高中数学巧学巧解大全

1 数学巧学巧解大全数学巧学巧解大全 高中数学巧学巧解大全高中数学巧学巧解大全 目录目录 第一部分第一部分高中数学活题巧解方法总论高中数学活题巧解方法总论 第一篇数学具体解题方法 代入法代入法 直接法直接法 定义法定义法 参数法参数法 交轨法交轨法 几何法几何法 弦中点轨迹求法弦中点轨迹求法 比较法比较法 基本不等式法基本不等式法 综合法综合法 分析法分析法 放缩法放缩法 反证法反证法 换元法换元法 构造法构造法 数学归纳法数学归纳法 配方法配方法 判别式法判别式法 序轴标根法序轴标根法 向量平行法向量平行法 向量垂直法向量垂直法 同一法同一法 累加法累加法 累乘法累乘法 倒序相加法倒序相加法 分组法分组法 公式法公式法 错位相减法错位相减法 裂项法裂项法 迭代法迭代法 角的变换法角的变换法 公式的变形及逆用法公式的变形及逆用法 降幂法降幂法 升幂法升幂法 1 的代换法的代换法 引入辅助角法引入辅助角法 三角函数线法三角函数线法 构造对偶式法构造对偶式法 构造三角形法构造三角形法 估算法估算法 待定系数法待定系数法 特殊优先法特殊优先法 先选后排法先选后排法 捆绑法捆绑法 插空法插空法 间接法间接法 筛选法 排除法 筛选法 排除法 数形结合法数形结合法 特殊值法特殊值法 回代法 验证法 回代法 验证法 特殊图形法特殊图形法 分类法分类法 运算转换法运算转换法 结构转换法结构转换法 割补转换法割补转换法 导数法导数法 象限分析法象限分析法 补集法补集法 距离法距离法 变更主元法变更主元法 差异分析法差异分析法 反例法反例法 阅读理解法阅读理解法 信息迁移法信息迁移法 类比联想法类比联想法 抽象概括法抽象概括法 逻辑推理法逻辑推理法 等价转化法等价转化法 根的分布法根的分布法 分离参数法分离参数法 抽签法抽签法 随机数表法随机数表法 第二篇第二篇数学思想方法数学思想方法 函数与方程思想函数与方程思想 数形结合思想数形结合思想 分类讨论思想分类讨论思想 化归转化思想化归转化思想 整体思想整体思想 第三篇第三篇数学逻辑方法数学逻辑方法 比较法比较法 综合法综合法 分析法分析法 反证法反证法 归纳法归纳法 抽象与概括抽象与概括 类比法类比法 第二部分第二部分 部分难点巧学部分难点巧学 一 看清一 看清 身份身份 始作答始作答 分清集合的代表元素是解决集合问题的关键分清集合的代表元素是解决集合问题的关键 二 集合对实数说 你能运算 我也能 二 集合对实数说 你能运算 我也能 集合的运算 交 并 补 子等 集合的运算 交 并 补 子等 三 巧用集合知识确定充分 必要条件三 巧用集合知识确定充分 必要条件 四 活用德摩根定律 巧解集合问题四 活用德摩根定律 巧解集合问题 五 五 补集补集 帮你突破帮你突破 巧用巧用 补集思想补集思想 解题解题 六 在等与不等中实现等价转化六 在等与不等中实现等价转化 融函数 方程和不等式为一体融函数 方程和不等式为一体 七 逻辑趣题欣赏七 逻辑趣题欣赏 八 多角度 全方位理解概念八 多角度 全方位理解概念 谈对映射概念的掌握谈对映射概念的掌握 九 函数问题的灵魂九 函数问题的灵魂 定义域定义域 十 函数表达式的十 函数表达式的 不求不求 艺术艺术 十一 奇 偶函数定义的变式应用十一 奇 偶函数定义的变式应用 十二 巧记图象 轻松解题十二 巧记图象 轻松解题 十三 特殊化思想十三 特殊化思想 十四 逆推思想十四 逆推思想 十五 构造思想十五 构造思想 十六 分类思想十六 分类思想 十七 转化与化归思想十七 转化与化归思想 十八 向量不同于数量 向量的数量积是数量十八 向量不同于数量 向量的数量积是数量 十九 定比分点公式中应注意十九 定比分点公式中应注意 的含义的含义 二十 平移公式中的新旧坐标要分清二十 平移公式中的新旧坐标要分清 二十一 解斜三解形问题 须掌握三角关系式二十一 解斜三解形问题 须掌握三角关系式 二十二 活用倒数法则二十二 活用倒数法则巧作不等变换巧作不等变换 不等式的性质和应用不等式的性质和应用 二十三 小小等号也有大作为二十三 小小等号也有大作为 绝对值不等式的应用绝对值不等式的应用 二十四 二十四 抓两头 看中间抓两头 看中间 巧解 巧解 双或不等式双或不等式 不等式的解法不等式的解法 二十五 巧用均值不等式的变形式解证不等式二十五 巧用均值不等式的变形式解证不等式 2 二十六 不等式中解题方法的类比应用二十六 不等式中解题方法的类比应用 二十七 吃透重点概念 解几学习巧入门二十七 吃透重点概念 解几学习巧入门 二十八 把握性质变化 解几特点早领悟二十八 把握性质变化 解几特点早领悟 二十九 重点知识外延 概念的应用拓展二十九 重点知识外延 概念的应用拓展 三十 把握基本特点 稳步提高解题能力三十 把握基本特点 稳步提高解题能力 三十一 巧记圆锥曲线的标准方程三十一 巧记圆锥曲线的标准方程 确定圆锥曲线方程的焦点位置确定圆锥曲线方程的焦点位置 三十二 巧用圆锥曲线的焦半径公式三十二 巧用圆锥曲线的焦半径公式 三十三 直线与圆锥曲线位置关系问题三十三 直线与圆锥曲线位置关系问题 三十四 求轨迹的常用方法三十四 求轨迹的常用方法 三十五 与圆锥曲线有关的最值问题 定值问题 参数范围问题三十五 与圆锥曲线有关的最值问题 定值问题 参数范围问题 三十六 空间问题向平面转化的基础三十六 空间问题向平面转化的基础 平面的基本性质平面的基本性质 三十七 既不平行 也不相交的两条直线异面三十七 既不平行 也不相交的两条直线异面 三十八 从三十八 从 低 维 低 维 到到 高 维 高 维 判定线面 面面的平行 应用性质则相反 判定线面 面面的平行 应用性质则相反 三十九 相互转化三十九 相互转化 研究空间线线 线面 面面垂直的研究空间线线 线面 面面垂直的 利器利器 四十 找 与所求角有关的线 四十 找 与所求角有关的线 作 所缺线 作 所缺线 证 为所求 证 为所求 算 其值 算 其值 解空间角问题的步骤解空间角问题的步骤 四十一 作 或找垂线段 四十一 作 或找垂线段 证 为所求 证 为所求 算 长度 算 长度 解距离问题的基本原则解距离问题的基本原则 四十二 直线平面性质集中展示的大舞台四十二 直线平面性质集中展示的大舞台 棱柱 棱锥棱柱 棱锥 四十三 突出球心 展示大圆 巧作截面四十三 突出球心 展示大圆 巧作截面 解有关球问题的要点解有关球问题的要点 四十四 排列 组合问题的巧解策略四十四 排列 组合问题的巧解策略 四十五 二项式定理的要点透析四十五 二项式定理的要点透析 四十六 正确理解频率与概率的联系与区别四十六 正确理解频率与概率的联系与区别 四十七 要正确理解事件 准确判定事件属性四十七 要正确理解事件 准确判定事件属性 四十八 求随机事件的概率的方法步骤四十八 求随机事件的概率的方法步骤 四十九 重要的概率模型四十九 重要的概率模型 五十 抓住关键巧判断五十 抓住关键巧判断 试验 随机试验 随机变量的判断试验 随机试验 随机变量的判断 五十一 随机变量与函数的关系五十一 随机变量与函数的关系 五十二 离散型随机变量分布列的两条性质的巧用五十二 离散型随机变量分布列的两条性质的巧用 五十三 理解是学习数学的上方宝剑五十三 理解是学习数学的上方宝剑 数学期望的巧妙理解数学期望的巧妙理解 五十四 五十四 与与 E的本质区别的本质区别x 五十五 巧用公式快计算五十五 巧用公式快计算 公式公式 D E 2 E 2的理解与应用的理解与应用 五十六 公式的比较与巧记五十六 公式的比较与巧记 五十七 化难为易 化繁为简巧归纳五十七 化难为易 化繁为简巧归纳 五十八 凑结论 一锤定音五十八 凑结论 一锤定音 五十九 取特殊 直接代换五十九 取特殊 直接代换 六十 巧设问 判断函数的连续性六十 巧设问 判断函数的连续性 六十一 注意理解曲线六十一 注意理解曲线 y f x 在一点在一点 p x0 y0 的切线概念的切线概念 六十二 加强理解函数六十二 加强理解函数 y f x 在 在 a b 上的导函数 上的导函数 六十三 利用导数判断函数的单调性六十三 利用导数判断函数的单调性 六十四 利用导数证明不等式六十四 利用导数证明不等式 六十五 函数六十五 函数 y f x 在点在点 x x0处的极值理解处的极值理解 六十六 求可导函数六十六 求可导函数 y f x 在区间 在区间 a b 上的极值方法 上的极值方法 六十七 分清实部与虚部 转化为方程或不等式是判定复数类型的基本方法六十七 分清实部与虚部 转化为方程或不等式是判定复数类型的基本方法 六十八 利用复数相等条件转化为方程组 复数问题实数化是求复数的基本方法六十八 利用复数相等条件转化为方程组 复数问题实数化是求复数的基本方法 六十九 记住常用结论 简化复数运算六十九 记住常用结论 简化复数运算 七十 应用复数的几何意义 数形结合求与复数有关的问题七十 应用复数的几何意义 数形结合求与复数有关的问题 3 郑重声明郑重声明 依照依照 中华人民共和国著作权法中华人民共和国著作权法 本书版权所有 任何人或单位都不得仿冒 本书版权所有 任何人或单位都不得仿冒 高中理科巧学巧解大高中理科巧学巧解大 全全 从事图书出版活动 不得擅自抄袭本书的研究成果 不得盗版及销售盗版图书 一旦发现 将违法图从事图书出版活动 不得擅自抄袭本书的研究成果 不得盗版及销售盗版图书 一旦发现 将违法图 书寄往中华人民共和国新闻出版总署和工商行政管理总局 并将采取法律手段 使侵权者必将受到法律的书寄往中华人民共和国新闻出版总署和工商行政管理总局 并将采取法律手段 使侵权者必将受到法律的 严惩 严惩 一套好书 一片好光盘 可以送一个孩子上好大学 一套好书 一片好光盘 可以送一个孩子上好大学 花花 158158 元买一套元买一套 大全大全 高考多考 高考多考 8080 分你赚了多少 多考分你赚了多少 多考 150150 分你又赚了多少 划得来啊 分你又赚了多少 划得来啊 有付出 必有回报 你一定会考上理想大学 金榜题名 有付出 必有回报 你一定会考上理想大学 金榜题名 20092009 年年 10 10 月月 18 18 日日 库锡桃写库锡桃写 第一部分第一部分 高中高中数学数学活活题题巧解方法巧解方法总论总论 一 代入法一 代入法 若动点依赖于另一动点而运动 而点的轨迹方程已知 也可能易于求得 yxP 00 yxQQ 且可建立关系式 于是将这个点的坐标表达式代入已知 或求得 曲线的 0 xfx 0 xgy Q 方程 化简后即得点的轨迹方程 这种方法称为代入法 又称转移法或相关点法 P 例例 1 2009 年高考广东卷 已知曲线 与直线 交于两点C 2 xy l02 yx 和 且 记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平 AA yxA BB yxB BA xx 面区域 含边界 为 D 设点 tsP是 L 上的任一点 且点 P 与点 A 和点 B 均不重合 若点 Q 是线段 AB 的中点 试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程 巧解巧解 联立 2 xy 与2 xy得2 1 BA xx 则AB中点 2 5 2 1 Q 设线段PQ 的中点M坐标为 yx 则 2 2 5 2 2 1 t y s x 即 2 5 2 2 1 2 ytxs 又点P在曲线C上 2 2 1 2 2 5 2 xy化简可得 8 11 2 xxy 又点P是L上的任一点 且不与点A和点B重合 则2 2 1 21 x 即 4 5 4 1 x 4 中点M的轨迹方程为 8 11 2 xxy 4 5 4 1 x 例例 2 2 2008 年 江西卷 设 在直线上 过点作双曲线 00 yxPmx 1 0 mmyP 的两条切线 切点为 定点 M 过点 A 作直线的垂1 22 yxPAPBAB 0 1 m 0 yx 线 垂足为 N 试求的重心 G 所在的曲线方程 AMN 巧解巧解 设 由已知得到 且 1 垂线 1122 A x yB xy 12 0y y 22 11 1xy 22 22 1xy 的方程为 AN 11 yyxx 由得垂足 设重心 11 0 yyxx xy 1111 22 xyxy N G x y 所以 解得 11 1 11 1 11 32 1 0 32 xy xx m xy yy 1 1 3 93 4 1 93 4 xy m x yx m y 由 可得 22 11 1xy 11 33 33 2xyxy mm 即为重心所在曲线方程 22 12 39 xy m G 巧练一 巧练一 2005 年 江西卷 如图 设抛物线的焦点为 F 动点 P 在直线 2 xyC 上运动 过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA PB 且与抛物线 C 分别相切于 A B 两点 02 yxl 求 APB 的重心 G 的轨迹方程 巧练二 巧练二 2006 年 全国 I 卷 在平面直角坐标系中 有一个以和为焦xOy 3 0 1 F 3 0 2 F 点 离心率为的椭圆 设椭圆在第一象限的部分为曲线 C 动点 P 在 C 上 C 在点 P 处的切线与 2 3 x y 轴的交点分别为 A B 且向量 求点 M 的轨迹方程OBOAOM 5 二 直接法二 直接法 直接从题设的条件出发 利用已知条件 相关公式 公理 定理 法则通过准确的运算 严谨的推理 合理的验证得出正确的结论 从而确定选择支的方法叫直接法 从近几年全国各地的高考数学试题来看 绝大大部分选择题的解答用的是此法 但解题时也要 盯住选项特点 灵活做题 一边计算 一边对选项 进行分析 验证 或在选项中取值带入题设计算 验证 筛选而迅速确定答案 例例 1 2009 年高考全国 II 卷 已知双曲线的右焦点为 F 过 F 且斜 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C 率为的直线交 C 于 A B 两点 若 则 C 的离心率为 3FBAF4 A B C D 5 6 5 7 5 8 5 9 巧解巧解 设 由 得 11 yxA 22 yxB 0 cFFBAF4 4 2211 ycxyxc 设过点斜率为的直线方程为 21 4yy F3c y x 3 由消去得 0 3 222222 bayaxb c y x x0 3 2 3 4 2 22 2 by cb ya b 将 代入得化简得 22 4 21 22 2 21 3 3 3 3 6 ab b yy ab cb yy 21 4yy 22 4 2 2 22 2 2 3 3 4 3 3 6 3 ab b y ab cb y 3 4 3 3 3 2 22 4 2 2 22 2 2 ab b y ab cb y 3 4 3 3 3 4 22 4 222 24 ab b ab cb 化简得 即 3 9 3 916 222222 acabac 22 3625ac 25 36 2 e 5 6 e 故本题选 A 例例 2 2008 年 四川卷 设定义在上的函数满足 若R xf13 2 xfxf 则 2 1 f 99 f A 13 B 2 C D 2 13 13 2 巧解巧解 13 2 xf xf 13 13 2 13 4 xf xf xf xf 函数为周期函数 且 xf4 T 2 13 1 13 3 3244 99 f fff 故选 C 6 巧练一 巧练一 2008 年 湖北卷 若上是减函数 则 b 的取值范 1 2ln 2 1 2 在xbxxf 围是 A B C D 1 1 1 1 巧练二 巧练二 2008 年 湖南卷 长方体 ABCD A1B1C1D1的 8 个顶点在同一个球面上 且 AB 2 AD AA1 1 则顶点 A B 间的球面距离是 3 A B C D 22 2 2 2 4 2 三 定义法三 定义法 所谓定义法 就是直接用数学定义解题 选择题的命题侧重于对圆锥曲线径 准线 离心定义的考 查 凡题目中涉及焦半径 通率及离心率的取值范围等问题 用圆锥曲线的第一和第二定义解题 是一种 重要的解题策略 例例 1 2009 年高考福建卷 理 13 过抛物线的焦点 F 作倾斜角为 450的直线交抛 0 2 2 ppxy 物线于 A B 两点 线段 AB 的长为 8 则 p 巧解巧解 依题意直线的方程为 由消去得 AB 2 p xy pxy p xy 2 2 2 y 设 根据抛物线的定义 0 4 3 2 2 p pxx 11 yxA 22 yxBpxx3 21 2 2 p xBF 2 1 p xAF 84 21 ppxxAB2 p 故本题应填 2 例例 2 2008 年 山东卷 理 10 设椭圆 C1的离心率为 焦点在 x 轴上且长轴长为 26 若曲线 C2 13 5 上的点到椭圆 C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8 则曲线 C2的标准方程为 A B 1 34 2 2 2 2 yx 1 513 2 2 2 2 yx C D 1 43 2 2 2 2 yx 1 1213 2 2 2 2 yx 巧解巧解 由题意椭圆的半焦距为 双曲线上的点满足5 c 2 CP 点的轨迹是双曲线 其中 故双曲 8 2121 FFPFPF P5 c4 a3 b 7 线方程为 选 A 1 34 2 2 2 2 yx 巧练一 巧练一 2008 年 陕西卷 双曲线的左 右焦点分别是 F1 F2 过 F1 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 作倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于 M 点 若 MF2垂直于 x 轴 则双曲线的离心率为 A B C D 632 3 3 巧练二 巧练二 2008 年 辽宁卷 已知点 P 是抛物线上的一个动点 则点 P 到点 0 2 的距离与xy2 2 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A B 3 C D 2 17 5 2 9 四 向量坐标法四 向量坐标法 向量坐标法是一种重要的数学思想方法 通过坐标化 把长度之间的关系转化成坐标之间的关系 使问题易于解决 并从一定程度上揭示了问题的数学本质 在解题实践中若能做到多用 巧用和活用 则 可源源不断地开发出自己的解题智慧 必能收到事半功倍的效果 例例 1 2008 年 广东卷 在平行四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于点 O E 是线段 OD 的中点 AE 的 延长线与 CD 交于点 F 若 a b 则 ACBDAF A a b B a b C a b D a b 4 1 2 1 3 2 3 1 2 1 4 1 3 1 3 2 巧解巧解 如图所示 选取边长为 2 的正方形ABCD 则 0 2 B 2 2 C 2 0 D 1 1 O 2 3 2 1 E 直线的方程为 联立得AExy3 2 3 y xy 2 3 2 F 设 则 2 3 2 AFBDyACxAF 22 22 2 2 2 2 yxyxyxAF 解之得 故本题选 B 222 3 2 22 yx yx 3 2 x 3 1 ybaBDACAF 3 1 3 2 3 1 3 2 例例 2 已知点为内一点 且0 则 的OABC OCOBOA32AOB AOC BOC 面积之比等于 A 9 4 1 B 1 4 9 C 3 2 1D 1 2 3 巧解巧解 不妨设为等腰三角形 ABC 0 90 B Ax y O B D C E A BCx y O 8 建立如图所示的直角坐标系 则点3 BCAB 0 0 B 设 3 0 A 0 3 C yxO 0 即 OCOBOA32 0 0 3 3 2 3 yxyxyx 解之得 即 又直线的方程为 则点到 36 96 y x 2 3 x 2 1 y 2 1 2 3 OAC03 yxO 直线的距离 因此 AC 2 2 11 3 2 1 2 3 22 h23 AC 4 9 2 1 xABS AOB 故选 C 4 3 2 1 yBCS BOC 2 3 2 1 hACS AOC 巧练一 巧练一 2008 年 湖南卷 设 D E F 分别是 ABC 的三边 BC CA AB 上的点 且 2 2EACEBDDC BCCFBEADFBAF与则 2 A 反向平行B 同向平行C 互相垂直D 既不平行也不垂直 巧练二 巧练二 设是内部一点 且 则与面积之比是 OABC OBOCOA2 AOB AOC 五 查字典法五 查字典法 查字典是大家比较熟悉的 我们用类似 查字典 的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题 避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误 给人以 神来之法 的味道 利用 查字典法 解决 数字比较大小的排列问题的思路是 按位逐步讨论法 从最高位到个位 查首位时只考虑首位应满足题 目条件的情况 查前 2 位时只考虑前 位中第 2 个数应满足条件的情况 依次逐步讨论 但解 题中既要注意数字不能重复 又要有充分的理论准备 如奇 偶问题 3 的倍数和 5 的倍数的特征 0 的 特性等等 以免考虑不全而出错 例例 1 2007 年 四川卷 用数字 0 1 2 3 4 5 可以组成没有重复数字 并且比 20000 大的五位偶 数共有 A 288 个 B 240 个 C 144 个 D 126 个 巧解巧解 本题只需查首位 可分 3 种情况 个位为 0 即 型 首位是 2 3 4 5 中的任一0 个 此时个数为 个位为 2 即 此种情况考虑到万位上不为 0 则万位上 3 4 1 4A A2 只能排 3 4 5 所以个数为 个位为 4 型 此种特点考虑到万位上不为 0 3 4 1 3A A4 则万位上只能排 2 3 5 所以个数为 故共有个 故选 B 3 4 1 3A A2402 3 4 1 3 3 4 1 4 AAAA 例例 2 2004 年全国 II 卷 在由数字 1 2 3 4 5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中 大于 23145 且小于 43521 的数共有 A 56 个B 57 个C 58 个D 60 个 巧解巧解 1 查首位查首位 只考虑首位大于 2 小于 4 的数 仅有 1 种情况 即型 此特点只需其它 3 9 数进行全排列即可 有种 4 4 A 2 2 查前 位 查前 位 只考虑前 位中比 既大又小的数 有 4 种情况 型 而每种情况均有种满足条件 故共有种 24 25 41 42 3 3 A 3 3 4A 3 3 查前 位 查前 位 只考虑前 3 位中既比 大又小于 5 的数 有 4 种情况 型 而每种情况均有种满足条件 故共有种 234 235 431 432 2 2 A 2 2 4A 3 3 查前 查前 4 4 位位 只考虑前 4 位中既比 4 大又小于 2 的数 此种情况只有 23154 和 43512 两种情况满足条件 故共有个 故选 C 58244 2 2 3 3 4 4 AAA 巧练一 巧练一 用数字可以组成没有重复数字 并且不大于 4310 的四位偶数共有 5 4 3 2 1 0 A 110 种B 109 种C 108 种D 107 种 巧练二 巧练二 2007 年 四川卷 用数字 1 2 3 4 5 可以组成没有重复数字 并且比 20000 大的五位偶数共有 A 48 个 B 36 个 C 24 个 D 18 个 六 挡板模型法六 挡板模型法 挡板模型法是在解决排列组合应用问题中 对一些不易理解且复杂的排列组合问题 当元素相同时 可以通过设计一个挡板模型巧妙解决 否则 如果分类讨论 往往费时费力 同时也难以解决问题 例例 1 体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1 2 3 的三个箱中 要求每个箱子放球的个数不少于其 编号 则不同的放球方法有 A 8 种B 10 种C 12 种D 16 种 巧解巧解 先在 2 号盒子里放 1 个小球 在 3 号盒子里放 2 个小球 余下的 6 个小球排成一排为 只需在 6 个小球的 5 个空位之间插入 2 块挡板 如 每一种插法对应OOOOOOOOOOOO 着一种放法 故共有不同的放法为种 故选 B10 2 5 C 例例 2 两个实数集 若从 A 到 B 的映射使得 B 中每 1250 Aa aa 1225 Bb bb f 个元素都有原象 且 则这样的映射共有 个 1250 f af af a A B C D 24 50 A 24 49 C 25 50 C 25 49 A 巧解巧解 不妨设两个集合中的数都是从小到大排列 将集合的 50 个数视为 50 个相同的小球排BA和A 成一排为 然后在 50 个小球的 49 个空位中插入 24 块木板 每一种插法对OOOOOOOOO 应着一种满足条件对应方法 故共有不同映射共有种 故选 B 1250 f af af a 24 49 C 巧练一 巧练一 两个实数集合 A a1 a2 a3 a15 与 B b1 b2 b3 b10 若从 A 到 B 的是映射 f 使 B 中的每一 个元素都有原象 且 f a1 f a2 f a10 f a11 f a15 则这样的映射共有 10 A 个B 个C 1015个D 5 10 C 4 9 C 10 15 10 5A 巧练二 巧练二 10 个完全相同的小球放在标有 1 2 3 4 号的四个不同盒子里 使每个盒子都不空的放法有 种 A 24B 84C 120D 96 七 等差中项法七 等差中项法 等差中项法是根据题目的题设条件 或隐含 的特征 联想到等差数列中的等差中项 构造等差中项 从而可使问题得到快速解决 从而使解题过程变得简捷流畅 令人赏心悦目 例例 1 2008 年 浙江卷 已知 则 2 0 0 baba且 A B C D 2 1 ab 2 1 ab2 22 ba3 22 ba 巧解巧解 根据特征 可得成等差数列 为与的等差中项 可设2 baba 1 1ab 其中 则 xa 1xb 111 x 2 1xab 222 22xba 又 故 由选项知应选 C 10 2 x10 ab42 22 ba 例例 2 2008 年 重庆卷 已知函数的最大值为 M 最小值为 m 则的值为 31 xxy m M A B C D 1 4 1 2 2 2 3 2 巧解巧解 由可得 为与的等差中项 31 xxy 2 y x 13 x 令 其中 t y x 2 1t y x 2 3 2 y t 则 即 又 则431 2 2 22 xxt y t y 4 2 2 2 y t 2 y t 故 解之得 即 4 0 2 2 y t 44 20 22 yy 222 y22 M2 m 故选 C 2 2 22 2 M m 巧练 巧练 2008 年 江苏卷 的最小值 xz y zyxRzyx 2 032 八 逆向化法八 逆向化法 逆向化法是在解选择题时 四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的都是解题重要的信 息 逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息 解题时 要 盯住选项 着重通过对选项的分析 考查 验证 推断进行否定或肯定 或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选 找到所要选择的 符 合题目要求的选项 11 例例 1 2008 年 湖北卷 函数的 4323ln 1 22 xxxx x xf 定义域为 A B 2 4 1 0 0 4 C D 1 0 0 4 1 0 0 4 巧解巧解 观察四个选项取端点值代入计算即可 取 出现函数的真数为 0 不满足 排含有 1 的答1 x 案 C 取代入计算解析式有意义 排不含有的答案 B 取出现二次根式被开方数为负 4 x4 2 x 不满足 排含有 2 的答案 A 故选 D 评析 评析 求函数的定义域只需使函数解析式有意义 凡是考查具体函数的定义域问题都可用特值法代入验证 快速确定选项 例例 2 2008 年 江西卷 已知函数 若对于任一实数mxxgxmmxxf 1 4 22 2 与的值至少有一个为正数 则实数的取值范围是 xfx xgm A 0 2 B 0 8 C 2 8 D 0 巧解巧解 观察四个选项中有三个答案不含 2 那么就取代入验证是否符合题意即可 2 m 取 则有 这个二次函数的函数值 对2 m 22 12 144 xxxxf0 xf 且恒成立 现只需考虑当时函数值是否为正数即可 这显然Rx 2 1 xxxg2 2 1 x 为正数 故符合题意 排除不含的选项 A C D 所以选 B2 m2 m 巧练一 巧练一 2007 年 湖北卷 函数 x 0 的反函数是 12 12 x x y A x1 1 1 log2 x x y 1 1 log2 x x y C x1 1 1 log2 x x y 1 1 log2 x x y 巧练二 巧练二 2004 年 重庆卷 不等式的解集是 2 2 1 x x A B 1 0 1 1 0 1 C D 1 0 0 1 1 1 九 极限化法九 极限化法 极限化法是在解选择题时 有一些任意选取或者变化的元素 我们对这些元素的变化趋势进行研究 分析 它们的极限情况或者极端位置 并进行估算 以此来判断选择的结果 这种通过动态变化 或对极端取值来解选 择题的方法是一种极限化法 例例 1 正三棱锥中 在棱上 在棱上 使 BCDA EABFCD FD CF EB AE 0 设为异面直线与所成的角 为异面直线与所成的角 则的值是 EFACEFBD A B C D 6 4 3 2 巧解巧解 当时 且 从而 因为 排除选择0 AE CF ACEF BDAC 12 支故选 D 或时的情况 同样可排除 所以选 DCBA CBA 例例 2 若 当 1 时 的大小关系是 3 2 2 3 2 log 3 x abxcx x a b c A B C D abc cab cba acb 巧解巧解 当时 故 所以选 B0 x 3 2 a1 b0 ccab 巧练一 巧练一 若的大小关系 xxxsin32 2 0与则 A B C D 与 x 的取值有关xxsin32 xxsin32 xxsin32 巧练二 巧练二 对于任意的锐角 下列不等关系式中正确的是 A B sinsin sin coscos sin C D sinsin cos coscos cos 十 整体化法十 整体化法 整体化法是在解选择题时 有时并不需要把题目精解出来 而是从题目的整体去观察 分析和把握 通过整 体反映的性质或者对整体情况的估算 确定具体问题的结果 例如 对函数问题 有时只需要研究它的定义域 值域 而不一定关心它的解析示式 对函数图象 有时可以从它的整体变化趋势去观察 而不一定思考具体的对 应关系 或者对 4 个选项进行比较以得出结论 或者从整体 从全局进行估算 而忽略具体的细节等等 都可以 缩短解题过程 这是一种从整体出发进行解题的方法 例例 1 已知是锐角 那么下列各值中 可能取到的值是 cossin A B C D 4 3 3 4 3 5 2 1 巧解巧解 又是锐角 4 sin 2cossin 2 0 即 故选 B 4 3 44 1 4 sin 2 2 2 4 sin 21 例例 2 2002 年 全国卷 据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议 政府工作报告 指出 2001 年国内生产总 值达到 95933 亿元 比上一年增长 7 3 如果 十 五 期间 2001 2005 年 每年的国内生产总值按此年增长率 增长 那么 到 十 五 末 我国国内生产总值约为 A 115000 亿元 B 120000 亿元 C 127000 亿元 D 135000 亿元 巧解巧解 注意到已知条件给出的数据非常精确 2001 年国内生产总值达到95933亿元 精确到亿元 而四 个选项提供的数据都是近似值 精确到千亿元 即后三位都是 0 因此 可以从整体上看问题 忽略一些局部的 细节 把95933亿元近似地视为96000亿元 又把 2 0 073近似地视为0 005 这样一来 就有 4 2 959331 7 3 96000 14 0 0736 0 073 96000 1 0 2926 0 005 126720127000 巧练一 巧练一 如图所示为三角函数 的图象的一部分 则此函数的 sin xAy 0 2 A 周期可能是 T A B 4 2 Ox y 2 2 4 3 13 C D 8 11 巧练二 巧练二 全国卷 如图 在多面体 ABCDEF 中 已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形 EF AB EF EF 与面 AC 的距离为 2 则该多面体的体积为 2 3 A B 5 2 9 C 6 D 2 15 十一 参数法十一 参数法 在解题过程中 适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量 使得原式中仅含有这些新变量 以 此作为媒介 在进行分析和综合 然后对新变量求出结果 从而解决问题的方法叫参数法 例例 1 2008 年 安徽卷 设椭圆过点 且左焦点为 22 22 1 0 xy Cab ab 2 1 M 1 2 0 F 求椭圆的方程 C 当过点的动直线 与椭圆相交于两不同点时 在线段上取点 满足 4 1 PlC A BABQ 证明 点总在某定直线上 APQBAQPB Q 巧解巧解 1 由题意 解得 所求椭圆方程为 2 22 222 2 21 1 c ab cab 22 4 2ab 22 1 42 xy 2 由得 设点 Q A B 的坐标分别为APQBAQPB QB AQ PB AP 由题设知均不为零 记 则 1122 x yx yxy APPBAQ QB APAQ PBQB 且 又 A P B Q 四点共线 从而 0 1 APPB AQQB 于是 12 4 1 xx 12 1 1 yy 12 1 xx x 12 1 yy y 从而 222 12 2 4 1 xx x 222 12 2 1 yy y D E F C B A 14 又点 A B 在椭圆 C 上 即 22 11 24 xy 22 22 24 xy 并结合 得 即点总在定直线上 2 424xy Q x y220 xy 例例 2 2004 年 辽宁卷 设椭圆方程为 过点 M 0 1 的直线 l 交椭圆于点1 4 2 2 y x A B O 是坐标原点 点 P 满足 点 N 的坐标为 当 l 绕点 M 旋转时 2 1 OBOAOP 2 1 2 1 求动点 P 的轨迹方程 巧解巧解 直线 l 过点 M 0 1 设其斜率为 k 则 l 的方程为 1 kxy 记 由题设可得点 A B 的坐标 是方程组 11 yxA 22 yxB 11 yx 22 yx 的解 1 4 1 2 2 y x kxy 将 代入 并化简得 所以032 4 22 kxxk 于是 4 8 4 2 2 21 2 21 k yy k k xx 4 4 4 2 2 2 1 22 2121 kk kyyxx OBOAOP 设点 P 的坐标为则 yx 消去参数 k 得 4 4 4 2 2 k y k k x 04 22 yyx 当 k 不存在时 A B 中点为坐标原点 0 0 也满足方程 所以点 P 的轨迹方程为 0 4 22 yyx 巧练一 巧练一 2008 年 全国 I 卷 直线通过点 则有 1 b y a x sin cos M A B C D 1 22 ba1 22 ba1 11 22 ba 1 11 22 ba 15 巧练二 巧练二 如图 已知直线 l 与抛物线相切于点 P 2 1 且与 x 轴交于点 A O 为坐标原点 yx4 2 定点 B 的坐标为 2 0 I 若动点 M 满足 求点 M 的轨迹 C 0 2 AMBMAB II 若过点 B 的直线 l 斜率不等于零 与 I 中的轨迹 C 交于不同的两点 E F E 在 B F 之 间 试求 OBE 与 OBF 面积之比的取值范围 十二 交轨法十二 交轨法 如果所求轨迹是两条动曲线 包括直线 的交点所得 其一般方法是恰当地引进一个参数 写出两条 动曲线的方程 消去参数 即得所求的轨迹方程 所以交轨法是参数法的一种特殊情况 例例 1 已知椭圆 C 短轴一个端点到右焦点的距离为 1 2 2 2 2 b y a x 3 6 0 的离心率为 ba F3 求椭圆 C 的方程 设直线 经过椭圆的焦点 F 交椭圆 C 交于 A B 两点 分别过 A B 作椭圆的两条切线 A B 为l 切点 求两条切线的交点的轨迹方程 P 巧解巧解 设椭圆的半焦距为 依题意解之得c 6 3 3 c a a 2 c 所求椭圆方程为 1b 2 2 1 3 x y 由 I 知 设 对椭圆 0 2 F 11 yxA 22 yxB 00 yxP 2 2 1 3 x y 求导 即 则过 A 点的切线方程为 02 3 2 yy x y x y 3 PA 3 1 1 1 1 xx y x yy 整理得 同理过 B 点的切线方程为 又在33 11 yyxxPB33 22 yyxx 00 yxP 两切线 上 PAPB33 0101 yyxx 因此 两点在均在直线上 33 0202 yyxx 11 yxA 22 yxB33 00 yyxx 又 在直线上 即为交点的轨 0 2 F33 00 yyxx3032 00 yx 2 23 0 xP 迹方程 例例 2 过抛物线 C 上两点 M N 的直线交 y 轴于点 P 0 b 2 xy l 16 若 MON 是钝角 O 为坐标原点 求实数 b 的取值范围 若 b 2 曲线 C 在点 M N 处的切线的交点为 Q 证明 点 Q 必在一条定直线上 运动 巧解巧解 设点 M N 坐标分别为由题意 2 22 2 1121 2 22 2 11 xxONxxOMxxxxxx 则 可设直线方程为 y kx b l bxx kxx bk bkxxy bkxy xy 21 21 2 2 2 04 0得消去由 分的取值范围是 不成立三点不共势此时 得由 且是钝角 6 1 0 1cos 1 0 0 1 cos 0 cos 22 2 2 121 b MONNMO bbbxxxxONOM MON ONOM ONOM MONMON 当 b 2 时 由 知 2 21 21 bxx kxx 函数 y x2的导数 y 2x 抛物线在两点处切线的斜率分别为 在点 M N 处的 2 22 2 11 xxNxxM 2 2 21 xkxk NM 切线方程分别为 2 2 2 2 2 2 2 2 21 21 21 22 2 2 11 2 1 22 2 2 11 2 1 上运动点在定直线 即 满足的坐标解得交点由 yQ y k x xxy xx x yxQxx xxxxy xxxxy xxxxyl xxxxyl N M 巧练一 巧练一 已知定点 A 1 0 和定直线上的两个动点 E F 满足 动点 P 满足1 xAFAE 其中 O 为坐标原点 OPFOOAEP 求动点 P 的轨迹 C 的方程 设直线 经过点与轨迹 C 交于 A B 两点 分别过 A B 作轨迹 C 的两条切线 A Bl 0 1 M 为切点 求两条切线的交点的轨迹方程 P 巧练二 巧练二 如图 在以点 O 为圆心 AB 4 为直径的半圆 ADB 中 OD AB P 是半圆弧上一点 POB 30 曲线 C 是满足 MA MB 为定值的动点 M 的轨迹 且曲线 C 过点 P 建立适当的平面直角坐标系 求曲线 C 的方程 设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E F 分别过 E F 作轨迹 C 的两条切线 E F 为切点 求两条切线的交点的轨迹方程 Q 17 十三 几何法十三 几何法 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质 发现动点运动规律 然后得出题目结论的方法叫做几 何法 例例 1 2008 年 浙江卷 已知 是平面内两个互相垂直的单位向量 若向量满足abc 的最大值是 0 ccbca则 A 1 B 2 C D 2 2 2 巧解巧解 不妨设以 所在直线为轴 轴 且 abxy 0 1 a 1 0 b 由已知得 yxc 0 cbca0 2 ccbaba 整理得0 22 yxyx 即 所以向量的坐标是以为圆心 2 1 2 1 2 1 22 yxc 2 1 2 1 为半径的一个圆且过原点 故的最大值即为圆的直径为 故本题选 C 2 2 c2 例例 2 2008 年 江苏卷 若 AB 2 AC 的最大值 ABC SBC 则 2 巧解巧解 建立如图平面直角坐标系 设 由 yxC 0 0 A 0 2 BBCAC2 即 2 BCAC 2222 2 2yxyx 化简得088 22 yxx 配方得 所以点轨迹是以为圆心 8 4 22 yxC 0 4 D 为半径的一个圆 除去与轴的两个交点 所以当点纵坐标绝对值为 即时 22xC2222 y 有最大值为 所以答案为 ABC S 22 2 222 22 巧练一 巧练一 已知 其中 则的最小值为 1 1 m m m mA 0 1 B0 m AB 巧练二 巧练二 已知实数 满足 则的最大值等于 xy6 2 2 2222 yxyxyx 2 十四 弦中点轨迹法十四 弦中点轨迹法 有关弦中点的问题 主要有三种类型 过定点且被定点平分的弦 平行弦的中点轨迹 过定点的弦重 Ox y C c B 2 0 yxC A 0 4 D x y 18 点轨迹 点差法 解决有关弦中点问题较方便 要点是巧代斜率 例例 1 2009 年高考海南 宁夏卷 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 焦点为 直线 与抛物 0 1 Fl 线 C 相交于 A B 两点 若 AB 的中点为 2 2 则直线 的方程为 l 巧解巧解 由知抛物线 C 的方程为 设 22 yxB 代入抛物线方程 0 1 Fxy4 2 11 yxA 则有 两式相减有 1 2 1 4xy 2 2 2 4xy 4 21 2 2 2 1 xxyy 即 又 即 4 4 2121 21 21 yykyy xx yy 4 21 yy44 k1 k 故 即 本题应填 AB l22 xyxy xy 例例 2 椭圆与直线交于 两点 若过原点与线段中点的直线的1 22 byaxxy 1ABAB 倾斜角为 则的值为 0 30 b a A B C D 4 3 3 3 2 3 3 巧解巧解 设的中点为 22 yxB 则AB 00 yxM 11 yxA 021 2xxx 又 两式相减 得 021 2yyy 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 byax byax 0 21212121 yyyybxxxxa 即 0 2 2 210210 yybyxxax1 0 0 21 21 by ax xx yy 又 故选 B 1 0 0 by ax 3 3 30tan 0 0 0 x y 3 3 b a 巧练一 巧练一 若椭圆与直线交于 两点 过原点与线段中点的1 22 nymx01 yxABAB 直线的斜率为 则的值为 2 2 m n 巧练二 巧练二 若椭圆的弦被点平分 则此弦所在直线的斜率是为 1 936 22 yx 2 4 P 十五 比较法十五 比较法 现实世界的同类量之间 有相等关系 也有不等关系 两个可以比较大小的量和 若ab 19 则它们分别表示 我们把根据两个量0 ba0 ba0 baba ba ba 的差的正 负或零判断两个量不等或相等的方法叫做差式比较法 当两个量均为正值时 有时我们又可以 根据 或来判断 这个方法叫做商式比较法 这两种方法1 b a 1 b a 1 b a ba ba ba 在数列与函数 不等式交汇问题中应用广泛 比较法之一 作差法 0 步骤 作差 变形 定号 结论 1 作差 对要比较大小的两个数 或式 作差 2 变形 常采用