高一数学知识点：集合与函数概念

高一数学知识点 集合与函数概念 集合 集合具有某种特定性质的事物的总体 这里的 事物 可以是人 物品 也可以是数学 元素 例如 1 分散的人或事物聚集到一起 使聚集 紧急 2 数学名词 一组具有 某种共同性质的数学元素 有理数的 3 口号等等 集合在数学概念中有好多概念 如集合论 集合是现代数学的基本概念 专门研究集合的理论叫做集合论 康托 Cantor G F P 1845 年 1918 年 德国数学家先驱 是集合论的创始者 目前集合 论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域 集合 在数学上是一个基础概念 什么叫基础概念 基础概念是不能用其他概念加以 定义的概念 集合的概念 可通过直观 公理的方法来下 定义 集合 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起 使之成为 一个整体 或称为单体 这一整体就是集合 组成一集合的那些对象称为这一集合的元 素 或简称为元 元素与集合的关系 元素与集合的关系有 属于 与 不属于 两种 集合与集合之间的关系 某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号 含有有限个元素叫有限集 含有 无限个元素叫无限集 空集是不含任何元素的集 记做 空集是任何集合的子集 是任 何非空集的真子集 任何集合是它本身的子集 子集 真子集都具有传递性 说明一下 如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素 则 A 称作是 B 的子集 写作 A B 若 A 是 B 的子集 且 A 不等于 B 则 A 称作是 B 的真子集 一般写作 A B 中学教材课本里 将 符号下加了一个 符号 如右图 不要混淆 考试时还是要以课本为准 所有男人的 集合是所有人的集合的真子集 集合的几种运算法则 并集 以属于 A 或属于 B 的元素为元素的集合称为 A 与 B 的并 集 记作 A B 或 B A 读作 A 并 B 或 B 并 A 即 A B x x A 或 x B 交集 以属 于 A 且属于 B 的元差集表示 素为元素的集合称为 A 与 B 的交 集 记作 A B 或 B A 读作 A 交 B 或 B 交 A 即 A B x x A 且 x B 例如 全集 U 1 2 3 4 5 A 1 3 5 B 1 2 5 那么因为 A 和 B 中都有 1 5 所以 A B 1 5 再来看看 他们两个中 含有 1 2 3 5 这些个元素 不管多少 反正不是你有 就是我有 那么说 A B 1 2 3 5 图中的阴影部分就是 A B 有趣的是 例如在 1 到 105 中不是 3 5 7 的整倍数的数有多少个 结果是 3 5 7 每项减集合 1 再相乘 48 个 对称差集 设 A B 为集合 A 与 B 的对称差集 A B 定义为 A B A B B A 例如 A a b c B b d 则 A B a c d 对称差运算 的另一种定义是 A B A B A B 无限集 定义 集合里含有无限个元素的集 合叫做无限集有限集 令 N 是正整数的全体 且 N n 1 2 3 n 如果存在一 个正整数 n 使得集合 A 与 N n 一一对应 那么 A 叫做有限集合 差 以属于 A 而不属 于 B 的元素为元素的集合称为 A 与 B 的差 集 记作 A B x x A x 不属于 B 注 空集包含于任何集合 但不能说 空集属于任何集合 补集 是从差集中引出的概念 指属 于全集 U 不属于集合 A 的元素组成的集合称为集合 A 的补集 记作 CuA 即 CuA x x U 且 x 不属于 A 空集也被认为是有限集合 例如 全集 U 1 2 3 4 5 而 A 1 2 5 那么全集有而 A 中没有的 3 4 就是 CuA 是 A 的补集 CuA 3 4 在 信息技术当中 常常把 CuA 写成 A 集合元素的性质 1 确定性 每一个对象都能确定是不是某一集合的元素 没有确定性就不能成为集合 例如 个子高的同学 很小的数 都不能构成集合 这个性质主要用于判断一个集合是否能形 成集合 2 独立性 集合中的元素的个数 集合本身的个数必须为自然数 3 互异性 集 合中任意两个元素都是不同的对象 如写成 1 1 2 等同于 1 2 互异性使集合中的 元素是没有重复 两个相同的对象在同一个集合中时 只能算作这个集合的一个元素 4 无序性 a b c c b a 是同一个集合 5 纯粹性 所谓集合的纯粹性 用个例子来表 示 集合 A x x 2 集合 A 中所有的元素都要符合 x 2 这就是集合纯粹性 6 完备性 仍用上面的例子 所有符合 x 2 的数都在集合 A 中 这就是集合完备性 完备性与纯粹性 是遥相呼应的 集合有以下性质 若 A 包含于 B 则 A B A A B B 集合的表示方法 集合常用大写拉丁字母来表示 如 A B C 而对于集合中的元素则用小写的拉丁 字母来表示 如 a b c 拉丁字母只是相当于集合的名字 没有任何实际的意义 将 拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的 例如 A 的形式 等号左边是大写 的拉丁字母 右边花括号括起来的 括号内部是具有某种共同性质的数学元素 常用的有列举法和描述法 1 列举法 常用于表示有限集合 把集合中的所有元素一一 列举出来 写在大括号内 这种表示集合的方法叫做列举法 1 2 3 2 描述法 常用 于表示无限集合 把集合中元素的公共属性用文字 符号或式子等描述出来 写在大括号内 这 种表示集合的方法叫做描述法 x P x 为该集合的元素的一般形式 P 为这个集合的元 素的共同属性 如 小于 的正实数组成的集合表示为 x 0 4 自然语言常用数集的符号 1 全体非负整数的集合通常简称非负整数集 或自然 数集 记作 N 不包括 0 的自然数集合 记作 N 2 非负整数集内排除 0 的集 也称 正整数集 记作 Z 负整数集内也排除 0 的集 称负整数集 记作 Z 3 全体整数的集 合通常称作整数集 记作 Z 4 全体有理数的集合通常简称有理数集 记作 Q Q p q p Z q N 且 p q 互质 正负有理数集合分别记作 Q Q 5 全体实 数的集合通常简称实数集 记作 R 正实数集合记作 R 负实数记作 R 6 复数集合 计作 C 集合的运算 集合交换律 A B B AA B B A 集合结合律 A B C A B C A B C A B C 集合分配律 A B C A B A C A B C A B A C 集合德 摩根律集合 Cu A B CuA CuBCu A B CuA CuB 集合 容斥原理 在研究集合时 会遇 到有关集合中的元素个数问题 我们把有限集合 A 的元素个数记为 card A 例如 A a b c 则 card A 3card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C 1885 年德国数学家 集合论创始人康托尔谈到集合一词 列举法和描述法是表示集合的常用方式 集合吸收律 A A B AA A B A 集合 求补律 A CuA UA CuA 设 A 为集合 把 A 的全部子集构成