高中数学教案——正弦定理

1 正弦定理正弦定理 一 教学内容分析 本节课内容选自 普通高中课程标准实验教科书 数学必修 5 人教 A 版 第一章 1 1 1 正弦定理 是在学生已经学习了三角 函数 向量基础知识之后 对这些知识的应用 同时也是对初中解 直角三角形内容的直接延伸 本节课时 正弦定理 教学的第一课时 主要任务是引入并证 明正弦定理 同时在这个过程中 复习巩固旧知识 让学生掌握新 知识 体会知识间的联系 教学过程中 应发挥学生的主观能动性 通过探究 引导学生提出猜想 进而证明猜想的正确性 培养学生 敢于猜想 善于思考的品质 二 学生情况分析 学生在初中已经学习了解直角三角形的内容 又学习了三角函 数的基础知识与平面向量的有关内容 但前后知识间的联系 理解 应用有一定的困难 因此教师应恰当的引导 调动学生的学习积极 性 重视定理的探究过程 让学生体会到成功的喜悦 我校学生多数来自山区少数民族 学生的动手和探究能力相对 较弱 在教学中教师要多加引导 否则很容易学生什么也探究不到 以致原先的设计无法得到体现 三 设计思想 本节课是定理的探究课 重点是定理的发现与证明 因此以问 题为导向设计教学情境 为学生提供自由表达 质疑和探究的机会 2 让学生在一定的情况下 运用自己已有的知识和经验 并通过与他 人的协作 而主动的获取知识 体会知识的发生和发展的过程 四 教学目标 1 让学生从已有的知识和经验出发 逐步理解和掌握正弦定理的内 容及其证明方法 2 通过探究 培养学生合理猜想 探索数学知识和规律的能力和方 法 体会数学知识发生和创造的过程 3 通过学生之间 师生之间的交流与合作 增强学生的交流和协作 能力 五 重点和难点 重点 正弦定理的发现和证明 难点 正弦定理的证明 六 教学过程设计 创设情景 提出问题 问题问题 1 一般三角形全等的判断方法有哪些 学生可以回答得出 SSS SAS AAS ASA 这四种 师 这四种方法有什么特点 这说明什么样的条件可以确定一个三 角形 生 1 都有 3 个条件 生 2 三个边的条件 生 3 两条边一个角 生 4 两个角一条边 3 师 也就是说 如果有一个三角形 一部分角和一部分边已知 这 个三角形的其他边和角也就随之确定了 因此三角形的边和角之间 一定存在某种联系吧 设计意图 复习旧知识 同时引出新知识 问题问题 2 在江河上修建大桥前 往往需要预先测量出大桥的长度 AB 如图 于是在江边取了一个测量点 C B A C图 1B A C图 2 1 如图 1 若 CB 1000m ACB 45 ABC 90 由以上数据 00 能算出 AB 的长吗 2 如图 2 若 CB 1000m ACB 45 ABC 75 由以上数据 00 能算出 AB 的长吗 对于情形 1 学生很容易想到解直角三角形的方法 得出 AB BC 1000m 对于情形 2 就会有很多不同的表达 但因为有了情形 1 的 铺垫 不难想到转化为解直角三角形的方法 生 过 作 AD BC 于点 D 如图 3 则 BD ABcos75 0 CD AD ABsin75 从而 BC BD CD ABcos75 ABsin75 000 AB m 00 75sin75cos BC 6 3 1000 4 A C D B 图 3 A C D B 图 4 师 非常好 那可不可以作其他的高线呢 生 如图 4 过 B 作 BD AC 于点 D 则 BD BCsin45 ABsin60 00 AB 0 0 60sin 45sinBC 2 3 2 2 1000 6 3 1000 m 师 对学生加以赞赏 并适时引导在刚才的推理过程中 若把已知 的 BC 写成 要求的 AB 写成 你能发现 和 A C 之acac 间有什么关系吗 生 AcCasinsin 师 这个式子为了便于记忆 往往写成 那么 他们是否 C c A a sinsin 也等于呢 B b sin 生 等于 师 那么这个结果是否对一切的三角形都成立呢 设计意图 从实际问题入手 提高学生的学习兴趣 激发学生的 求知欲 引导学生把新问题转化成用已有的知识来解决 在解决问 题后 对特殊问题一般化 大胆提出猜想 培养学生的创造性思维 能力 数学实验 验证猜想 5 请学生用三角板 计算器 量角器为工具 对上述猜想加以验 证 进而得出 在任意三角形中 C c B b A a sinsinsin 设计意图 培养学生的动手实践能力 证明探究 1 特殊入手 在 Rt ABC 中 0 90 CaBCbACcAB 如何证明 生 c c C c c B b A a c b B c a A 0 90sinsin sin c sin sin sin以 从而在 Rt ABC 中 C c B b A a sinsinsin 2 推广与扩展 问题问题 1 在锐角 ABC 中 如何证明 受上面的启发 学生比较容易想到以下方法 生 过 作 AD BC 于点 D 则 CbADBcsinsin 从而 同理可得 C c B b sinsin B b A a sinsin 因此 C c B b A a sinsinsin 问题问题 2 在钝角 ABC 中 如何证明 可不可以仍然过 A 作 BC 的垂线呢 如图 让学生进行小 组讨论 找出规律 A BC 6 生 AD 从而 得证 BcBcCbsin 180sin sin C c B b sinsin 师 非常好 这样我们就可以通过把锐角和钝角三角形转化成直角 三角形处理 非常容易的证明出上述结果了 这条性质我们称之 为正弦定理 也就是在一个三角形中 每一边和它所对的角的正 弦的比相等 即 C c B b A a sinsinsin 设计意图 根据 化归 的思想 把锐角三角形和钝角三角形问 题转化为直角三角形问题是很自然的 学生易于接受 并且由于有 上面的铺垫 学生不难想到上述的方法 问题问题 3 既然都等于同一个比值 那么这个比 C c B b A a sinsinsin 值有什么特殊的意义吗 引导学生回顾前面正弦定理的证明过程 从中发现规律 生 在 Rt ABC 中 C c B b A a sinsinsin c 师 斜边 c 的长度在直角三角形中还反映什么 生 外接圆的直径 师 很好 外接圆的直径 2R 因此 2R 那么 C c B b A a sinsinsin 对于一般的三角形又是不是这样的呢 我们又该如何证明 生 作出 ABC 的外接圆 O 看看 7 B D C A R C R DAB BD ADB AB ACB AB 2 sin c 2 sinsinsin 以以 同理可得 2R C c B b A a sinsinsin 设计意图 进一步探究 2R 一方面加深了 C c B b A a sinsinsin 学生对正弦定理的理解和记忆 另一方面 学生在学了正弦定理后 也会很好奇的想知道这个值为什么总相等 通过外接圆就把不同的 三角形类型之间的共同点给揭示出来了 让学生体会发现的快乐 问题问题 4 今天我们通过 作高法 作外接圆法 证明了正弦 定理 2R 前面我们刚刚学了平面向量 在平面向 C c B b A a sinsinsin 量中 数量积就在向量的长度和夹角之间建立了联系 这和正弦定 理是很相像的 那么 我们可不可以用向量的方法来证明正弦定理 呢 学生小组讨论 教师适时引导 让学生与前面用的平面几何的 方法对比 生 在锐角三角形中 可以作的法向量 如图 则BC i 0 BC i BC i ACBA iBC iAC i 8 90cos 90cos 00 CbiBci sinsin CbBci 从而 因此CbBcsinsin C c B b sinsin 同理可得 C c B b A a sinsinsin A CB i i i 对于直角三角形和钝角三角形的情形 请同学们在课后去探究一下 设计意图 向量 把数和形融为一体 是很重要的数学工具 但 学生对如何用向量法证明几何问题相对比较生疏 通过前面几何法 的铺垫 学生感受起来就轻松多了 而且向量法证明简便快捷 也 可以体会到向量法的优点 从而在今后会主动去尝试和学习用向量 的方法分析和解决问题 为后续知识 余弦定理等 的学习打下了 基础 定理的简单应用 现在请同学们利用正弦定理解决一开始提出的问题 生 在 ABC 中 180 B C 60 00 m 6 3 1000 60sin 45sin1000 sin sin sinsin 0 0 A CBC AB A BC C AB 9 设计意图 利用正弦定理解决一开始提出的问题 既简单又快捷 让学生体会到正弦定理的重要性 认识到正弦定理是今后处理三角 形问题的有力的武器 尝试小结 引导学生总