数学北师大版九年级上册第一课时.doc

第二章一元二次方程1.了解一元二次方程及有关概念.2.会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法.4.提出问题、分析问题,建立一元二次方程的数学模型,并用该模型解决实际问题.1.通过丰富的实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型,根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念.2.通过掌握形如(xm)2n(n0)的一元二次方程的解法直接开平方法,导入用配方法解一元二次方程,再通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程.3.通过用已学的配方法解方程ax2bxc0(a0)推导出一元二次方程的求根公式,导入用公式法解一元二次方程.4.通过实例探索一元二次方程的根与系数的关系.1.经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.2.经历用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想.3.经历设置丰富的问题情境,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.本章的主要内容包括:一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法),运用一元二次方程分析和解决实际问题.其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容.方程思想是科学研究中重要的数学思想,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习做好准备.数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固.在总体设计思路上,本章遵循了“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的模式,首先通过具体的问题情境建立有关方程,并归纳出一元二次方程的有关概念,然后探索其各种解法,并在现实情境中加以应用,切实提高学生的应用意识和能力.具体来讲,第1节通过丰富的实例,如“地毯四周有多宽”“梯子的底滑动多少米”等问题,建立一元二次方程,让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念,并从中体会方程的模型思想;第24节通过具体方程逐步探索解一元二次方程的配方法、公式法、因式分解法;第5节在求根公式的基础上,探索一元二次方程的根与系数的关系;第6节再次通过几个问题情境加强一元二次方程的应用.【重点】1.一元二次方程及其他有关的概念.2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.【难点】1.用配方法解一元二次方程及实际问题.2.用公式法解一元二次方程时的讨论.3.一元二次方程的根的判别式的相关知识.4.一元二次方程的根与系数的关系.5.建立一元二次方程实际问题的数学模型,理解方程的解与实际问题的解的区别.1.联系已有的相关知识,如一次方程、方程组,以及函数知识,进一步提高学生整体应用数学建模思想的意识和能力.一元二次方程的解法中,渗透“降次”的转化思想,体会不同解法的优缺点与相互的联系,培养学生灵活解一元二次方程的能力与扎实的运算功底,对实际问题的探索不要以繁、难、偏、旧的问题作为学生探究性学习的题材.2.对于“一元二次方程的根的判别式”,为了教学,应适当添加习题,使学生理解一元二次方程的根的存在情况与系数的关系.3.对于“一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)”,为了后续学习(包括初、高中函数的学习)的方便,可根据学生情况,在教学中安排1-2课时,组织学生进行这方面的简单探究活动.4.对于含字母系数的一元二次方程的解法,建议老师们应以至少一节课的内容加以补充,添加适当的习题.1认识一元二次方程2课时2用配方法求解一元二次方程2课时3用公式法求解一元二次方程2课时4用因式分解法求解一元二次方程1课时*5一元二次方程的根与系数的关系1课时6应用一元二次方程2课时1认识一元二次方程理解一元二次方程及其相关概念.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.经历估计一元二次方程的解的过程,增进对方程的解的认识,进一步培养估算意识和能力,发展数感.【重点】一元二次方程的概念及一般形式.【难点】1.由实际问题向数学问题转化的过程.2.正确识别一般形式中的“项”及“系数”.第课时了解一元二次方程的概念和它的一般形式,会根据实际问题列一元二次方程.经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.在列方程的过程中体会一元二次方程是刻画现实世界的重要模型.【重点】一元二次方程的概念和一般形式.【难点】正确理解和掌握一般形式中的“a0”,“项”和“系数”.【教师准备】预设学生学习过程中存在的问题.【学生准备】复习有关方程的知识.导入一:幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如图所示),你能求出这个宽度吗?如果设所求的宽度为x m,那么你能列出怎样的方程?导入二:观察下面等式:102112122132142.你还能找出五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?如果将这五个连续整数中的第一个数设为x,那么怎样用含x的代数式表示其余四个数?根据题意,你能列出怎样的方程?导入三:如下图所示,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m,如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米?你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗?如果设梯子底端滑动x m,那么你能列出怎样的方程?教师给出图片,学生观察、思考,然后教师提问,学生回答.设计意图通过以上三个实例,在具体的情境中巩固列方程的一般思路,为概念的提出赋予实际的意义.一、一元二次方程的概念思路一过渡语什么样的方程是一元二次方程呢?由上面的三个问题,我们可以得到三个方程:(8-2x)(5-2x)18;x2(x1)2(x2)2(x3)2(x4)2;(x6)272102.这三个方程有什么共同特点?归纳:上面的方程经过整理后都是只含有个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2bxc0(a,b,c为常数,a0)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.知识拓展符合一元二次方程即符合以下三个条件:只含有一个未知数;未知数的最高次数为2;是整式方程.我们把ax2bxc0(a,b,c为常数,a0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别为二次项系数和一次项系数.设计意图在方程的比较中得到概念,能够体现出合作探究的意识,同时提高了学生的归纳能力.思路二下面给出的方程与我们学习过的方程存在哪些相同点和不同点?(x-4)2(x-2)2x2;(30-2x)(20-2x)200.先让学生在小组内讨论交流,然后回答问题.教师总结:相同点:都是整式方程,都只含有一个未知数.不同点:一元一次方程中未知数的最高次数是1,而这些方程中未知数的最高次数是2.问题:类比一元一次方程,你能给这样的方程起个名字吗?带着这个问题,请大家填写下面的空格:像这样,等号两边都是式,只含有个未知数(一元),并且未知数的最高次数是(二次)的方程叫做一元二次方程.强调:一元二次方程必须是整式方程,且一元二次方程和一元一次方程都属于一元方程.【师生活动】现在请同学们观察下列方程,然后判断哪些是一元二次方程.(1)x22x-40;(2)3x34x9;(3)3y2-5x7;(4)3x2x1;(5)y2-3y0;(6)a251.【师】大家先观察这六个方程,它们都是整式方程吗?如果不都是,请告诉老师,哪个方程不是整式方程?【生】(4)不是整式方程.【师】哦,你真棒!方程(4)不是整式方程,那它肯定就不是一元二次方程了,好,我们把它排除.接下来,大家继续观察,告诉老师,哪些方程不是一元的?【生】(3)不是一元的.【师】嗯,很好!方程(3)含有x和y两个未知数,所以它不是一元的,那它也就不是一元二次方程了,好,排除它.我们继续观察,谁能告诉老师,哪些方程不是二次方程?【生】(2)不是二次方程.【师】很好!方程(2)中未知数的最高次数是3,所以它不是一元二次方程,说的很棒!将它排除.现在剩下了方程(1),(5),(6),观察一下它们都具备一元二次方程定义里面的三要素吗?【生】具备.【师】嗯,最终我们可以确定方程(1),(5),(6)是一元二次方程.教师让学生再举出一些不是一元二次方程的方程,以加深学生对一元二次方程概念的理解掌握.设计意图通过问题的设计与讲解,类比一元一次方程和分式方程的定义学习一元二次方程,可使学生深刻理解一元二次方程的定义,掌握定义中的三要素,实现对定义由认识、记忆到理解、掌握的过渡,以达到质的飞跃.二、例题讲解过渡语刚刚我们学习了什么是一元二次方程,现在我们通过下面的几个例题来看看同学们理解的怎么样.判断下列方程是否是一元二次方程.(1)2x-13x2-320;(2)2x2-x50;(3)ax2bxc0;(4)4x2-1x70.解:(1)(2)符合一元二次方程的概念,方程(3)中的a等于0时,方程不是一元二次方程,(4)不是整式方程,所以(3)和(4)都不是一元二次方程.过渡语下面我们再通过一个例题来理解一下一元二次方程的一般形式及二次项系数、一次项系数和常数项.把方程3x(x-1)2(x2)8化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x2x48,移项,合并同类项,得3x2-5x-120,二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是-12.设计意图通过例题的讲评,进一步加强学生对一元二次方程相关概念的理解,从而突破本节课的重点和难点.知识拓展对于一元二次方程的一般形式的理解应注意以下四点:(1)“a0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分,因为方程ax2bxc0只有当a0时,才叫做一元二次方程,当a0,b0时,它是一元一次方程.(2)任何一个一元二次方程,经过整理都可以变为一般形式.(3)二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的,所以求一元二次方程的各项系数时,必须先将方程化为一般形式.(4)要分清二次项与二次项系数、一次项与一次项系数.1.只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化为ax2bxc0(a,b,c为常数,a0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式:ax2bxc0(a0).ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.1.下列6个方程:(1)3x213x2;(2)yy5;(3)y22x-30;(4)mnx2(mn)x10;(5)x2-23x40;(6)1y2y30.其中是一元二次方程的是.(填序号)解析:一元二次方程要符合以下三个条件:只含有一个未知数;未知数的最高次数为2;是整式方程.故只有(1)(5)是一元二次方程.故填(1)(5).2.将方程3x25x2化为一元二次方程的一般形式为.解析:一元二次方程的一般形式为ax2bxc0(a0),注意移项时要注意变号,答案为3x2-5x-20.故填3x2-5x-20.3.一元二次方程2x24x-10的二次项系数、一次项系数及常数项之和为.解析:二次项系数为2,一次项系数为4,常数项为-1,所以它们的和为24(-1)5.故填5.4.下列方程中,是一元二次方程的是()A.13x25x2B.2x37x-20C.x21x23D.7x-152解析:本题主要考查一元二次方程的概念.观察选项,只有A中的方程是一元二次方程.故选A.第1课时1.一元二次方程的概念2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第32页随堂练习.【选做题】教材第32页习题2.1的3题.二、课后作业【基础巩固】1.一元二次方程的一般形式是.2.将方程-5x216x化成一般形式为.3.将方程(x1)22x化成一般形式为.4.方程2x2-8化成一般形式后,一次项系数为,常数项为.5.方程5(x2-2x1)-32x2的一般形式是,其二次项是,一次项是,常数项是.【能力提升】6.若ab0,则1ax21bx0的常数项是.7.若方程ax25(x2)(x-1)是关于x的一元二次方程,则a.8.关于x的方程(m-4)x2(m4)x2m30,当时,是一元二次方程,当时,是一元一次方程.【拓展探究】9.已知关于x的方程(k-2)x2-kxx2-1.(1)当k为何值时,方程为一元二次方程?(2)当k为何值时,方程为一元一次方程?【答案与解析】1.ax2bxc0(a,b,c为常数,a0)(解析:要注意不能漏掉括号内的条件.)2.-5x2-6x10(解析:要注意答案不唯一,如可以是5x26x-10.)3.x210(解析:也可以是-x2-10.)4.08(解析:整理成一般形式为2x280,没有一次项,故一次项系数为0,常数项为8.)5.5x2-22x305x2-22x36.07.1(解析:先整理成一般形式,即(a-1)x2-x70,再使二次项系数不为0,则a1.)8.m4m49.解:方程可化为(k-3)x2-kx10.(1)若方程为一元二次方程,则k-30,即k3.(2)若方程为一元一次方程,则k-30,k0,解得k3.在实际教学中,有的学生对概念背得很熟,但在准确和熟练应用方面较差,缺乏应变能力.针对学生存在的这些问题,本节课突出对概念形成过程的教学,采用探索发现的方法研究概念,并引导学生进行创造性学习.教学中,运用启发引导的方法让学生从实际的问题出发,观察发现并归纳出一元二次方程的概念,启发学生发现规律,并总结规律,最后达到解决问题的目的.学生对于将一元二次方程化为一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时,部分学生容易忽略符号,作为第一次学习,这是难免的.本课时设计的教学内容主要是一元二次方程的概念的推导和应用.在课堂教学中,可先从具体的背景出发,激发学生的学习兴趣,体会一元二次方程的使用价值,然后通过例题和练习进一步巩固对概念的理解.随堂练习(教材第32页)1.解:(答案不唯一)设直角三角形的三边长分别为x-1,x,x1(x1),根据题意,得(x-1)2x2(x1)2,化成一般形式为x2-4x0.鼓励学生选定不同的量设为未知数,列出不同的方程.2.解:(答案不唯一)原方程可以化为5x236x-320,二次项系数是5,一次项系数是36,常数项是-32.习题2.1(教材第32页)1.解:(1)设这个正方形的边长是x m(x0),根据题意,得(x5)(x2)54,即x27x-440.(2)设三个连续整数依次为x,x1,x2,根据题意,得x(x1)x(x2)(x1)(x2)242,即x22x-800.允许学生选