x 为增函数 6 4 x 例例 6 6 f x 满足 f x f 6 x f x f 2 x 若 f a f 2000 a 5 9 且 f x 在 5 9 上单调 求 a 的值 例 7 已知 f x 是定义在 R 上的函数 f x f 4 x f 7 x f 7 x f 0 0 求在区间 1000 1000 上 f x 0 至少有几个根 解 依题意 f x 关于 x 2 x 7 对称 类比命题 2 2 可知 f x 的一个周期是 10 故 f x 10 f x f 10 f 0 0 又 f 4 f 0 0 即在区间 0 10 上 方程 f x 0 至少两个根 又 f x 是周期为 10 的函数 每个周期上至少有两个根 因此方程 f x 0 在区间 1000 1000 上至少有 1 401 个根 10 2000 2 例例 1 1 函数 y f x