上海锐角三角比讲义

中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 海伊教育学科教师辅导讲义海伊教育学科教师辅导讲义 学员编号 学员编号 年年 级 九年级级 九年级 课时数 课时数 学员姓名 张鸿敬学员姓名 张鸿敬 辅导科目 辅导科目 数学 学科教师 高老师学科教师 高老师 课课 题题 锐角三角比锐角三角比 授课时间 授课时间 2013 年年 10 月月 25 日日备课时间 备课时间 2013 年年 10 月月 25 日日 教学目标教学目标 1 理解锐角三角比的概念 2 会求特殊锐角 30 45 60 的三角比的值 3 会用计算器求锐角的三角比的值 能根据锐角三角比的值 利用计算器 求锐角的大小 4 会解直角三角形 5 理解仰角 俯角 坡度 坡角等概念 并能解决有关的实际问题 重点 难点重点 难点 重点是应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的方法进行有关几何计算 难点是解直角三角形的应用 授课方法授课方法 联想质疑 交流研讨 归纳总结 实践提高 教学过程教学过程 一 一 情景设置 知识导入 情景设置 知识导入 二 二 探索研究探索研究 知识点总结与归纳知识点总结与归纳 锐角的三角比的概念 正切 余切 正弦 余弦 已知锐角 求三角 比 已知锐角的一个三角比 求锐角 直角三角形中的边 角关系 三边之间 两锐角之间 一锐 角与两边之间 解 直 角 三 角 形 已知一边和一锐角 已知两边 解直角三角 形的应用 1 锐角的三角比 1 定义 在直角三角形 ABC 中 为一锐角 则A 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 A 的正弦 Aa sinA c 的对边 即 斜边 A 的余弦 Ab cosA c 的邻边 即 斜边 A 的正切 Aa tanA Ab 的对边 即 的邻边 A 的余切 Aa Ab 的邻边 即cot A 的对边 注 注 三角函数值是一个比值 定义的前提是有一个角为直角 故如果题目中无直角条件时 应设法构造一个直角 若为一锐角 则的取值范分别是 A sinA cosA tanA cotA 0sinA 1 0 cosA0 cotA 0 同一个锐角的正切和余切值互为倒数 即 1 tanA cotA 1tanA cot AA或 2 特殊锐角的三角比的值 1 特殊锐角 30 45 60 的三角比的值 2 同角 互余的两角多的三角比之间的关系 倒数关系 1 tanA cot A 平方关系 22 sin A cos A 1 积商关系 sincos tanA cot cossin AA A AA 余角和余函数的关系 如果 那么 正弦和余弦 正切和余切被称为余函数关 0 90AB sinA cosB tanA cotB 系 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 注意 注意 求锐角三角比的值问题 1 在直角三角形中 给定两边求锐角的三角比 关键是搞清某锐角的 对边 邻边 掌握三角比的定义 2 给出锐角的度数 求这个锐角的三角比 特殊锐角 一般情况下 使用精确值 在实际应用中 根据问题要求处理 求非特殊锐角的三角比的值 使用计算器或查表求值 3 当锐角不是直角三角形的内角 首先观察有否相等的锐角可代换 而且可代换的锐角 含在某直角三角形中 如果没有可代换的相等的锐角 可作适当的垂线构建含有这个 锐角的直角三角形 3 解直角三角形 1 在直角三角形中 除直角外 还有 5 个元素 即三条边和两个锐角 由直角三角形中 除直角外的已知两个元素 其中至少含有一条边 求出其他所有未知元素的过程 叫做解直角三角形 2 解直角三角形常用到的关系 锐角关系 0 90AB 三边关系 勾股定理 222 abc 边角关系 sinA cos tan cot sinB cos tan cot abab AAA ccba baba BBB ccab 直角三角形的面积 111 sin 222 SchababC 3 当需要求解的三角形不是直角三角形时 应恰当地作高 化斜三角形为直角三角形 再求解 4 解直角三角形的类型有 已知两条边 已知一条边和一个锐角 5 解法分类 已知斜边和一个锐角解直角三角形 已知一条直角边和一个锐角解直角三角形 已知两边解直角三角形 注意 注意 解直角三角形的方法 可概括为 有弦 斜边 则弦 正弦 余弦 无弦用切 宁乘勿除 取原避中 这几句话的含义是 当已知条件中有斜边时 就用正弦或余弦 无斜边时 则用正切 或余切 当所求元素既可用乘法又可用除法时 则尽量用乘法 避免用除法 既可以用已知的原 始数据又可用中间数据求解时 则取原始数据 避免用中间数据后引起连锁错误或较大误差 4 解直角三角形的应用 1 仰角和俯角 视线和水平线所成的角中 视线在水平线上方的叫做仰角 在水平线下 方的叫做俯角 2 坡角和坡度 坡面与水平面的夹角叫做坡角 坡面的铅直高度 h 与水平宽度 l 的比叫 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 做坡度 或叫做坡比 用 i 标志 即 i h l 通常坡度要写成 1 m 的形式 坡角的正 切是坡面的坡度 3 方向角 一般以观测者的位置为中心将正北或正南方向为始边旋转到目标的方向线所 成的锐角 三 三 课堂练习课堂练习 例例 1 已知 Rt ABC 中 C 90 AC 2 BC 3 那么下列各式中 正确的是 A B C D 2 sin 3 B 2 cos 3 B 2 tan 3 B 2 cot 3 B 考点要求 本题考查锐角三角函数的概念 思路点拨 根据题目所给条件 可画出直角三角形 结合图形容易判断是 B 的正切值 2 3 答案 选 C 方法点拨 部分学生会直接凭想象判断并选择结果 从而容易导致错误 突破方法 这类 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 题目本身难度不大 但却容易出现错误 关键是要画出图形 结合图形进行判断更具直观性 可 减少错误的发生 例例 2 某山路坡面坡度 某人沿此山路向上前进 200 米 那么他在原来基础上升高了1 399i 米 考点要求 本是考查坡度与坡角正切值关系 思路点拨 坡度即坡角的正切值为 所以坡角的正弦值可求得等于 1 399i 1 399 1 20 所以沿着山路前进 200 米 则升高 200 10 米 答案 填 10 1 20 方法点拨 少数学生因为未能正确理解坡度的意义 而出现使用错误 突破方法 牢记坡 度表示坡角的正切值即坡角的对边 坡角的邻边 1 399i 1 399 然后再结合直角三角形 可求出坡角的正弦值 从而容易求得结果 例例 3 如图 8 1 在 ABC 中 C 90 点 D 在 BC 上 BD 4 AD BC cos ADC 3 5 求 1 DC 的长 2 sinB 的值 考点要求 本题考查锐三角比概念的相关知识及其简单运用 思路点拨 1 在 Rt ABC 中 cos ADC 设 CD 3k AD 5k 3 5 CD AD 又 BC AD 3k 4 5k k 2 CD 3k 6 2 BC 3k 4 6 4 10 AC 4k 8 22 ADCD AB 2222 8102 41ACBC sinB 答案 1 CD 6 2 sinB 84 41 412 41 AC AB 4 41 41 方法点拨 本题的关键是抓住 AD BC 这一相等的关系 应用锐角三角函数的定义及勾股 定理解题 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 例例 4 如图所示 秋千链子的长度为 3m 静止时的秋 千踏板 大小忽略不计 距地面 0 5m 秋千向两边摆动 时 若最大摆角 摆角指秋千链子与铅垂线的夹角 约 为 则秋千踏板与地面的最大距离约为多少 参考 53 数据 0 8 0 6 53sin 53cos 考点要求 本题考查利用锐角三角比概念和解直 角三角形解决实际生活中的直角三角形问题 思路点拨 设秋千链子的上端固定于A处 秋千 踏板摆动到最高位置时踏板位于B处 过点A B的铅垂线分别为AD BE 点D E在地面上 过B作BC AD于点C 在 Rt中 ABC 3 AB 53CAB AC 1 8 m 53cos36 03 m CD7 18 15 03 m CDBE 7 1 答案 秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为 m 7 1 方法点拨 部分学生想直接求出踏板离地最高的 距离即 BE 但却缺少条件 突破方法 通过作辅助线 将 BE 转化到 CD 位置上 根据题目所给条件容易求出 AC 从而可求得 CD 的长 解题关键 利用解直角三角形求解实际问题的关键在于构造适当的直角三角形 考点突破方法总结考点突破方法总结 锐角三角函数与解直角三角形在近年的中考中 难度比以前有所降低 与课改相一致的是提 高了应用的要求 强调利用解直角三角形知识解决生活实际中的有关测量 航海 定位等方面的 运用 因此 在本专题中 有以下几点应加以注意 1 正确理解锐三角函数的概念 能准确表达各三角函数 并能说出常用特殊角的三角函数值 2 在完成锐角三角函数的填空 选择题时 要能根据题意画出相关图形 结合图形解题更具直 观性 3 能将实际问题转化为相关的直角三角形问题 即把实际问题抽象为几何问题 研究图形 利 0 5m 53 3m 图 8 3 1 E D C B A 图 8 3 2 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 第 1 题图 用数形结合思想 方程思想等解决生活问题 4 注重基础 不断创新 掌握解直角三角形的基本技能 能灵活应对在测量 航海 定位等现 代生活中常见问题 这也是以后中考命题的趋势 四 四 课后作业课后作业 一 填空题一 填空题 1 如图 如果 APB 绕点 B 按逆时针方向旋转 30 后得到 A P B 且 BP 2 那么 PP 的长为 不取近似值 以下数据供解题使用 sin15 cos15 62 4 62 4 2 用计算器计算 精确到 0 01 3 如图 在甲 乙两地之间修一条笔直的公路 从甲地测得公路的走向是北偏东 48 甲 乙两 地间同时开工 若干天后 公路准确接通 则乙地所修公路的走向是南偏西 度 4 如图 机器人从A点 沿着西南方向 行了个 4单位 到达 B 点后观察到原点 O 在它的南 2 偏东 60 的方向上 则原来 A 的坐标为 结果保留根号 5 求值 sin260 cos260 6 在直角三角形 ABC 中 A BC 13 AB 12 那么 0 90tan B 7 根据图中所给的数据 求得避雷针 CD 的长约为 m 结果精确的到 0 01m 可用计算 器求 也可用下列参考数据求 sin43 0 6802 sin40 0 6428 cos43 0 7341 cos40 0 7660 tan43 0 9325 tan40 0 8391 第 4 题图 xO A y B 北 甲 北 乙 第 3 题图 A C B 第 6 题图 A 40 52m C D 第 5 题图 B 43 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 8 如图 自动扶梯 AB 段的长度为 20 米 倾斜角 A 为 高度 BC 为 米 结果用含 的三角比表示 二 选择题二 选择题 9 在 ABC 中 C 900 AC BC 1 则 tanA 的值是 A B C 1 D 2 2 2 2 1 10 在 Rt ABC 中 CD 是斜边 AB 上的高线 已知 ACD 的正弦值是 则的值是 3 2 AB AC A B C D 5 2 5 3 2 5 3 2 11 如图 梯子 AB 靠在墙上 梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 2 米 梯子的 顶端 B 到地面的距离为 7 米 现将梯子的底端 A 向外移动到 A 使梯 子的底端到墙根 O 的距离等于 3 米 同时梯子的顶端 B 下降 A 到 那么 B B B A 等于 1 米 B 大于 1 米 C 小于 1 米 D 不能确定 12 如图 延长 Rt ABC 斜边 AB 到 D 点 使 BD AB 连结CD 若 cot BCD 3 则 tanA A B 1 C D 2 3 3 1 3 2 B A 第 3 题图 O B A 第 11 题图 第 4 题图 C D B A 第 12 题图 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 三 解答题三 解答题 13 已知等腰梯形 ABCD 中 AD BC 18cm sin ABC AC 与 BD 相交于点3 5 2 O BOC 1200 试求 AB 的长 14 如图 河对岸有一铁塔 AB 在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30 向塔前进 16 米到达 D 在 D 处测得 A 的仰角为 45 求铁塔 AB 的高 15 如图 我市某广场一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定 CD 与地面成 40 夹角 且 DB 5m 则 BC 的长度是多少 现再在 C 点上方 2m 处加固另一条钢缆 ED 那么钢缆 ED 的长度为多少 结果保留三个有效数字 例 3 图 GFE O D CB A 第 13 题 图 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 参考数据 1918 1 40 8391 0 40 7660 0 40cos 6428 0 40sin ctgtg 章节检测答案章节检测答案 一 填空题 1 点拨 连结 PP 过点 B 作 BD PP 因为 PBP 30 所以 PBD 15 利用62 sin15 先求出 PD 乘以 2 即得 PP 62 4 2 2 35 3 48 点拨 根据两直线平行 内错角相等判断 4 0 点拨 过点 B 作 BC AO 利用勾股定理或三角函数可分别求得 AC 与 OC 的长 4 43 3 5 1 点拨 根据公式 sin2 cos2 1 6 点拨 先根据勾股定理求得 AC 5 再根据求出结果 12 5 tan AC B AB 7 4 86 点拨 利用正切函数分别求了 BD BC 的长 8 点拨 根据 求得 20sin sin BC AB sinBCAB 二 选择题二 选择题 9 C 10 D 11 C 点拨 利用勾股定理先求出 AB 的长 再求出的长 B B 12 A 点拨 过点 D 作 DE CB 的延长线于点 E 易证得 ACB 与 DEB 全等 所以 A BDE BC BE 又因为 cot BCD 3 所 CE 3DE 所 tanA tan BDE 2 3 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 三 解答题三 解答题 13 解 如图 作 DE AC 交 BC 的延长线于 E 则四边形 ACED 是平行四边形 AD CE DE AC 易证 ABC DCB AC DB BD DE DBE 为等腰三角形 BE BC AD 18cm 分别过 A D 作 AG BC 于 G DF BC 于 F BDE BOC 1200 BDF 600 BF BE 9cm AG DF cm 2 1 33 在 Rt ABG 中 sin ABG AB AG AB cm 2 15 3 5 2 33 sin ABG AG 答 AB 的长是 cm 2 15 14 在 Rt ABD 中 ADB 45 BD AB 在 Rt ABC 中 ACB 30 BC AB 3 设 AB x 米 CD 16 BC x 16 x 16 x 3 即铁塔 AB 的高为米 16 831 31 x 831 15 在 R t BCD 中 BD 5 BC 5 40tg 4 1955 4 20 在 R t BCD 中 BE BC CE 6 20 DE 22 DBBE 7 962544 38 44 63 答 BC 的长度约为 4 20m 钢缆 ED 的长度约 7 96m 若 BC 4 1955 暂不扣分 但是 ED 的长度未保留三个有效数字扣 1 分 8 近三年上海中考数学关于锐角三角比题型近三年上海中考数学关于锐角三角比题型 年份考点分值 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 2008 年锐角三角比的概念 坡度14 8 2009 年锐角三角比的概念10 5 2010 年锐角三角比的概念 解直角三角形24 16 20082008 4 4 分 分 18 在中 如图 6 如果圆的半径为 且经过点ABC 5ABAC 3 cos 5 B O10 那么线段的长等于 BC AO 20082008 1010 分 分 21 本题满分 10 分 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 7 分 创意设计 公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上 导致其中部分图形和数据看不清楚 如图 7 所示 已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图 它是以圆的半径所在的直OOC 线为对称轴的轴对称图形 是与圆的交点 AODO 1 请你帮助小王在图 8 中把图形补画完整 2 由于图纸中圆的半径的值已看不清楚 根据上述信息 图纸中是坡面的Or1 0 75i CE 坡度 求的值 r 2009 10 分 分 21 本题满分 10 分 每小题满分各 5 分 A B C 图 6 图 7 O C A DEH 图 8 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 如图 4 在梯形中 联结 ABCD86012ADBCABDCBBC AC 1 求的值 tanACB 2 若分别是的中点 联结 求线段的长 MN ABDC MNMN 2010 10 分 分 21 机器人 海宝 在某圆形区域表演 按指令行走 如图 5 所示 海宝 从圆心 O 出发 先沿 北偏西 67 4 方向行走 13 米至点 A 处 再沿正南方向行走 14 米至点 B 处 最后沿正东方向行 走至点 C 处 点 B C 都在圆 O 上 1 求弦 BC 的长 2 求圆 O 的半径长 本题参考数据 sin 67 4 cos 67 4 tan 67 4 12 13 5 13 12 5 2010 14 分 分 25 如图 9 在 Rt ABC 中 ACB 90 半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D 与边 AC 相交 于点 E 连结 DE 并延长 与线段 BC 的延长线交于点 P 1 当 B 30 时 连结 AP 若 AEP 与 BDP 相似 求 CE 的长 2 若 CE 2 BD BC 求 BPD 的正切值 3 若 设 CE x ABC 的周长为 y 求 y 关于 x 的函数关系式 1 tan 3 BPD 图 9 图 10 备用 图 11 备 9 课后考点巩固课后考点巩固 AD C 图 4 B 67 4 A C 北 北 B O N S 图 5 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 考点一 锐角三角比的概念 考点一 锐角三角比的概念 1 在 Rt ABC 中 C 90 那么等于 BC AC A tanA B cotA C sinA D cosA 2 Rt ABC 中 C 90 若 AC A 则 AB 的长为 a A B C D sin a cos a sin a cos a 3 如图 在 ABC 中 AB 2 AC 3 BC 4 则的值是 Ctan A 以上都不是 2 1 4 3 3 2 考点二 特殊锐角的三角比值 考点二 特殊锐角的三角比值 计算 022 60tan 9 45sin2 30cot 45 cos60sin 3 1 求值 2 2 2cos 30sin30 4cot45cos45 tan 604sin45 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 求值 30cot 45cot21 60cos30tan360sin 考点三 锐角三角比的计算 考点三 锐角三角比的计算 1 如图 在 ABC 中 AB AC BD CE 分别为两腰上的中线 且 BD CE 则 ABC tan 2 如图 矩形 ABCD 中 AB 3 E 为 BC 边上一点 将 ABE 沿 AE 翻折 5 3 sin ACB 使点 B 恰好落在对角线 AC 上 记作 B 1 求 BE 的长 2 连接 DB 求 cot B DCt B DC的值 A D B B E C A BC DE G 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 3 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC ADB 45 A D 翻折梯形 ABCD 使点 B 重合于点 D 折痕分别交边 AB F BC 于 F E 若 AD 6 BC 14 求 1 BE 的长 2 C 的余切值 B E C 4 如图 在 ABC 中 ACB 90 A AC BC P 是 ABC 内一点 且 APB APC 135 1 求证 CPA APB 2 试求 tan PCB 的值 P C B 考点四 仰角 俯角与坡度 坡角 考点四 仰角 俯角与坡度 坡角 1 某飞机的飞行高度为 从飞机上测得地面控制点的俯角为 那么飞机到控制点的距离是m 用与含的三角比表示 m 2 某山路的路面坡度为 1 若沿此山路向上前进 90 米 则升高了 米 54 3 一个小球由地面沿着坡度 1 2 的坡面向上前进了 10 米 此时小球距离地面的高度为 米 4 修筑一坡度为 3 4 的大坝 如果设大坝斜坡的坡角为 那么 的正切值是 A B C D 5 3 5 4 4 3 3 4 考点五 解直角三角形及应用 考点五 解直角三角形及应用 中小学课外辅导专家中小学课外辅导专家 1 底角为 15 腰长为 6 的等腰三角形的面积是 2 如图 A B C 三点在同一平面内 从山脚缆车站 A 测得山顶 C 的仰角为 45 测得另一缆车站 B 的仰角为 30 AB 间缆绳长 500 米 自然弯曲忽略不计 1 73 精确3 到 1 米 1 求缆车站 B 与缆车站 A 间的垂直距离 2 乘缆车达缆车站 B 从缆车站 B 测得山顶 C 的仰角为 60 求山顶 C 与缆车站 A 间的垂直 距离 C B A 水平线水平线 M 3 如图 在 ABC 中 AB AC 5 BC 8 D 是边 AB 上一点 且 tan BCD A 2 1 1 试求 sinB 的值 D 2 试求 BCD 的面积 B C 4 如图 沙泾河的一段两岸 互相平行 C D 是河岸上间隔 60 米的两个电线杆 aba 中小学课外辅导专家中小学课外辅