运动学典型问题及解决方法

1 物理学科培训师辅导讲义 课课 题题运动学典型问题及解决方法运动学典型问题及解决方法 教学目标教学目标相遇 追及与避碰问题 重点 难点重点 难点相遇 追及与避碰问题 考点及考试要求考点及考试要求相遇 追及与避碰问题 教学内容教学内容 运动学典型问题及解决方法运动学典型问题及解决方法 基础知识基础知识 一 相遇 一 相遇 追及与避碰问题追及与避碰问题 对于追及问题的处理 要通过两质点的速度比较进行分析 找到隐含条件 即速度相同时 而质点距离 最大或最小 再结合两个运动的时间关系 位移关系建立相应的方程求解 必要时可借助两质点的速 度图象进行分析 二 追击类问题的提示二 追击类问题的提示 1 匀加速运动追击匀速运动 当二者速度相同时相距最远 2 匀速运动追击匀加速运动 当二者速度相同时追不上以后就永远追不上了 此时二者相距最近 3 匀减速直线运动追匀速运动 当二者速度相同时相距最近 此时假设追不上 以后就永远追不上 了 4 匀速运动追匀减速直线运动 当二者速度相同时相距最远 5 匀加速直线运动追匀加速直线运动 应当以一个运动当参照物 找出相对速度 相对加速度 相对 位移 规律方法规律方法 1 追及问题的分析思路 追及问题的分析思路 1 根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质 列出两个物体的位移方程 并注意两物体运动时间之间 的关系 2 通过对运动过程的分析 画出简单的图示 找出两物体的运动位移间的关系式 追及的主要条件是 两个物体在追上时位置坐标相同 3 寻找问题中隐含的临界条件 例如速度小者加速追赶速度大者 在两物体速度相等时有最大距离 速度大者减速追赶速度小者 在两物体速度相等时有最小距离 等等 利用这些临界条件常能简化解题 过程 4 求解此类问题的方法 除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外 还有利用二次 函数求极值 及应用图象法和相对运动知识求解 例 1 羚羊从静止开始奔跑 经过 50m 能加速到最大速度 25m s 并能维持一段较长的时间 猎豹从 静止开始奔跑 经过 60 m 的距离能加速到最大速度 30m s 以后只能维持此速度 4 0 s 设猎豹距离羚羊 xm 时开时攻击 羚羊则在猎豹开始攻击后 1 0 s 才开始奔跑 假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速 运动 且均沿同一直线奔跑 求 猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊 x 值应在什么范围 解析 先分析羚羊和猎豹各自从静止匀加速达到最大速度所用的时间 再分析猎豹追上羚羊前 两者所 发生的位移之差的最大值 即可求 x 的范围 第第 5 5 课课 2 设猎豹从静止开始匀加速奔跑 60m 达到最大速度用时间 t2 则 1 1 1 2 t v s s v s t4 30 6022 1 1 1 羚羊从静止开始匀加速奔跑 50m 达到最大速度用时间 t1 则 2 2 2 2 t v s s v s t4 25 5022 2 2 2 猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊 则猎豹减速前的匀速运动时间最多 4s 而羚羊最多匀速 3s 而被 追上 此 x 值为最大值 即 x S豹 S羊 60 30 4 50 25 3 55m 所以应取 x 55m 例 2 一辆小车在轨道 MN 上行驶的速度 v1可达到 50km h 在轨道外的平地上行驶速度 v2可达到 40km h 与轨道的垂直距离为 30km 的 B 处有一基地 如图所示 问小车从基地 B 出发到离 D 点 100km 的 A 处的过程中最短需要多长时间 设小车在不同路面上的运动都是匀速运动 启动时的加速时 间可忽略不计 解析 建构合理的知识体系 巧用类比 触发顿悟性联想 显然 用常规解法是相当繁琐的 我们知道 光在传播过程中 走 的 是时间最短的路径 可见 我们可以把小车的运动类比为光的全反射现象的临界状态 如图所示 根 据临界角知识得 sinC v2 v1 4 5 由图得 sinC x 小车运动时间 t 100 x vl 22 30 x v2由以上几式可得 c 40km t 2 45h 22 30 x 例 3 高为 h 的电梯正以加速度 a 匀加速上升 忽然天花板上一颗螺钉脱落 螺钉落到电梯底板上所 用的时间是多少 解析 此题为追及类问题 依题意画出反映这一过程的示意图 如图 2 27 所 示 这样至少不会误认为螺钉作自由落体运动 实际上螺钉作竖直上抛运动 从 示意图还可以看出 电梯与螺钉的位移关系 S梯一 S钉 h 式中 S梯 vt 十 at2 S钉 vt gt2 可得 t agh 2 错误错误 学生把相遇过程示意图画成如下图 则会出现 S梯 S钉 h 式中 S梯 v0t 十 at2 S钉 v0t gt2 这样得到 v0t 十 at2 v0t gt2 h 即 a g t2 2v0t h 0 由于未知 v0 无法解得结果 判别方法是对上述方程分析 应该是对任何时间 t 都能相遇 即上式中的 4v02 2 a g h 0 也就是 v0 这就对 a 与 g 关系有了限制 而事实上不应有这样的 2 hga 限制的 点评点评 对追及类问题分析的关键是分析两物体运动的运动过程及转折点的条件 可见 在追赶过程中 速度相等是一个转折点 要熟记这一条件 在诸多的物理问题中存在 隐蔽条件 这类问题往往是难题 V0 a 10 于是 如何分析出 隐蔽条件 成为一个很重要的问题 一般是根据物理过程确定根据物理过程确定 该题中 隐蔽条件 就 是当两车速度相同时距离最大 解析后 问题就迎刃而解 2 相遇问题的分析思路 相遇问题的分析思路 相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形 其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同 1 列出两物体运动的位移方程 注意两个物体运动时间之间的关系 2 利用两物体相遇时必处在同一位置 寻找两物体位移间的关系 3 寻找问题中隐含的临界条件 4 与追及中的解题方法相同 例 4 在某铁路与公路交叉的道口外安装的自动拦木装置如图所示 当高速列车到达 A 点时 道口 公路上应显示红灯 警告来越过停 车线的汽车迅速制动 而且超 过停车线的汽车能在列车到达道口前安全通过道口 已知高速列车 的速度 V1 120km h 汽车过道口的速度 V2 5km h 汽车驶至停车线 时立即制动后滑行的距离是 S0 5m 道口宽度 s 26m 汽车长 l 15m 若栏木关闭时间 tl 16s 为保障安全需多加时间 t2 20s 问 列车从 A 点 到道口的距离 L 应为多少才能确保行车安全 解析 由题意知 关闭道口时间为 16s 为安全保障再加 20s 即关 闭道口的实际时间为 t0 20 16 36s 汽车必须在关闭道口前已通过道口 汽车从停车线到通过道口实际 行程为 S 26 5 15 46m 需用时 由此亮起红灯的时间为 T t0 t2 故 A 点离道口的距离 2 46 3600 5000 t 应为 L V1T 2304m 12000046 36 36 360050 例 5 火车以速度 Vl匀速行驶 司机发现前方同轨道上相距 S 处有另一火车沿同方向以速度 V2 对 地 且 V1 V2 做匀速运动 司机立即以加速度 a 紧急刹车 要使两车不相撞 a 应满足什么条件 解法一 后车刹车后虽做匀减速运动 但在其速度减小至和 V2相等之前 两车的距离仍将逐渐减小 当后车速度减小至小于前车速度 两车距离将逐渐增大 可见 当两车速度相等时 两车距离最近 若 后车减速的加速度过小 则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追上前车 发生撞车事故 若后 车加速度过大 则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍未过上前车 根本不可能发生撞车事故 若 后车加速度大小为某值时 恰能使两车在速度相等时后车追上前车 这正是两车恰不相撞的临界状态 此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度 综上分析可知 两车恰不相撞时应满足下列两方程 V1t a0t2 2 V2t S V1 a0t V2 解之可得 a0 所以当 a 时 两车即不会相撞 S VV 2 2 12 S VV 2 2 12 解法二 要使两车不相撞 其位移关系应为 V1t at2 2 S V2t 即 at2 2 V2 V1 t S 0 对任一时间 t 不等式都成立的条件为 V2 V1 2 2as 0 由此得 a S VV 2 2 12 解法三 以前车为参照物 刹车后后车相对前车做初速度 V0 V1 V2 加速度为 a 的匀减速直线运 动 当后车相对前车的速度成为零时 若相对位移 S S 则不会相撞 故由 11 S V02 2a V1 V2 2 2a S 得 a S VV 2 2 12 点评点评 三种解法中 解法一注重对运动过程的分析 抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来 求解 解法二中由位移关系得到一元二次方程 然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系 这 也是中学物理中常用的数学方法 解法三通过巧妙地选取参照物 使两车运动的关系变得简明 说明说明 本题还可以有多种问法 如 以多大的加速度刹车就可以不相碰 两车距多少米就可以不相碰 货车的速度为多少就可以不相碰 等 但不管哪一种问法 都离不开 两车速度相等 这个条件 例 6 甲 乙两车相距 S 同时同向运动 乙在前面做加速度为 a1 初速度为零的匀加速运动 甲在 后面做加速度为 a2 初速度为 v0的匀加速运动 试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系 分析 由于两车同时同向运动 故有 v甲 v0 a2t v乙 a1t 当 al a2时 alt a2t 可得两车在运动过程中始终有 V甲 V乙 由于原来甲在后 乙在前 所 以甲 乙两车的距离在不断缩短 经过一段时间后甲车必然超过乙车 且甲超过乙后相距越来越大 因 此甲 乙两车只能相遇一次 当 al a2时 alt a2t 可得 v甲 v0 v乙 同样有 v甲 v乙 因此甲 乙两车也只能相遇一次 当 al a2时 alt a2t v甲和 v乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化 刚开始 alt 和 a2t 相差不大且甲有初速 v0 所以 v甲 v乙 随着时间的推移 alt 和 a2t 相差越来越大 当 alt a2t v0 时 v甲 v乙 接下来 alt a2t v0 则有 v甲 v乙 若在 v甲 v乙之前 甲车还没有超过乙车 随后由于 v甲 v乙 甲车就没有机会超过乙车 即两车不相遇 若在 v甲 v乙时 两车刚好相遇 随后 v甲 v乙 甲车又要落后乙车 这样两车只能相遇一次 若在 v甲 v乙前 甲车已超过乙车 即已相通过一次 随 后由于 v甲 v乙 甲 乙距离又缩短 直到乙车后反超甲车时 再相遇一次 则两车能相遇两次 解 由于 S甲 v0 t a2t2 S乙 a1t2 相遇时有 S甲 S乙 s 则 v0 t a2t2 a1t2 S a1一 a2 t2一 v0 t S 0 2 0012 22 2 1 vvaas t aa A A A A A A A 当 a1 a2时 式 只有一个正解 则相遇一次 当 a1 a2时 S甲一 S乙 v0 t a2t2 a1t2 v0 t S t S v0 t 只有一个解 则相遇一次 当 al a2时 若 v 2 al a2 s 式无解 即不相遇 2 0 若 v02 2 al a2 s 式 t 只有一个解 即相遇一次 若 v02 2 al a2 s 式 t 有两个正解 即相遇两次 解法 2 利用 v 一 t 图象求解 当 al a2时 甲 乙车的运动图线分别为如图 其中划斜线部分的面积表示 t 时间内甲车比乙车多发 生的位移 着此而积为 S 则 t 时刻甲车追上乙车而相遇 以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车 多 所以只能相遇一次 当 al a2时 甲 乙两车的运动图线分别如图 讨论方法同 所以两车也只能相遇一次 12 当 al a2 时 甲 乙两车的运动图线分别为如图的 1 和 11 其中划实斜线部分面积表示用车比乙车 多发生的位移 划虚斜线部分的面积表示乙车比甲车多发生的位移 若划线部分的面积小于 S 说明甲 追不上乙车 则不能相遇 若划实斜线部分的面积等于 S 说明甲车刚追上乙车又被反超 则相遇一次 若划实斜线部分的面积大于 S 说明 tl内划实线部分的面积为 S 说明 t1时刻甲车追上乙车 以后在 t1 t 时间内 甲车超前乙车的位移为 tl t 时间内划实线部分的面积 随后在 t t2时间内 乙车比甲车多发生划应线部分的面积 如果两者相等 则 t2时刻乙车反超甲车 故两车先后相遇两次 例 7 在空中足够高的某处 以初速度 v 竖直上抛一小球 t s 后在同一地点以初速度 v 竖直下抛另一 个小球 若使两个小球在运动中能够相遇 试就下述两种情况讨论 t 的取值范围 l 0 v v 2 v v 解析 若两小球在运动中能够在空中相遇 必须是下抛小球刚抛出时 上抛小球已进入下降阶段 且 速度大的小球在后 追赶前面速度小的球 1 如图甲所示 上抛小球速度方向变为向下 大小达 v 时所经历的时间为 t0 则 t0 当 t t0时 上抛小球的即时速度 vt v 上抛小球能够追上下抛小球 但是 若上 v gg v 抛小球已越过抛出点 再向下抛出另一个小球时 两球就不会相遇 而上抛球回到抛出点的时间 t1为 t1 即 当 t 时两球能够在运动中相遇 g v2 vv g g v2 2 如图乙所示 上抛小球速度方向变为向下 大小达 v 时所经历时间为 t0 则 t0 g vv 当 t t0 时 上抛时即时速度 vt v 但若使上抛球在前 t 还大于 t1 2v g 才行 因此 两球在运动中 相遇的条件为 t g v2 g vv 例例 8 在同一水平面上 一辆小车从静止开始以在同一水平面上 一辆小车从静止开始以的加速度前进 有一人在车后与车相距的加速度前进 有一人在车后与车相距 2 1sm 处 同时开始以处 同时开始以的速度匀速追车 人与车前进方向相同 则人能否追上车 若追不上 的速度匀速追车 人与车前进方向相同 则人能否追上车 若追不上 mS25 0 sm 6 求人与车的最小距离 求人与车的最小距离 解析 解析 如图 1 所示 解法一 判别式法 解法一 判别式法 假设人能追上车 则人与车的位置坐标相等 即 021 SSSS 即 整理得 vtat 25 2 1 2 tt625 2 1 2 05012 2 tt 人车 0 S 人 车 1 S S 2 S 图 1 12 人与车能够相遇的条件是 0 而 0562001444 2 acb 故方程无解 即人追不上小车 解法二 解法二 当人与车相距最近时 即人与车速度相等时 所需时间 车的位置坐标 s a v t6 1 6 mSt v S43256 2 6 2 01 人的位置坐标 人追不上小车mvtS3666 2 2 S 1 S 二者相距的最小距离 mSSS73643 21 拓展 拓展 若使人能够追上小车 则人与车开始时相距的距离的最大值为多少 设此最大值为 S Stt 6 2 1 2 0212 2 Stt 若使人能够追上小车 0 S S8144 m18 例例 9 客车以的速度行驶 突然发现同轨道的前方客车以的速度行驶 突然发现同轨道的前方 120m 处有一列货车正以处有一列货车正以 6m s 的速度同向行驶 于是的速度同向行驶 于是 客车紧急刹车 以客车紧急刹车 以的加速度作匀减速运动 问两车能否相碰 的加速度作匀减速运动 问两车能否相碰 2 8 0sm 解析 解析 如图 2 所示 解法一 判别式法 解法一 判别式法 由图示可知 120 21 SS 即 120 2 1 2 2 1 tVattV 则 0030035 2 tt253004354 22 acb 方程有解 即两车能够相碰 解法二 解法二 两车应该相距最远时 即二者速度相等时 所需时间 s a VV t 5 17 8 0 620 21 此时 客车的位置坐标 mt vv S t 5 227 5 17 2 620 2 0 1 货车的位置坐标 mtvS225120 5 176120 22 两车能够相碰 1 S 2 S 解法三 相对运动 解法三 相对运动 以货车为参照物 在初始状态 客车相对货车的初速度 V相对 20 6 14m s 客车相对货车做的是 初速度为 V相对的匀减速直线运动 最后相对货车静止 相对位移 两车会相碰 m a V S 5 122 8 02 14 2 2 2 相对 Sm120 拓展 拓展 要使两者不会相碰 则最初的距离至少为多少 m 5 122 例题例题 10 一辆汽车在十字路口等候绿灯 当绿灯亮时汽车以 一辆汽车在十字路口等候绿灯 当绿灯亮时汽车以 m sm s 的加速度开始行驶 恰好此时一辆 的加速度开始行驶 恰好此时一辆 自行车以 自行车以 m sm s 速度驶来 从后边超越汽车 试求 速度驶来 从后边超越汽车 试求 120m 2 S 1 S 客车货车客 货 图 2 12 汽车从路口开动后 追上自行车之前经过多长时间两车相距最远 最远距离是多少 汽车从路口开动后 追上自行车之前经过多长时间两车相距最远 最远距离是多少 经过多长时间汽车追上自行车 此时汽车的速度是多少 经过多长时间汽车追上自行车 此时汽车的速度是多少 解一 速度关系 位移关系 t 2s 自汽 vatv 623 2 1 26 2 1 22 mattvs 自 解二 极值法 1 由二次函数的极值条件可知 时 22 2 3 6 2 1 ttattvs 自 st2 2 3 2 6 最大s 62 2 3 26 2 msm 2 汽车追上自行车时 二车位移相等 2 2 1 atvt s t v t4 3 622 smatv 1243 解三 用相对运动求解 选匀速运动的自行车位参照物 则从运动开始到相距最远 这段时间内 起初相对此参照物的各个物理量 为初速 末速 smvvv 660 0 自汽初 066 自汽末 vvvt 加速度 2 303smaaa 自汽 相距最远 负号表示汽车落后 m a vv s t 6 32 6 0 2 22 0 2 解四 图象求解 1 s a v t2 3 6 自 matvts623 2 1 26 2 1 22 2 stt42 smvv 122 自 例例 11 公共汽车从车站开出以 公共汽车从车站开出以 4m s4m s 的速度沿平直公路行驶 的速度沿平直公路行驶 2s2s 后一辆摩托车从同一车站开出匀加速后一辆摩托车从同一车站开出匀加速 追赶 加速度为追赶 加速度为 2m s2m s2 2 试问 试问 1 1 摩托车出发后 经多少时间追上汽车 摩托车出发后 经多少时间追上汽车 2 2 摩托车追上汽车时 离出发点多远 摩托车追上汽车时 离出发点多远 3 3 摩托车追上汽车前 两者最大距离是多少 摩托车追上汽车前 两者最大距离是多少 解 开始一段时间内汽车的速度大 摩托车的速度小 汽车和摩托车的距离逐渐增大 当摩托车的速度 大于汽车的速度后 汽车和摩托车的距离逐渐减小 直到追上 显然 在上述过程中 摩托车的速度等 于汽车速度时 它们间的距离最大 1 摩托车追上汽车时 两者位移相等 即 v t 2 at2 解得摩托车追上汽车经历的时间为 t 5 46s 2 1 2 摩托车追上汽车时通过的位移为 s at2 29 9m 2 1 3 摩托车追上汽车前 两车速度相等时相距最远 即 v at t 2s a v v V 自 V 汽 6 t t t v 12 最大距离为 s v t 2 at 2 12m 2 1 小结 求解追及问题要注意明确三个关系 时间关系 位移关系 速度关系 这是我们求解列方程的依 据 涉及临界问题时要抓住临界条件 例例 12 火车以速度 火车以速度 v1v1 匀速行驶 司机发现前方同轨道上相距匀速行驶 司机发现前方同轨道上相距 s s 处有另一火车沿同方向以速度处有另一火车沿同方向以速度 v2v2 做做 匀速运动 已知匀速运动 已知 v1v1 v2v2 司机立即以加速度司机立即以加速度 a a 紧急刹车 要使两车不相撞 加速度紧急刹车 要使两车不相撞 加速度 a a 的大小应满足什么的大小应满足什么 条件 条件 解法一 由分析运动过程入手 后车刹车后虽做匀减速运动 但在速度减小到和 v2 相等之前 两车的距离将逐渐减小 当后车速 度减小到小于前车速度 两车距离将逐渐增大 可见 当两车速度相等时 两车距离最近 若后车减速 的加速度过小 则会出现后车速度减为和前车速度相等即追上前车 发生撞车事故 若后车加速度过大 则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍为追上前车 若后车加速度大小为某一值时 恰能使两车速 度相等时后车追上前车 这是两车不相撞的临界条件 其实对应的加速度即为两车不相撞的临界最小加 速度 综合以上分析可知 两车恰不相撞时应满足下列方程 v1t a0t2 v2t s vt a0t v2 2 1 联立上式可解得 a0 所以不 a 时时两车即不会相撞 s vv 2 2 12 s vv 2 2 12 解法二 要使两车不相撞 其位移关系应为 v1t at2 s v2t 即at2 v2 v1 t s 0 2 1 2 1 对于位移 s 和时间 t 上面不等式都成立的条件为 v2 v1 2 2as 0 由此得 a s vv 2 2 12 解法三 以前车为参考系 刹车后后车相对于前车做初速度 v0 v1 v2 加速度为 a 的匀减速直线运 动 当后车相对前车的速度为零时 若相对位移 s s 时 则不会相撞 由 s s 得 a a v 2 2 0 a vv 2 2 12 s vv 2 2 12 小结 上述三种解法中 解法一注重了对物体运动过程的分