球的表面积和体积.ppt

球的体积和表面积 掌握球的体积 表面积公式 掌握球的表面积公式 体积公式的推导过程及主要思想进一步理解分割 近似求和 精确求和的思想方法 会用球的表面积公式 体积公式解快相关问题 培养学生应用数学的能力 能解决球的截面有关计算问题及球的 内接 与 外切 的几何体问题 教学目标 球的体积公式的推导 球的体积公式及应用 球的表面积公式及应用 球的表面积公式的推导 教学重点 教学难点 重点难点 一 创设情境 1 在太空中存在着多颗星球 科学家为了比较各个星球的大小 需要计算它们的表面积和体积 但是星球的形状不同于柱体 椎体 台体 而是近似于球体 那么如何进行计算呢 2 球队大小是与球的半径有关 如何用球半径来表示球的体积和表面积 二 探究新知 1 球的体积如果用一组等距离的平面去切割球 当距离很小时会得到很多 小圆片 小圆片 的体积之和正好是球的体积 由于 小圆片 近似于圆柱形状 所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积 因此求球的体积可以按 分割 求和 化为准确和 的方法来进行 步骤 第一步 分割如图 把半球垂直于底面的半径OA作n等分 过这些等分点 用一组平行于底面的平面把半球切割成n个 小圆片 小圆片 厚度近似为 底面是 小圆片 的底面 第二步 求和 第三步 化为准确和 练习 有一种空心钢球 质量为142g 测得外径等于5 0cm 求它的内径 钢的密度为7 9g cm3 精确到0 1cm 解 设空心钢球的内径为2xcm 则钢球的质量是 答 空心钢球的内径约为4 5cm 由计算器算得 球面不能展开成平面图形 所以求球的表面积无法用展开图求出 如何求球的表面积公式呢 回忆球的体积公式的推导方法 得到启发 可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式 球的表面积 第一步 分割 球面被分割成n个网格 表面积分别为 则球的表面积 则球的体积为 第二步 求近似和 由第一步得 第三步 化为准确和 如果网格分的越细 则 小锥体 就越接近小棱锥 练习 长方体的一个顶点上三条棱长分别为3 4 5 若它的八个顶点都在同一球面上 则这个球的表面积是 分析 长方体内接于球 则由球和长方体都是中心对称图形可知 它们中心重合 则长方体对角线与球的直径相等 2 2 2 2 1 1 50 4 42 5 2 R S 2R 3 R D D B Rt p p D 中 略解 三 典例分析 如图 圆柱的底面直径与高都等于球的直径 求证 1 球的表面积等于圆柱的侧面积 2 球的表面积等于圆柱全面积的三分之二 四 巩固深化 1 正方体的内切球和外接球队体积比为 表面积之比为1 3 2 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面 它们的面积分别为49和400 求球的表面积 答案 2500 4 若球半径变为原来的2倍 则表面积变为原来的 4 倍 5 若两球表面积之比为1 2 则其体积之比是 6 若两球体积之比是1 2 则其表面积之比是 3 若球的表面积变为原来的2倍 则半径变为原来的 倍 1 了解球的体积 表面积推导的基本思路 分割 求近似和 化为标准和的方法 是一种重要的数学思想方法 极限思想 它是今后要学习的微积分部分 定积分 内容的一个应用 2 熟练掌握球的体积