选修4-4 第1讲 坐标系

选修 4 4 坐标系与参数方程 第 1 讲 坐标系 一 填空题 1 在极坐标系中 点 P 0 0 0 0 关于极点的对称点的极坐标是 解析 设点 P 0 0 关于极点的对称点为 则 0 0 0 对 称点为 0 0 答案 0 0 2 过点 2 平行于极轴的直线的极坐标方程是 4 解析 设直线上点坐标 P 则 sin 2cos 90 45 2 答案 sin 2 3 在极坐标系中 4sin 是圆的极坐标方程 则点 A到圆心 C 的距离 4 6 是 解析 将圆的极坐标方程 4sin 化为直角坐标方程为 x2 y2 4y 0 圆心 坐标为 0 2 又易知点 A的直角坐标为 2 2 故点 A 到圆心的距离为 4 6 3 2 0 2 3 2 2 2 23 答案 2 3 4 在极坐标系中 点 M到曲线 cos 2 上的点的距离的最小值为 4 3 3 解析 依题意知 点 M 的直角坐标是 2 2 曲线的直角坐标方程是 3 x y 4 0 因此所求的距离的最小值等于点 M 到该直线的距离 即为 3 2 2 2 3 3 4 12 3 2 答案 2 5 从极点作圆 2acos 的弦 则各条弦中点的轨迹为 解析 设所求曲线上动点 M 的极坐标为 r 由图可知 r 1 2 把 和 2r 代入方程 2acos 得 2r 2acos 即 r acos 2 2 这就是所求的轨迹方程 由极坐标方程可知 所求轨迹是一个以 0 为圆心 半径为 的圆 a 2 a 2 答案 以 0 为圆心 以 为半径的圆 a 2 a 2 6 在极坐标系中 曲线 C1 2cos 曲线 C2 若曲线 C1与 C2交于 4 A B 两点 则线段 AB 解析 曲线 C1与 C2均经过极点 因此极点是它们的一个公共点 由Error 得 Error 即曲线 C1与 C2的另一个交点与极点的距离为 因此 AB 22 答案 2 7 在极坐标系中 圆 C 的极坐标方程为 2 2 cos 0 点 P 的极坐标为过点 P 作圆 C 的切线 则两条切线 2 2 夹角的正切值是 解析 圆 C 的极坐标方程 2 2 cos 0 化为普通方程 x 1 2 y2 1 点 P 的直角坐标为 0 2 圆 C 的圆心为 1 0 如图 当切线的斜率存在时 设切 线方程为 y kx 2 则圆心到切线的距离为 1 k 即 tan 易 k 2 k2 1 3 4 3 4 知满足题意的另一条切线的方程为 x 0 又 两条切线的夹角为 的余角 两 条切线夹角的正切值为 4 3 答案 4 3 8 若直线 3x 4y m 0 与曲线 2 2 cos 4 sin 4 0 没有公共点 则实 数 m 的取值范围是 解析 注意到曲线 2 2 cos 4 sin 4 0 的直角坐标方程是 x2 y2 2x 4y 4 0 即 x 1 2 y 2 2 1 要使直线 3x 4y m 0 与该曲 线没有公共点 只要圆心 1 2 到直线 3x 4y m 0 的距离大于圆的半径即 可 即 1 m 5 5 解得 m 0 或 m 10 3 1 4 2 m 5 答案 0 10 二 解答题 9 在直角坐标系 xOy中 直线 l 的方程为 x y 4 0 曲线 C 的参数方程为 为参数 x 3cos y sin 1 已知在极坐标系 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位 且以原点 O 为极 点 以 x 轴正半轴为极轴 中 点 P 的极坐标为 判断点 P 与直线 l 的 4 2 位置关系 2 设点 Q 是曲线 C 上的一个动点 求它到直线 l 的距离的最小值 解 1 把极坐标系下的点 P化为直角坐标 得 P 0 4 因为点 P 的直 4 2 角坐标 0 4 满足直线 l 的方程 x y 4 0 所以点 P 在直线 l 上 2 因为点 Q 在曲线 C 上 故可设点 Q 坐标为 cos sin 从而点 Q 到直 3 线 l 的距离为 d cos 2 3cos sin 4 2 2cos 6 4 22 6 2 由此得 当 cos 1 时 d 取得最小值 且最小值为 6 2 10 在直角坐标系 xOy 中 圆 C1 x2 y2 4 圆 C2 x 2 2 y2 4 1 在以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 分别写出圆 C1 C2的极 坐标方程 并求出圆 C1 C2的交点坐标 用极坐标表示 2 求圆 C1与 C2的公共弦的参数方程 解 1 圆 C1的极坐标方程为 2 圆 C2的极坐标方程为 4cos 解Error 得 2 3 故圆 C1与圆 C2交点的坐标为 2 3 2 3 注 极坐标系下点的表示不唯一 2 法一 由Error 得圆 C1与 C2交点的直角坐标分别 为 1 1 3