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文档简介

第三讲分类讨论思想 所谓分类讨论 就是当问题所给的对象不能进行统一研究时 如不能用同一标准 或同一种运算 或同一个定理 或同一种方法去解决 因而会出现多种情况 我们就需要对研究的对象进行分类 然后对每一类分别研究 得出每一类的结论 最后综合各类的结论得到整个问题的解答 实质上分类讨论是 化整为零 各个击破 再积零为整 的策略 分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则 方法与技巧 做到 确定对象的全体 明确分类的标准 不重复 不遗漏地分类讨论 1 分类讨论时必须遵循的原则 1 施行分类的集合的全集必须是确定的 2 分类的标准必须是统一的 3 分类必须是完整的 不能出现遗漏 4 各子集域必须是互斥的 不出现重复 5 如需多级分类 必须逐级进行 不得越级 2 分类讨论的步骤 1 明确讨论的对象 确定对象的全体 2 确定分类的标准 正确进行分类 3 逐类进行讨论 获得阶段性的结果 4 归纳小结 总结出结论 3 分类讨论的常见类型 1 由数学概念引起的分类讨论 有的概念本身是分类的 如绝对值 直线斜率 指数函数 对数函数等 2 由性质 定理 公式的限制引起的分类讨论 有的数学定理 公式 性质是分类给出的 在不同的条件下结论不一致 如等比数列的前n项和公式 函数的单调性等 3 由数学运算要求引起的分类讨论 如除法运算中除数不为零 偶次方根为非负 对数真数与底数的要求 指数运算中底数的要求 不等式两边同乘以一个正数 负数 三角函数的定义域等 4 由图形的不确定性引起的分类讨论 有的图形类型 位置需要分类 如角的终边所在的象限 点 线 面的位置关系等 5 由参数的变化引起的分类讨论 某些含有参数的问题 如含参数的方程 不等式 由于参数的取值不同会导致所得结果不同 或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法 6 由实际意义引起的讨论 此类问题在应用题中 特别是在解决排列 组合中的计数问题时常用 4 简化和避免分类讨论的策略 1 直接回避 如运用反证法 消参法等 2 变更主元 如分离参数 变参置换 构造以讨论对象为变量的函数的形式 3 合理运算 如利用函数奇偶性 变量的对称轮换以及公式的合理选用等 4 数形结合 利用函数图象 几何图形的直观性和对称特点 拓展提升 开阔思路提炼方法有许多核心的数学概念是分类的 比如 直线斜率 指数函数 对数函数等 与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类 从而全面完整地解决问题 拓展提升 开阔思路提炼方法分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的 比如 除法运算中分母是否为0 解方程 不等式中的恒等变形 用导数求函数单调性时导数正负的讨论 对数运算中底数是否大于1
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