高三第一轮复习正余弦定理教案

高三新高三新数学数学第一轮复习教案第一轮复习教案 正 余弦定理及应用正 余弦定理及应用 一 课标要求 一 课标要求 1 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 掌握正弦定理 余弦定理 并能解决 一些简单的三角形度量问题 2 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实 际问题 二 命题走向二 命题走向 对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化 三角形形状的判断 三角形内三角函 数的求值以及三角恒等式的证明问题 立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问 题 今后高考的命题会以正弦定理 余弦定理为知识框架 以三角形为主要依托 结合实 际应用问题考察正弦定理 余弦定理及应用 题型一般为选择题 填空题 也可能是中 难度的解答题 三 要点精讲三 要点精讲 1 直角三角形中各元素间的关系 如图 在 ABC 中 C 90 AB c AC b BC a 1 三边之间的关系 a2 b2 c2 勾股定理 2 锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 锐角三角函数定义 sinA cosB cosA sinB tanA c a c b b a 2 斜三角形中各元素间的关系 如图 6 29 在 ABC 中 A B C 为其内角 a b c 分别表示 A B C 的对边 1 三角形内角和 A B C sin AB sinC cos AB cosC 2 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 形式一 R C c B b A a 2 sinsinsin 解三角形的重要工具 形式二 CRc BRb ARa sin2 sin2 sin2 边角转化的重要工具 R 为外接圆半径 3 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍 形式一 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 解三角形的重要工具 形式二 cos A bc acb 2 222 cosB ca bac 2 222 cosC ab cba 2 222 4 在 ABC 中 熟记并会证明 A B C 成等差数列的充分必要条件是 B 60 ABC 是正三角形的充分必要条件是 A B C 成等差数列且 a b c 成等比数列 3 三角形的面积公式 1 S aha bhb chc ha hb hc分别表示 a b c 上的高 2 1 2 1 2 1 2 S absinC bcsinA acsinB 2 1 2 1 2 1 3 S sin 2 sinsin 2 CB CBa sin 2 sinsin 2 AC ACb sin 2 sinsin 2 BA BAc 4 S 2R2sinAsinBsinC R 为外接圆半径 5 S R abc 4 6 S cpbpapp 2 1 cbap 7 S r p r 为三角形内切圆半径 p 为周长之半 4 解三角形 由三角形的六个元素 即三条边和三个内角 中的三个元素 其中至少 有一个是边 求其他未知元素的问题叫做解三角形 广义地 这里所说的元素还可以 包括三角形的高 中线 角平分线以及内切圆半径 外接圆半径 面积等等 解三角 形的问题一般可分为下面两种情形 若给出的三角形是直角三角形 则称为解直角三 角形 若给出的三角形是斜三角形 则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是 设 ABC 的三边为 a b c 对应的三个角为 A B C 1 角与角关系 A B C 2 边与边关系 a b c b c a c a b a b c b c b 3 边与角关系 正弦定理 R 为外接圆半径 R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理 c2 a2 b2 2bccosC b2 a2 c2 2accosB a2 b2 c2 2bccosA 它们的变形形式有 a 2R sinA b a B A sin sin bc acb A 2 cos 222 余弦定理判定法 如果 c 是三角形的最大边 则有 a2 b2 c2 三角形 ABC 是锐角三角形 a2 b2 c2 三角形 ABC 是钝角三角形 a2 b2 c2 三角形 ABC 是直角三角形 四 典例解析四 典例解析 题型题型 1 正 余弦定理 正 余弦定理 例 1 1 在中 已知 cm 解三角形 ABC 0 32 0 A 0 81 8 B42 9 a 2 在中 已知cm cm 解三角形 角度精确到 ABC20 a28 b 0 40 A 边长精确到 1cm 0 1 解析 1 根据三角形内角和定理 0 180 CA B 000 180 32 081 8 0 66 2 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin81 8 80 1 sin sin32 0 aB bcm A 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin66 2 74 1 sin sin32 0 aC ccm A 2 根据正弦定理 0 sin28sin40 sin0 8999 20 bA B a 因为 所以 或 0 0B 0 180 0 64 B 0 116 B 当时 0 64 B 00000 180 180 4064 76 CA B 0 0 sin20sin76 30 sin sin40 aC ccm A 当时 0 116 B 00000 180 180 40116 24 CA B 0 0 sin20sin24 13 sin sin40 aC ccm A 点评 应用正弦定理时 1 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时 可能有两 解的情形 2 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型题型 2 2 三角形面积 三角形面积 例 2 在中 求的值和 ABCsincosAA 2 2 AC 2AB 3Atan 的面积 ABC 解法一 先解三角方程 求出角 A 的值 2 1 45sin 2 2 45sin 2cossin A AAA 又 0180 A 10515045AA 13 tantan 4560 23 13 A 4 62 60sin45cos60cos45sin 6045sin 105sinsin A SACABA ABC 1 2 1 2 23 26 4 3 4 26sin 解法二 由计算它的对偶关系式的值 sincosAA sincosAA sincosAA 2 2 0 cos 0sin 1800 2 1 cossin2 2 1 cos sin 2 AAA AA AA 2 3 cossin21 cos sin 2 AAAA sincosAA 6 2 得 sin A 26 4 得 cos A 26 4 从而 sin264 tan23 cos426 A A A 以下解法略去 点评 本小题主要考查三角恒等变形 三角形面积公式等基本知识 着重数学考查运 算能力 是一道三角的基础试题 两种解法比较起来 你认为哪一种解法比较简单呢 题型题型 3 正 余弦定理判断三角形形状 正 余弦定理判断三角形形状 例 3 2002 上海春 14 在 ABC 中 若 2cosBsinA sinC 则 ABC 的形状一定是 A 等腰直角三角形B 直角三角形 C 等腰三角形D 等边三角形 答案 C 解析 2sinAcosB sin A B sin A B 又 2sinAcosB sinC sin A B 0 A B 点评 本题考查了三角形的基本性质 要求通过观察 分析 判断明确解题思路和变 形方向 通畅解题途径 五 思维总结五 思维总结 1 解斜三角形的常规思维方法是 1 已知两角和一边 如 A B C 由 A B C 求 C 由正弦定理求 a b 2 已知两边和夹角 如 a b c 应用余弦定理求 c 边 再应用正弦定理先求较 短边所对的角 然后利用 A B C 求另一角 3 已知两边和其中一边的对角 如 a b A